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Se guardate questo video:

del canale "invito alla matematica" di Gaetano Di Caprio (è un ottimo canale che avevo scoperto per caso che mi è piaciuto molto e che seguo perchè contiene problemi molto interessanti), l'autore del video discute la soluzione del problema:

Problema:

Si determinino tutti gli interi positivi n tali che n^4+n^3+n^2+n+1

sia un quadrato perfetto.

Lascio a voi il piacere di guardare il video per scoprire o per pensare alla soluzione.

Al minuto 6:02 l'autore propone un altro problema simile, cioè:

Problema:

Per quali valori di $n \in \mathbb{N}$
n^3+n^2+n+1

è un quadrato perfetto?

L'autore ammette di avere avuto qualche difficoltà nel trovare la soluzione che, come nei migliori testi di matematica si lascia al volenteroso lettore.

I commenti del video si riempiono quindi di tentativi di soluzione, molti anche interessanti, ma anche errati.

L'unica soluzione che resiste e che viene considerata esatta (e quindi messa in primo piano) è questa (la riscrivo qui perchè con $\LaTeX$ è più comprensibile:

Scompongo come [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Se il risultato è un quadrato deve esistere [unparseable or potentially dangerous latex formula]

Sul punto 2 faccio un commento per chiarezza.
Il polinomio viene scomposto in [unparseable or potentially dangerous latex formula], in pratica il prodotto di due numeri, che deve fare un quadrato.
Supponiamo che questo quadrato sia 100. Stiamo quindi scrivendo ab=100.
Non è detto che a=10 e b=10 perché questa è solo una delle possibili scomposizioni del numero 100.
Potrebbe essere a=1 b=100, a=2 b=50, ma anche a=25 b=4. Sono tutte soluzioni il cui prodotto fa 100.
Ora, chiaramente, se il prodotto è un quadrato, deve esistere un numero tale che a/g diventi uguale a b*g.
Questo perché a/g*b*g=a*b=100.
Se a=1 b=100 g=1/10, se a=2 b=50 g è 1/5, se a=25 b=4 g è 5/2. Se a=100 b=1 g è 10.
Abbiamo quindi chiarito che g debba necessariamente essere razionale. (se fosse strettamente irrazionale allora dovrebbe esserlo anche il numero n di partenza, ma questo è in contrasto alle ipotesi).
Quindi chi ha pensato alla soluzione ha cercato di essere attento. Bene.
Andiamo avanti.
Scrivo quindi [unparseable or potentially dangerous latex formula] come e risolvo l'equazione di II grado per n.
trovo [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Il termine sotto radice deve essere un quadrato perfetto, per cui .
Risolvo per ottenendo [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Adesso anche deve essere un quadrato perfetto, per cui che riscrivo come [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Quindi i termini (m-2k) e (m+2k) sono i fattori di 32, che sono (32,1) (16,2) (8,4) (non gli opposti che darebbero una soluzione negativa).
Quindi risolvo il sistema
$\left\{\begin{matrix} m-2k=a \\ m+2k=b \end{matrix}\right.$
con (a,b)=((1,32),(2,16),(8,4))
si ottiene [unparseable or potentially dangerous latex formula]
dai valori di k si può calcolare [unparseable or potentially dangerous latex formula]
i valori accettabili di g sono solo quelli razionali, per cui [unparseable or potentially dangerous latex formula]
dai quali si calcola n=(0,1,7)

BELLISSIMA SOLUZIONE, purtroppo però con un problemino insignificante: questa soluzione è ERRATA, perché trova solo un sottoinsieme delle soluzioni.
Nel caso della espressione n^3+n^2+n+1

trova tutte le soluzioni, però questo è un caso particolare.
Non ci credete?

Considerate la nuova espressione n^3+3n^2+n+3

, scomponibile come [unparseable or potentially dangerous latex formula].
Se applicate il metodo descritto dall'utente troverete come unica soluzione n=2.

Facciamo ora una piccola funzione in mathematica che vada a trovare tutte le soluzioni di n che rendano l'espressione un quadrato perfetto:

Code: Seleziona tutto: findIntegerSquares[f_, nmin_, nmax_] := Select[Range[nmin, nmax], IntegerQ@Sqrt@f[#] &]

Questa funzione non fa altro che provare banalmente a sostituire degli n da nmin a nmax nella funzione e controlla se il risultato è un quadrato perfetto. Nulla di che.

Se applico la funzione al problema originario ottengo che:

ss1.jpg

Per cui la soluzione sembra essere corretta o, più precisamente, se esistono altre soluzioni, queste devono essere per n>10^5.

Se applico la funzione al problema da me proposto n^3+3n^2+n+3

ottengo che:

ss2.jpg

AHIA! La funzione trova che esiste anche la soluzione n=239, che il metodo descritto non trova.
Come dicevo, si può dimostrare che il metodo descritto dall'utente YT trova un sottoinsieme delle soluzioni.

A questo punto, a voi la palla!

cosa non va nel metodo?
come mai il metodo trova solo un sottoinsieme delle soluzioni?

e la domanda da 10^6$:

come si corregge il metodo perché trovi TUTTE le soluzioni?

(questa è dura)