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Devo risolvere l'esercizio in allegato.
La traccia: "Ricavare l'equazione differenziale nell'incognita v_L (t)

"
Nell'incognita i_l (t)

so farlo.

: schermata8.png (5.79 KiB) Osservato 5605 volte

$i_L =i_2= \frac {v_2} {R_2}$

$R_1 i_1 = L \frac { di_L} { dt }+v_2$

quindi ottengo:
$J=\frac { L \frac { di_L}{ dt } + R_2 i_L}{R_1} + i_L \quad\rightarrow \quad J=\frac { L \frac { di_L}{ dt } + R_2 i_L + i_LR_1}{R_1} }$
$JR_1= { L \frac { di_L}{ dt } + R_2 i_L + i_LR_1} } \quad\rightarrow \quad \frac {JR_1}{L}= { \frac{ di_L}{ dt } + \frac {R_2 i_L + i_LR_1} { L}$

la soluzione e'
$\frac {JR_1}{L}= { \frac{ di_L}{ dt } + \frac {R_2+ R_1} { L} i_L$

Questa è la soluzione nell'incognita corrente, per ottenere la soluzione nell'incognita tensione ?
( senza usare i_L

da me ottenuta )

Semplificata la rete vista dai morsetti dell'induttore, via Helmholtz-Thevenin, da semplice ispezione della stessa

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

basta usare una KVL per scrivere

$J{{R}_{1}}-({{R}_{1}}+{{R}_{2}}){{i}_{L}}-{{v}_{L}}=0$

e derivando

$({{R}_{1}}+{{R}_{2}})\frac{\text{d}{{i}_{L}}}{\text{d}t}+\frac{\text{d}{{v}_{L}}}{\text{d}t}=0$

$\frac{\text{d}{{v}_{L}}}{\text{d}t}+\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{L}{{v}_{L}}=0$

anche se non capisco perché andare a scomodare un'equazione differenziale per risolvere quella rete.

Grazie 1000 RenzoDF, ho usato anche io questa ottima semplificazione per risolverla.
Solo che pensavo si facesse in qualche altro modo dato che nell'esercizo è stata mostrata solo la soluzione.

Tu hai fatto la derivata delle 2 tensioni, ma il generatore ?

La soluzione data dalla traccia è:
$\frac {dv_L}{dt} + \frac{( R_1+R_2)}{L}v_L= \frac {R_1R_2}{L}J$

L'esercizo è di introduzione al transitorio, per questo rompe con le eq differenziali.

camaleonte ha scritto:... ho usato anche io questa ottima semplificazione per risolverla.

Come al solito ho perso tempo per nulla, scusami delle solite ovvietà postate.

camaleonte ha scritto:... Tu hai fatto la derivata delle 2 tensioni, ma il generatore ?

Derivando una costante si ottiene zero, almeno credo.

camaleonte ha scritto:La soluzione data dalla traccia è:
$\frac {dv_L}{dt} + \frac{( R_1+R_2)}{L}v_L= \frac {R_1R_2}{L}J$

Davvero interessante; secondo quella soluzione, per l'equazione differenziale esiste quindi una soluzione a regime per vL(t)=costante (e quindi con derivata nulla) tale che

$\frac{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}{L}{{v}_{L}}=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}{L}J$

e quindi

${{v}_{L}}(t)=\frac{{{R}_{1}}{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}J=({{R}_{1}}||{{R}_{2}})J$

io avrei scommesso che l'unica soluzione a regime per vL(t)=cost fosse vL(t)=0, ma sicuramente sbaglio.

E' proprio giunto il momento che mi dedichi esclusivamente al surf.

RenzoDF ha scritto:
camaleonte ha scritto:... ho usato anche io questa ottima semplificazione per risolverla.

Come al solito ho perso tempo per nulla, scusami delle solite ovvietà postate.

NO, hai dato conferma della mia idea, non sapevo se applicarla o meno.

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Equazione differenziale nell'incognita tensione

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Re: Equazione differenziale nell'incognita tensione

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