ElectroYou

Salve a tutti, avrei bisogno di una mano in questo esercizio...

Si consideri un sistema LTI composto di due filtri posti in cascata aventi, rispettivamente, le seguenti risoste impulsive:

$h_1(t) = \delta (t - T) - \delta (t - 2T)$
h_2(t) = u(t)

Ci sono diverse domande, ne posto una alla volta, così magari capita una, vado avanti...

1) Scrivere l'espressione delle funzioni di trasferimento H_1(f)

e

dei due filtri e rappresentarne graficamente le caratteristiche di ampiezza.

Io so (se non sbaglio) che la H(f)

non è altro che la trasformata di Fourier di h(t)

, come faccio a calcolarla??

Vi ringrazio anticipatamente!!!

Non sbagli. Infatti:

$H_{1}(f)=\mathcal{F}[h_{1}(t)]=\mathcal{F}[\delta (t-T)]-\mathcal{F}[\delta (t-2T)]=e^{-j2\pi Tf}-e^{-j2\pi 2Tf}$

dove ho usato la coppia di trasformata di Fourier notevole:

$e^{j2\pi f_{0}t}\leftrightharpoons \delta (f-f_{0})$

e la proprietà di dualità:

$X(t)\leftrightharpoons X(-f)$

Per la rappresentazione grafica delle caratteristiche di ampiezza, si calcola lo spettro di ampiezza, quindi $\left |H_{1}(f) \right |$ che fa...

La seconda risposta impulsiva la lascio fare a te :-)

Grazie jordan20

Allora per la seconda risposta impulsiva io avrei fatto così:

$\int_{0}^{\propto }e^{-j2\pi ft}dt$ = $\frac{1}{j2\pi f}$ è corretto?

inoltre:
$|H_1(f)|= \sqrt{e^{-4j\pi fT} + e^{-8j\pi fT}}$ (come si può semplificare? nel caso sia corretta)

$|H_2(f)|= \frac{1}{2\pi |f|}$

giusto?

Andiamo step to step:

volpi ha scritto: $\int_{0}^{\propto }e^{-j2\pi ft}dt$ = $\frac{1}{j2\pi f}$ è corretto?

Direi che non è completo. Io procederei in questo modo. Parto dalla funzione $\text{sgn}(t)$ che risulta così definita:

$\text{sgn}(t)=\left\{\begin{matrix} +1,\,\,\,t>0\\ 0,\,\,\,t=0\\ -1,\,\,\,t<0 \end{matrix}\right.$

Questa funzione non soddisfa le condizioni di Dirichelet per cui, a rigore, non possiede trasformata di Fourier. Però la si può definire pensandola come forma limite per

tendente a zero di un impulso esponenziale doppio a simmetria dispari così definito:

$g(t)=\left\{\begin{matrix} e^{-at},\,\,\,t>0\\ 0,\,\,\,t=0\\ -e^{at},\,\,\,t<0 \end{matrix}\right.$

La trasformata di Fourier di questa funzione esiste, ed è nota pari a:

$G(f)=\frac{-j4\pi f}{a^{2}+(2\pi f)^2}$

Quindi:

$\mathcal{F}[\text{sgn}(t)]=\lim_{a,0}\frac{-j4\pi f}{a^{2}+(2\pi f)^2}=\frac{1}{j\pi f}$

Il gradino unitario è definito come:

$\text{u}(t)=\left\{\begin{matrix} +1,\,\,\,t>0\\ \frac{1}{2},\,\,\,t=0\\ 0,\,\,\,t<0 \end{matrix}\right.$

per cui, se guardi come è stata definita la funzione segno, possiamo scrivere:

$\text{u}(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{sgn}(t)$

Trasformando secondo Fourer allora ottengo (anche questo è un risultato notevole tabellato):

$\mathcal{F}[\text{u}(t)]=\frac{1}{2}\mathcal{F}[1]+\frac{1}{2}\mathcal{F}[\text{sgn}(t)]=\frac{1}{2}\delta (f)+\frac{1}{j2\pi f}$

sapendo che $\mathcal{F}[\delta (t)]=1$ e avendo ancora una volta applicato la proprietà di dualità.

volpi ha scritto: $|H_1(f)|= \sqrt{e^{-4j\pi ft} + e^{-8j\pi ft}}$ (come si può semplificare? nel caso sia corretta)

Ti dovrebbe già essere noto che un numero complesso lo puoi esprimere come:

$X(f)=\left | X(f) \right |e^{\measuredangle X(f)}$

quindi già per analogia dovresti dedurre quanto vale questo modulo... Se poi vuoi ricavarlo per definizione come hai fatto... prova a sviluppare i passaggi scrivendo gli esponenziali in forma quadrata con Eulero e... vedi un po' cosa esce fuori :ok:

Per la seconda risposta in ampiezza, oltre ad essere incompelta, è errata... RIpassa un po' i numeri complessi

volpi

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EDIT: Usa le trasformate di Fourier tabellate che trovi ovunque in rete. Se devi svolgere ogni trasformata per definizione applicando l'integrale è complicato. Specialmente laddove le trasformate di Fourier non sono definite, occorre richiamare le condizioni di esistenza, richiamare ed applicare la definizione di valore principale di un integrale (come bisognerebbe fare per il calcolo formale della seconda trasformata) ecc... ecc...

Si, mi sa che dovrò ripassarmi un po di cose...

Nel frattempo l'esercizio chiede: Calcolare la funzione di trasferimento H(f) del sistema.

Mi sono trovato h(t) = u(t-T) - u(t-2T)

poi facendone la trasformata di fourier mi viene $H(f) = \frac{1}{-j2\pi f}\left[ e^{-j2\pi f2T} - e^{e-j2\pi fT}\right]$ sbaglio?

E poi chiede graficarne la caratteristica di ampiezza e di fase (e qui mi blocco... ) #-o

volpi ha scritto:Mi sono trovato

Come te la sei trovata questa relazione :?:

Allora, essendo i 2 filtri in cascata, h(t) = h_1(t) * h_2(t)

* (convoluzione)

$h(t) = \int_{\propto }^{\propto }h_1(t)h_2(t-\tau )d\tau$
$h(t) = \int_{\propto }^{\propto }\left[\delta (\tau - T) - \delta(\tau-2T) \right ]u(t-\tau)d\tau$
h(t) = u(t-T) -u(t-2T)

è sbagliato?

Corretto

(attenzione a scrivere correttamente gli estremi di integrazione)
Una volta che hai trovato nel primo punto le risposte armoniche, puoi evitarti di esplicitare la convoluzione nel dominio del tempo e rifarti la trasofmata di Fourier... A questo punto scrivi direttamente nel dominio della frequenza $H(f)=H_{1}(f)\cdot H_{2}(f)$ e sostituisci le singole risposte armoniche che hai già calcolato (come hai poi scritto in [5] ma non correttamente, perché continui ad utilizzare una trasformata sbagliata per il gradino unitario). La coppia è:

$\text{u}(t)\leftrightharpoons \frac{1}{2}\delta (f)+\frac{1}{j2\pi f}$

EDIT: Per graficarne ampiezza e fase ripeto: DEVI PRIMA RIPASSARE I NUMERI COMPLESSI :!: