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Allora ho il seguente circuito rivelatore di inviluppo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Sul libro c'è scritto il procedimento per calcolare la $\tau$ ottimane del condensatore, ma avrei dei dubbi e non ho capito alcuni passaggi. Allora si considerano il segnale rivelato di equazione:

$v_2(t)=V_m(1+\sin(\Omega t))e^{- \frac{t-t_0}{\tau}}$

E l'invliluppo del segnale:

$v_1(t)=V_m(1+\sin(\Omega t))$

C'è scritto che per calcolare la costante di tempo ottima, bisogna imporre che a t=t_0

la pendenza dell'inviluppo sia minore della pendenza dell'esponenziale, quindi passando alle derivate:

$\frac{dv_2(t)}{dt} = - \frac{V_m}{\tau}(1+msin(\Omega t_0))e^{- \frac{t-t_0}{\tau}$

Quindi se t=t_0

si ottiene:

$\frac{dv_2(t)}{dt} = - \frac{V_m}{\tau}(1+m\sin(\Omega t_0))$

Per l'altra derivata:

$\frac{dv_1(t)}{dt} = m\Omega V_m\cos(\Omega t_0)$

Quindi:

$- \frac{V_m}{\tau}(1+m\sin(\Omega t_0))$ < $m\Omega V_m\cos(\Omega t_0)$

A questo punto avrei il primo dubbio, non dovrebbe essere la derivata del segnale v_1(t)

ad essere minore del segnale v_2(t)

? Ovvero la pendenza dell'inviluppo minore della pendenza dell'esponenziale?

Risolvendo la disequazione rispetto a $\tau$ si ricava la costante ottima rispetto a t_0

$\tau _0$ < $- \frac{1+m\sin(\Omega t_0)}{m \Omega \cos(\Omega t_0)}$

Infine derivando rispetto a t_0

si ottiene:

$\tau_0$ < $\frac{1}{\Omega} \frac{\sqrt{1-m^2}}{m}$

Non sono descritti i passaggi che portano al risultato, però io derivando l'espressione rispetto a t_0

ottengo:

$\frac{d \tau_0}{dt_0} = \frac{m+\sin(\Omega t_0)}{m(1-\sin(\Omega t_0)}$

Come arrivo al risultato del libro? Qualcuno è in grado di aiutarmi?

ireon ha scritto:[...]
A questo punto avrei il primo dubbio, non dovrebbe essere la derivata del segnale ad essere minore del segnale ? Ovvero la pendenza dell'inviluppo minore della pendenza dell'esponenziale?
[...]

Beh direi (a parte qualche m sperso qua e là :mrgreen:

) direi che ha ragione il libro. Forse ti sfugge che le pendenze in questione sono negative ;-)

e che quindi minore significa più ripida

.

In pratica l'esponenziale deve scendere più velocemente di quanto non faccia l'inviluppo del segnale, quindi la sua derivata deve essere più negativa, cioè minore :ok:

ireon ha scritto:[...]
$\tau _0$ < $- \frac{1+m\sin(\Omega t_0)}{m \Omega \cos(\Omega t_0)}$

Infine derivando rispetto a si ottiene:

$\tau_0$ < $\frac{1}{\Omega} \frac{\sqrt{1-m^2}}{m}$

Non sono descritti i passaggi che portano al risultato, però io derivando l'espressione rispetto a ottengo:

$\frac{d \tau_0}{dt_0} = \frac{m+\sin(\Omega t_0)}{m(1-\sin(\Omega t_0)}$
[...]

Qui "..infine derivando rispetto to si ottiene..." significa:

"..ora che abbiamo trovato la maggiorazione di τ in funzione di to troviamo per quale to (quale istante, quale punto della sinusoide modulante) abbiamo un minimo e quindi quanto vale questo minimo (che è poi il valore di τ che soddisfa la disequazione sempre, per ogni to)"

quindi:

i) deriva ( sicuro del denominatore ?? )
ii) annullalo per trovare il minimo (magari non ci serve proprio to, ma ad esempio ci basta $\sin\left(\Omega\,t_0\right)=-m$ ;-)

)
iii) a questo punto ci servirebbe anche il coseno dell stesso angolo (OCCHIO a scegliere quello col segno giusto :-"

)
iv) ora non ci resta che sostituire nella relazione di τo.... :ok:

Ti ringrazio per la risposta :-)

Comunque si la derivata del denominatore dovrebbe essere $m(1-sin^2 \Omega t_0)$

Comunque uguagliando a 0 la derivata si ottiene:

$sin\Omega t_0=-m$

E sostituendo nella relazione avrei:

$\tau_0 < \frac{m^2-1}{m\Omega \sqrt{1-m^2}}$

Che è diversa dalla relazione che dovrei ottenere..

Al denominatore al posto di $cos\Omega t_0$ ho scritto:

$cos\Omega t_0=\sqrt{1-sin^2\Omega t_0}$

carloc ha scritto:[...]
il coseno dell stesso angolo (OCCHIO a scegliere quello col segno giusto )
[...]

secondo te hai prestato attenzione a questo velato :mrgreen:

avvertimento?

Allora si ha che $\cos\,\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

..secondo te quale è il segno giusto da mettere? Vedi le forme d'onda che hai postato.. in quali quadranti è possibile avere soluzioni? ;-)

Oppure potresti anche aver notato che l'ultima che hai scritto

ireon ha scritto: $\tau_0 < \frac{m^2-1}{m\Omega \sqrt{1-m^2}}$

non potrà mai essere vera ferma restando l'ipotesi che $m \in [0,1]$ e $\Omega >0$ e quindi hai un numero negativo a destra che non sarà mai maggiore della costante di tempo ( >0) a sinistra ;-)

Ho capito, ecco perché non mi tornava il segno nella soluzione :-)

ora magari -se ti va- potresti spiegare a beneficio di chi leggerà questo thread per quale motivo la soluzione giusta è quella con radicale negativo

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