ElectroYou

Salve a tutti. Ho provato più volte il calcolo della risposta all'impulso di questo sistema, ma una volta trovata l'equazione dell'uscita nel dominio del tempo, sostituendo valori a 't' non mi vengono i risultati desiserati. La fdt è:

$G(s) = \frac{100}{s^2+2s+4} = \frac{100}{(s+1+\sqrt{3}i)(s+1-\sqrt{3}i)}$

A questo punto calcolo i fratti semplici e ottengo

$A = \frac{50\sqrt{3}i}{3}$ $B = -\frac{50\sqrt{3}i}{3}$

Quindi la mia forma dell'uscita nel dominio del tempo:

$y(t) = \frac{100\sqrt{3}}{3}e^{-t}cos(\sqrt{3}t+\frac{\pi}{2})$

Con questo risultato non trovo la soluzione corretta. Potete aiutarmi a farmi capire dove sbaglio? Grazie in anticipo

Io ottengo questo risultato:

$\frac{100 \sqrt{3}}{3} e^{- t} \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

dal tuo risultato puoi semplificare in questo modo:

$\cos{\left (\sqrt{3} t + \frac{\pi}{2}\right )} = - \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

mancano i passaggi intermedi ma credo che hai sbagliato il segno di $\;\frac{\pi}{2}$ .

Scusa, ma se

$\cos{\left (\sqrt{3} t + \frac{\pi}{2}\right )} = - \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

perché qui

$\frac{100 \sqrt{3}}{3} e^{- t} \sin{\left (\sqrt{3} t \right )}$

non compare il segno - (meno) ?

Perché è riferito alla tua equazione.

Rimossa citazione inutile

Ah ok. Quindi quello che sbaglio io è il segno di $\frac{\pi}{2}$ che invece dovrebbe essere $-\frac{\pi}{2}$ ?

Se cosi, potresti mostrarmi tu come lo calcoli? perché evidentemente sbaglio il metodo.
Grazie

Io non so' quali passaggi hai fatto, ho solo ipotizzato l'errore dal risultato riportato.

L'equazione scomposta in fratti semplici:

$G(s)={{50\,i}\over{\sqrt{3}\,\left(s+\sqrt{3}\,i+1\right)}}-{{50\,i }\over{\sqrt{3}\,\left(s-\sqrt{3}\,i+1\right)}}$

dall'alti-trasformata unilatera di Laplace (vale per $t \geq 0$ ):

$g(t) = {{\sqrt{3}\; 50\,i\,e^ {- \left(\sqrt{3}\,i+1\right)\,t }}\over{3}}-{{\sqrt{3}\; 50\,i\,e^ {- \left(1-\sqrt{3}\,i\right)\,t }}\over{3}}$

In forma trigonometrica:

$g(t) = {{\sqrt{3}\; 50\,i\,e^ {- t }\,\left(\cos \left(\sqrt{3}\,t\right)-i\,\sin \left(\sqrt{3}\,t\right)\right)}\over{3}}-{{\sqrt{3} \; 50\,i\,e^ {- t } \,\left(i\,\sin \left(\sqrt{3}\,t\right)+\cos \left(\sqrt{3}\,t \right)\right)}\over{3}}$

semplificando:

$g(t) = {{\sqrt{3} \;100\,e^ {- t }\,\sin \left(\sqrt{3}\,t\right)}\over{3}}$

Non fa una grinza. Io ho sempre utilizzato un'altra formula per il calcolo dell'antitrasformata di laplace di una frazione con poli cc, ovvero calcolavo il modulo del residuo 'R' e la sua fase, dopodichè facevo:

$2|R|e^{Re(R)}cos(Im(R)t+arg(R))$

È corretta questa formula? Se si, potresti mostrarmi come verrebbe il calcolo della fase del coseno?

La formula che hai riportato non l'ho mai usata in nessun mio corso.

L'ho cercata, credo che sia sbagliata, è in funzione solo del residuo, invece è in funzione del polo e del residuo. come spiegato in questo documento:

http://ece.gmu.edu/~gbeale/ece_220/complex-pole-pfe.pdf

Riscrivendo la formula dove p è il polo associato al residuo R:

$2|R|e^{Re(p) \, t}cos(Im(p)\,t+\angle R)$

Si hai ragione ho sbagliato a scrivere. Grazie per il documento e per le delucidazioni.

ElectroYou

(Esercizio) Risposta impulsiva di un sistema a poli cc

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