ElectroYou

Ciao a tutti! Ho un dubbio qui riguardo a una vecchia formula che sto cercando di ricavare perché non la trovo...
L'esercizio chiede la risposta della fdt W(s)

(di cui ho il diagramma di Bode delle fasi e del modulo) per un ingresso $u(t)=5+10\sin(\omega_0 t + \gamma)$

Ricavando la fase $\phi(s)$ e |W(s)|

posso scrivere qualcosa del tipo:

$r(t)=5|W(0)|+|W(\omega_0)|10 \sin(\omega_0 t +\gamma + \phi(\omega_0))$

Ma non sono sicuro soprattutto riguardo a 5|W(0)|

qualcuno riesce a confermarmi per favore?

Penso che tu debba considerare anche la fase in continua, perché il sistema potrebbe avere un guadagno negativo in continua. Detto ciò, mi sembra corretta come formula.
L'altra cosa che farei è moltiplicare tutto il risultato per la funzione gradino. Con le funzioni di trasferimento, porta bene.

Ovviamente assumo che tu stia cercando la risposta a regime del sistema.

Grazie per la risposta!
Riguardo alla continua, non ci avevo pensato meglio introdurla in qualche modo tipo:

$r(t)=5|W(0)|g(\phi(0))+|W(\omega_0)|10 \sin(\omega_0 t +\gamma + \phi(\omega_0))$

dove g dipende un po' dai casi ad esempio se ho un polo nell'origine la risposta a regime diverge per la parte continua quindi bisogna aggiungere

etc... tutto sommato questa formula risulta utile solo per sistemi BIBO stabili credo...

Se il sistema non è stabile, non ha senso la sua analisi per mezzo di un ingresso a gradino. Devi valutare caso per caso.
Questa formula vale solo a regime, per come hai scritto la sinusoide.

ElectroYou

Risposta dal diagramma di Bode

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Re: Risposta dal diagramma di Bode

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