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Video electroboom

Elettronica lineare e digitale: didattica ed applicazioni

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[121] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 10 nov 2018, 12:55

Condurmi è la parola meglio riuscita del thread.
Pensa... pensa...
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[122] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 nov 2018, 13:08

A me l'unica cosa che viene in mente è che se il campo elettrico in [78] esiste già da t=-\infty, e di conseguenza anche le cariche, allora l'equazione \nabla \cdot \mathcal{\underline{D}}=\rho non vale più, ma vale invece una generale:

\nabla \cdot \mathcal{\underline{D}}-\rho=\text{const}

ma ciò non vedo come influisca su rotore e divergenza del campo \mathcal{B}, infatti credo non sia questa la strada giusta da seguire.

Credo che invece la questione possa essere ancora più semplificata, ed è per questo che prima sospettavo di un qualche problema nell'applicazione del teorema di Stokes.
Basta togliere di mezzo l'elettromagnetismo, e considerare un generico campo vettoriale \mathcal{F} che sia vorticoso e radialmente a gradino, annullandosi per r>r_0. Prendere una superficie circolare di raggio maggiore di r_0 e vedere che il teorema di Stokes non funziona: l'integrale del rotore di campo all'interno non è nullo, ma sul bordo della superficie non c'è campo.
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
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[123] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 nov 2018, 13:12

Ah ecco, forse sto scordando una delta di Dirac in r=r_0.
Potrebbe essere tutto qui l'intoppo?
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[124] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 10 nov 2018, 13:12

SIIIIIII
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[125] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 nov 2018, 13:13

Quindi è quella \delta (r-r_0) nell'espressione del rotore che mi annulla l'integrale di superficie?
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[126] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 10 nov 2018, 13:15

Già
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[127] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 nov 2018, 13:16

Thank you :ok:
Grazie a tutti i partecipanti.
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[128] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 10 nov 2018, 13:20

Un grazie a te che hai sopportato la mia scarsità di indizi ;-)

Dobbiamo imparare tutti a collaborare per arrivare insieme alla soluzione di un problema. Questo è EY.
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[129] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 nov 2018, 15:28

No, neanche.
Scusa, un minuto e sistemo la domanda che mi è sorta adesso.
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[130] Re: Video electroboom

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 nov 2018, 16:22

La cosa mi crea altri problemi, perdonami.
Abbiamo detto che nel caso di un campo vorticoso \mathcal{F}, radialmente confinato, la cosa torna perché compare una delta di Dirac nell'espressione del rotore di \mathcal{F}. Tutto ok.

Tornando all'elettromagnetismo, il problema risorge quando (\mathcal{F} diventa ora \mathcal{B}) diciamo che tale rotore è uguale alla derivata temporale di \mathcal{E}.
Così facendo, la delta di Dirac che salvava il discorso prima, non compare più.
Ho costruito un esempio quantitativo.

Supponiamo di avere un filo conduttore circolare, nel vuoto:



e di prendere un sistema di coordinare cilindriche, con asse z passante per il centro dell'anello, dove si avrà z=0 e r=0.

Supponiamo di mettere su un campo elettrico così fatto (dove \mathcal{E}_0 avrà un'opportuna unità di misura):

\mathcal{\underline{E}}(r,\phi,z,t)=\underline{z}_0\bigg (u(t)t  \bigg )\bigg(\mathcal{E}_0u(-r-r_0)\bigg)

ovvero assente per t<0 e crescente linearmente per t\geq 0 (r_0<r_1).





Dunque:

\nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathcal{\underline{E}}(r,\phi,z,t)}{\partial t}+\mu_0\sigma (r,z)\mathcal{\underline{E}}(r,\phi,z,t)

dove \sigma (r,z) è la conducibilità nulla ovunque tranne che nell'anello.

Calcolando:

\nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=\underline{z}_0 \mu_0u(t)\mathcal{E}_0u(-r-r_0)\left (\epsilon_0+\sigma (r,z)t   \right )

Come si può notare, \nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t) è nullo per r>r_0.
A questo punto se faccio l'integrale di flusso del rotore attraverso questa superficie:



ottengo:

\int _S\underline{n}_0\cdot \nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)\mathrm{d}S= 2\pi r_0\mu_0\epsilon_0\mathcal{E}_0u(t)

che non è nullo.
D'altronde, dal teorema di Stokes quanto ottenuto si può calcolare equivalentemente con:

\oint  _{\partial S}\underline{\phi}_0\cdot \mathcal{\underline{B}}(r_1,\phi,z,t)r_1\mathrm{d}\phi

ma tale integrale deve essere zero, in quanto come notato prima \nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=0 per r>r_0, che aggiunta a \nabla \cdot \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=0 in tutto lo spazio, conduce a \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)=0 per r>r_0 \Rightarrow \oint  _{\partial S}\underline{\phi}_0\cdot \mathcal{\underline{B}}(r_1,\phi,z,t)r_0\mathrm{d}\phi=0.

Dunque a quanto pare:

\int _S\underline{n}_0\cdot \nabla \times \mathcal{\underline{B}}(r,\phi,z,t)\mathrm{d}S\neq \oint  _{\partial S}\underline{\phi}_0\cdot \mathcal{\underline{B}}(r_1,\phi,z,t)r_1\mathrm{d}\phi.

Dove ho sbagliato?
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