ElectroYou

Analizzando il seguente circuito:



nella solita maniera, ovvero considerando un guadagno finito, trovando in funzione di ed infine , tutto funziona correttamente.
Mi stavo chiedendo come mai, immaginando i vari causa-effetto-causa-effetto-..., ottengo una successione non convergente:






Come si spiega?

Bella osservazione, non ci avevo pensato.

Stai ipotizzando di partire con . Accendi , ti ritrovi ad avere una discontinuità sulla , con , e l'amplificatore amplifica questa differenza. La retroazione riporta all'ingresso questa differenza amplificata. Ma a causa dell'amplificazione ti ritrovi ora ad avere . L'ampli amplifica questo valore, che tende a ri-buttare giù , tornando ad avere , e così via.

Mi sembra che tu possa vederlo come un processo discreto iterativo per arrivare a convergenza per avere alla fine partendo da , di fatto applichi una serie di correzioni. è maggiore di , aspetta che lo aggiusto alzando , caspita ho alzato troppo , aspetta che aggiusto abbassando , caspita l'ho abbassato troppo, ....
Dovrebbe essere una cosa del tipo:


quindi l'alternanza del segno è solo dovuta a queste correzioni successive, dove ogni "correzione" va sempre un po' oltre essendo il guadagno diverso da 1.
No?

Concordo sull'alternanza di segno, ma non mi spiego ancora come mai salta fuori una divergenza e non una convergenza (come invece l'hai rappresentata nel tuo disegno)

Puoi spiegarti meglio, per favore?
Io volevo ricavare il guadagno d'anello chiuso come conseguenza, non come inizio.
Grazie della risposta.

Comunque UN giro il segnale lo fa: entra, fa un giro nell'anello (durante il quale viene invertito di polarità rispetto al segnale di entrata) e cancella quasi per intero il segnale di ingresso (il quasi è legato al valore del guadagno di anello, che è in pratica molto grande ma ovviamente non infinito).

I guai saltano fuori quando il segnale di ingresso, nel frattempo che fa il giro e torna indietro al punto di ingresso, cambia valore facendo sì che il confronto non avvenga più con il segnale che ha originariamente stimolato l'anello ma con un segnale che si è nel frattempo modificato. La differenza tra il segnale originale e il segnale che si è nel frattempo modificato va a costituire una NUOVA componente del segnale che viene immessa nell'anello, girato di polarità e di nuovo confrontato con il segnale d'ingresso.

L'impressione che si ha è che qualcosa "faccia dei giri" ma la realtà è che ogni variazione del segnale in ingresso percorre l'anello SOLTANTO UNA VOLTA. Se comincia a farlo più volte, l'anello diventa instabile proprio perché non riesce più a sopprimere i segnali che circolano al suo interno (che, in assenza di stimolo, devono essere pari a zero).

Il problema mi sembra sia con la primissima equazione che hai scritto.
A quel punto (che tu indichi come n=1) in realtà non ci puoi proprio mai arrivare. La matematica da lì in poi è corretta, è solo quell'assunzione che frega, in quanto stai assumendo che l'uscita sia una certa amplificazione dell'ingresso considerando in contemporanea uscita nulla.

Forse per chiarire meglio la questione matematicamente potresti provare a mettere un blocco di delay fra e , ricavare le equazioni, e poi fare il limite per delay tendente a zero, e vedere cosa salta fuori (o forse, per aiutare i ragionamenti discretizzando gli istanti temporali, metti un flip-flop).

Il fatto che questo approccio discreto conduca a conclusioni in disaccordo con la realtà non basta per considerare sbagliato il modello matematico utilizzato?

Nella mia prima esercitazione di fisica c'era un corpo poggiato su un piano. Che la reazione del piano dovesse essere uguale e contraria al peso del corpo mi rese un attimo perplesso. Poi mi tranquillizzai pensando: "se la reazione fosse eccessiva il corpo schizzerebbe verso l'alto, se la reazione fosse insufficiente il corpo sfonderebbe il piano e precipiterebbe giù, alla fine dovranno pur mettersi d'accordo" e non ci ho mai più pensato.

Avevo postato una risposta prima ma l'ho rimossa perché non era molto corretta.
Si spiega con il fatto che il modello discreto da te proposto non è equivalente a quello fisico se non per il fatto che possiede un punto fisso in ma è instabile dato che ha autovalori fuori dal cerchio unitario. Immagino che la probabilità di arrivarci partendo da un punto dello spazio abbia misura nulla.
Per risolvere il problema dovresti stabilizzare il sistema. Questo fisicamente è garantito dalla presenza di capacità parassite che limitano l'esplosione dei segnali in piccoli intervalli di tempo e la saturazione delle tensioni.