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Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variabile)

MessaggioInviato: 10 set 2019, 15:05
da albi17
Buongiorno a tutti,
sono nuovo da queste parti, vorrei chiedervi una mano nel risolvere la seconda parte di questo esercizio. La prima l'ho risolta trovando i parametri di tensione e corrente per condensatori e induttori per t<0 e poi mi sono tramite l'equivalente di Thevenin mi sono riuscito a calcolare la corrente richiesta.
Per quanto riguarda la seconda parte, quando viene aperto l'interruttore non riesco a capire come scrivere le equazioni per ricavare la tensione Vj richiesta. Ho provato a scriverla con i fasori ma non ho la pulsazione del generatore (in quanto in stazionario) per valutare l'eventuale risonanza del condensatore/induttore, e scrivendo invece LKT lungo l'anello esterno ho problemi perché ho un'equazione differenziale con più incognite. Spero nel vostro aiuto perché sono due giorni che sono bloccato lì.

Allego il testo dell'esercizio

esercizio.JPG

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 10 set 2019, 18:39
da RenzoDF
albi17 ha scritto:... non riesco a capire come scrivere le equazioni per ricavare la tensione Vj richiesta.

Direi che basti una semplice KVL, ovvero

v_J(t)=R_3(J-i_2(t))+v_C(t)+J R_1-E

nella quale per la v_C(t), ricavata la pulsazione di risonanza, e considerate le condizioni iniziali, ti basterà ottenere il suo valore massimo, da semplici uguaglianze: energetiche o differenziali. ;-)

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 12:29
da albi17
Intanto grazie della risposta. Ho provato ad applicare l'equazione da te ricavata utilizzando LKT...
data la corrente i_2(0-)=3 A e la tensione v_C(0-)=v_C(0+)=120 V (sempre che non abbia fatto qualche errore) la v_J(0)=3140 che potrebbe essere valido o meno a seconda poi della parte che mi manca... ma da lì come procedo per ricavarmi la parte esponenziale e sinusoidale?
Se scrivo v_J(t)=R_3(J-i_2(t))+v_C(t)+J R_1-E=R_3(J-12+9^{-2000t})+v_C(t)+J R_1-E dovrei ottenere una sola incognita v_C(t), ma è giusto procedere in questo modo?

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 13:23
da RenzoDF
Puoi dirmi come hai determinato le condizioni iniziali per la corrente in L1 e la tensione su C?

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 14:33
da RenzoDF
albi17 ha scritto: ... ma è giusto procedere in questo modo?

Mah, noi idraulici di solito facciamo in quel modo, poi sul fatto che sia "giusto" ti confesso che non ci scommetterei nemmeno un soldo bucato. :mrgreen:

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 14:50
da albi17
RenzoDF ha scritto:Puoi dirmi come hai determinato le condizioni iniziali per la corrente in L1 e la tensione su C?

Come condizione iniziale di L_1 ho calcolato semplicemente la corrente che attraversa R_1 visto che per t<0 il circuito si trova a regime stazionario e per cui la corrente che scorre per R_1 scorre anche in L_1 dato che c corrisponde ad un aperto. Solo che ora mi viene il dubbio in quanto LKC forse non torna.
Per quanto riguarda la corrente i_2 ho considerato il partitore di tensione tra R_1 e il parallelo tra R_2 // R_3 che viene 120 V e da lì ho calcolato la corrente sul resistore.

RenzoDF ha scritto: Come può essere incognita, visto che a secondo membro scriviamo la sua funzione del tempo?

Scusa non capisco cosa intendi... io v_C non ce l'ho in quanto so quanto vale v_C(0+)=120 V (in teoria) ma quando apro l'interruttore bisognerebbe scrivere l'evoluzione che ha nel tempo....

Ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 15:28
da RenzoDF
albi17 ha scritto:... Come condizione iniziale di L_1 ho calcolato semplicemente la corrente che attraversa R_1 visto che per t<0 il circuito si trova a regime stazionario ...

Esatto e quindi

i_{L_1}(0)=5 \, \text{A}

ma essendo L1 equivalente ad un cortocircuito ed essendo C in parallelo a L1

v_C(0)=0  \, \text{V}

fin qui concordi?

albi17 ha scritto:... Scusa non capisco cosa intendi...

Scusa ma non avevo visto bene la relazione e avevo già cancellato.

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 15:43
da albi17
RenzoDF ha scritto:Esatto e quindi
i_{L_1}(0)=5 \, \text{A}
ma essendo L1 equivalente ad un cortocircuito ed essendo C in parallelo a L1
v_C(0)=0  \, \text{V}


Per quanto riguarda a v_C(0)=0 concordo, il mio ragionamento era sbagliato. Per quanto riguarda L_1 sono un po' indeciso in quanto se faccio i_{L1}=i_{R1}=E/R_1 = 6.2 A se invece sfrutto LKC e quindi che la somma delle correnti uscenti i_{R2} + i_{R3} = i_{R1} = 5 A cioè la corrente entrante (e quindi la corrente su L).... a questo punto i due risultati sono discordanti e non so quale tenere...

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 15:47
da RenzoDF
albi17 ha scritto:... Per quanto riguarda L_1 sono un po' indeciso in quanto se faccio i_{L1}=i_{R1}=E/R_1 = 6.2 A ...

:shock:
Scusa ma la tensione ai morsetti di R1 non è pari a E.

Re: Calcolo tensione ai capi di un generatore (regime variab

MessaggioInviato: 11 set 2019, 15:58
da RenzoDF
Ora, scegliendo entrambe le correnti in L1 e C verso il basso e i positivi delle tensioni sui morsetti superiori, per andare a determinare vC(t), come ben sai, devi partire dalle due seguenti relazioni

J=i_C+i_L

e

v_C=v_L

per ottenere e poi risolvere una semplice equazione differenziale del secondo ordine.

Ti servirà quindi, oltre alla v_C(0) che conosciamo, anche la \dot v_C(0^+); la sai calcolare?