Thursday Analog Quiz #5
Inviato: 7 ott 2023, 13:31
Volevo proporre la soluzione del quiz #5 della serie Thursday Analog Quiz segnalata da @IsidoroKZ.
Riporto il testo in originale:
Lo smart trick al quale fanno riferimento è quello di considerare solo il primo degli elementi (quello più a sinistra) e di immaginarlo connesso a una sola resistenza dello stesso valore della resistenza equivalente.
Svolgendo
Da cui l'unica soluzione positiva
Svolgendo per la seconda domanda si ottiene
Con soluzione
La parte furba del trucco è quella di considerare che con un numero infinito di elementi, la differenza di resistenza equivalente a monte e a valle di un singolo elemento è nulla. Ovviamente il trucco funziona, ma volevo esporre un metodo differente, che non implica trucchi.
Iniziamo con il considerare un solo elemento, che sarà formato solamente dalle due resistenze in serie
e calcoliamo la resistenza equivalente come funzione della resistenza di riferimento. Nominiamo questa resistenza
, come prima della serie che andremo a ottenere. Nominiamo con lo stesso indice anche il fattore di proporzionalità 
.
Aggiungiamo ora (a sinistra), un secondo elemento, e calcoliamo la nuova resistenza equivalente.
Abbiamo ottenuto un nuovo fattore di proporzionalità
.
L’aggiunta di un ulteriore elemento non modificherà nulla rispetto a quanto visto ora, quindi possiamo generalizzare la successione dei fattori
scrivendo.
Facciamo ora alcune considerazioni sul valore assunto da nella successione appena definita:
1) dato che la resistenza equivalente è certamente compresa tra R e 2R, è compreso tra 1 e 2;
2) dato che l’aggiunta di elementi alla serie comporta la riduzione della resistenza in parallelo al primo, la successione è strettamente decrescente.
Le due considerazioni qui sopra non sono sufficienti a assicurare la convergenza della successione, dobbiamo analizzare l’andamento della distanza tra due elementi consecutivi. Nominando
questa distanza si ottiene.
La funzione in è una parabola con il vertice in alto e nell’intervallo [1, 2] di nostro interesse è strettamente decrescente.
Il primo degli elementi della successione () fornisce per 
un valore negativo (-1/3), come già sapevamo. La successione può progredire solo verso sinistra e non può superare il punto di ordinata zero perché deve essere sempre decrescente. Oltre a questo, la successione è destinata a raggiungere quel punto, in quanto strettamente decrescente.
Pertanto, il limite della successione per n tendente a infinito coincide con la soluzione compresa nell’intervallo [1, 2] dell’equazione
In modo del tutto equivalente si giunge al risultato
se si considerano le due resistenze una di valore R e l'altra di valore 2R.
Nota: La soluzione al primo dei due quesiti è il numero
.
Riporto il testo in originale:
Lo smart trick al quale fanno riferimento è quello di considerare solo il primo degli elementi (quello più a sinistra) e di immaginarlo connesso a una sola resistenza dello stesso valore della resistenza equivalente.
Svolgendo
Da cui l'unica soluzione positiva
Svolgendo per la seconda domanda si ottiene
Con soluzione
La parte furba del trucco è quella di considerare che con un numero infinito di elementi, la differenza di resistenza equivalente a monte e a valle di un singolo elemento è nulla. Ovviamente il trucco funziona, ma volevo esporre un metodo differente, che non implica trucchi.
Iniziamo con il considerare un solo elemento, che sarà formato solamente dalle due resistenze in serie
e calcoliamo la resistenza equivalente come funzione della resistenza di riferimento. Nominiamo questa resistenza
, come prima della serie che andremo a ottenere. Nominiamo con lo stesso indice anche il fattore di proporzionalità .Aggiungiamo ora (a sinistra), un secondo elemento, e calcoliamo la nuova resistenza equivalente.
Abbiamo ottenuto un nuovo fattore di proporzionalità
.L’aggiunta di un ulteriore elemento non modificherà nulla rispetto a quanto visto ora, quindi possiamo generalizzare la successione dei fattori
scrivendo.Facciamo ora alcune considerazioni sul valore assunto da
nella successione appena definita:1) dato che la resistenza equivalente è certamente compresa tra R e 2R,
è compreso tra 1 e 2;2) dato che l’aggiunta di elementi alla serie comporta la riduzione della resistenza in parallelo al primo, la successione
è strettamente decrescente.Le due considerazioni qui sopra non sono sufficienti a assicurare la convergenza della successione, dobbiamo analizzare l’andamento della distanza tra due elementi consecutivi. Nominando
questa distanza si ottiene.La funzione in
è una parabola con il vertice in alto e nell’intervallo [1, 2] di nostro interesse è strettamente decrescente.- Plot.PNG (12.29 KiB) Visto 2976 volte
Il primo degli elementi della successione (
) fornisce per un valore negativo (-1/3), come già sapevamo. La successione può progredire solo verso sinistra e non può superare il punto di ordinata zero perché deve essere sempre decrescente. Oltre a questo, la successione è destinata a raggiungere quel punto, in quanto strettamente decrescente.Pertanto, il limite della successione per n tendente a infinito coincide con la soluzione compresa nell’intervallo [1, 2] dell’equazione
In modo del tutto equivalente si giunge al risultato
se si considerano le due resistenze una di valore R e l'altra di valore 2R.Nota: La soluzione al primo dei due quesiti è il numero
.