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Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

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[11] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 2 lug 2010, 17:21

Devi supporre di riempire la cavità con due sfere cariche con la stessa densità ma con segno opposto !

e poi calcolare nei vari punti il campo vettoriale prodotto dalle due sfere ideali :

a) quella di raggio 5 cm completa senza cavità
b) quella di raggio 2 cm e densità di carica opposta.

la proporzione fra le cariche delle due sfere (segno a parte) è uguale a quella fra i volumi, essendo la densità uguale (in modulo) ecco da dove arriva il rapporto fra i raggi al cubo !

La formula del testo deriva dal fatto che i due campi in P devi calcolarli a questo punto tenendo conto SOLO della carica interna, ovvero:
a) di quella sotto-sfera che con centro in O passa per P, per la sfera carica positivamente
b) di quella sotto-sfera che con centro in O' passa per P, per la sfera carica negativamente

e quando, per usare Gauss fai il rapporto fra il volume e la superficie ... rimane un r ... e un 3 :mrgreen:


E=\frac{\rho }{\varepsilon }\cdot \frac{4\pi r^{3}}{3}\cdot \frac{1}{4\pi r^{2}}=\frac{\rho }{3\varepsilon }r


BTW Come vedi avevo fatto un altro errore, mi ero dimenticato di calcolare la densità togliendo la cavità, ora ho corretto!
... e un consiglio, rileggi sempre i miei post precedenti, molte volte riedito quanto già scritto ;)
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[12] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 2 lug 2010, 18:45

Ti ringrazio del tuo aiuto, ma non ci riesco.
Come vedi, ci ho provato, in precedenza.
Anche con questi tuoi ultimi suggerimenti non ci arrivo proprio.
In fisica sono un tonto totale.
Se per te è possibile risolvere tutto il primo punto passaggio per passaggio con i numeri, te ne sarei molto grato visto che io proprio non ci riesco nonostante ci abbia provato.

Per esempio, ho visto la tua correzione a riguardo del calcolo di Q1. Non capisco come determinare quella formula. Mi servirebbe capire come ci sei arrivato tramite formule. Alla formula di Q2, per esempio che ti chiedevo prima, e che non ho capito nonostante il tuo tentativo di spiegarlo forse ci sono arrivato tramite \rho

ho fatto così ma non ne sono sicuro.

\rho = \frac{Q_{1}}{V_{1}}

\rho = \frac{Q_{2}}{V_{2}}

uguagliandole ho ottenuto

\frac{Q_{1}}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}} = \frac{Q_{2}}{\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}}

quindi ho ottenuto

\frac{Q_{1}}{R_{1}^3} = \frac{Q_{2}}{R_{2}^{3}}

Q_{2} = \frac{R_{2}^{3}}{R_{1}^{3}}

ovviamente in modulo.

Come vedi, sono praticamente negato in fisica, e scrivere come fare senza le formule non mi aiuta granché, nonostante il mio impegno.

Se ti va di scrivere le formule da utilizzare passaggio per passaggio (e anche come si sono ottenute) te ne sarei grato.

Grazie ancora.
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[13] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 2 lug 2010, 18:50

dato che il testo inizialmente parla della carica totale della sfera cava, per calcolare la densità di carica devi dividere la Q=10nC per l'effettivo volume della sfera cava, ovvero la differenza fra volume della sfera di raggio R1 e quella di raggio R2 !

trovata \rho, devo calcolare Q1 e Q2


e da questo punto in poi, il tuo procedimento matematico è corretto, anche se ti sei dimenticato un Q1 nell'ultima relazione!

dimmi se fin qui ci siamo !
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[14] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 2 lug 2010, 19:11

Ti ringrazio tantissimo, finalmente ho capito come calcolare Q1 in funzione di Q.
Lo scrivo così controlli se i ragionamenti sono giusti o meno.

\rho = \frac{Q}{V}

dove per Q intendo la carica totale data dal problema (ovvero la carica presente nella sfera avente la cavità) e per V intendo il volume della sfera cava(che ricavo sottraendo al volume della sfera intera(non avente cavità), il volume della cavità, ottenendo quindi il volume della sfera cava)

\rho = \frac{10^{-8} C}{V_{sfera piena} - V_{sfera cava}} = \frac{10^{-8}C}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} - \frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}} = \frac{10^{-8}C}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

ma so anche, sempre per \rho che vale la seguente relazione

\rho = \frac{Q_{1}}{V_{1}}

dove per Q_{1} intendo la carica della sfera piena, senza cavità; e per V_{1} il volume ad essa corrispondente (e quindi avente raggio R_{1})

\rho = \frac{Q_{1}}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}}

uguagliando queste due espressioni ottengo:

\frac{10^{-8}C}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} = \frac{Q_{1}}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}}

da cui ottengo:

Q_{1} = \frac{10^{-8}C}{R_{1}^{3} - R_{2}^{3}} R_{1}^{3}
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[15] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 2 lug 2010, 19:16

Perfetto ! =D>

BTW ... ricorda solo che poi devi considerare sotto-sfere per calcolare i campi elettrici con Gauss ... e successivamente sommarli per via vettoriale !
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[16] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 5 lug 2010, 10:09

RenzoDF ha scritto:Perfetto ! =D>

BTW ... ricorda solo che poi devi considerare sotto-sfere per calcolare i campi elettrici con Gauss ... e successivamente sommarli per via vettoriale !


OK, sono riuscito ad ottenere il campo elettrico.

Scrivo il procedimento dall'inizio senza numeri, che alla fin fine sono facili da sostituire.



Q è la carica presente in una sfera di raggio R1 avente una cavità non concentrica di raggio R2.

Otteniamo il campo tramite il teorema di sovrapposizione.

Sapendo che la densità di carica \rho è costante, sfruttiamo le seguenti relazioni:

1) \rho = \frac{Q}{V} dove per V intendiamo il volume della sfera con cavità e per Q la carica corrispondente.

2) \rho = \frac{Q_{1}}{V_{1}} dove per V1 intendiamo il volume della sfera senza cavità (piena) e per Q1 la carica corrispondente

3) \rho = \frac{Q_{2}}{V_{2}} dove per V2 intendiamo il volume della sola cavità e per Q2 la carica corrispondente

Sostituendo i volumi otteniamo:

1) \rho =  \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} il volume è stato espresso come: volume della sfera piena - volume della cavità = volume della sfera con cavità

2) \rho = \frac{Q_{1}}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}}

3) \rho = \frac{Q_{2}}{\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}}

Facendo l'uguaglianza fra la 1) e la 2) otteniamo:

\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} = \frac{Q_{1}}{\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}} --> Q_{1} = \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{1}^{3}

Facendo l'uguaglianza fra la 1) e la 3) otteniamo:

\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} = \frac{Q_{2}}{\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}} --> Q_{2} = \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{2}^{3}

Avendo calcolato Q1 e Q2, possiamo procedere a calcolare E1 e E2:

1) E_{1} = \frac{Q_{1}}{4\pi \varepsilon_{0} R_{1}^{2}}

2) E_{2} = \frac{Q_{2}}{4\pi \varepsilon_{0} R_{2}^{2}}

Sostituendo otteniamo:

1) E_{1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} R_{1}^{2}} \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{1}^{3} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{1}

2) E_{2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} R_{2}^{2}} \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{2}^{3} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{2}

Ricordandoci che E1 corrisponde al campo per la sfera piena (senza cavità) e che E2 corrisponde al campo per la sola cavità, come abbiamo fatto per il volume, possiamo ricavare che il modulo del campo E per la sfera avente la cavità è dato dalla differenza tra il modulo di E1 e il modulo di E2:

E = E_{1} - E_{2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} (R_{1} - R_{2})

sapendo che \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} otteniamo:

E = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{Q}{4\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} (R_{1} - R_{2})

Moltiplicando per 3 e dividendo per 3 ottengo:

E = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{3}{3} \frac{Q}{4\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} (R_{1} - R_{2})



E = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} (R_{1} - R_{2}) \frac{1}{3}



E = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \rho (R_{1} - R_{2}) \frac{1}{3}



E = \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (R_{1} - R_{2})


Questo dovrebbe essere tutto il procedimento corretto, ti ringrazio ancora dell'aiuto.
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[17] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 5 lug 2010, 10:23

Per le densità va bene (ricorda il segno opposto), ma non ci siamo con i campi che:

a) devono essere sommati vettorialmente
b) sono funzioni del punto

E1-E2 è un calcolo vettoriale e non scalare !

BTW ricorda che sarebbe sempre meglio scrivere
\bar{E}=\bar{E}_{1}+\bar{E}_{2}
e poi considerare il segno della carica.

Indicativamente, per il punto A

field1.gif
field1.gif (14.82 KiB) Osservato 2855 volte


mentre per il punto P, solo le cariche interne alle sotto-sfere con centri in O e in O' e passanti per P (evidenziate in rosso e verde) devono essere considerate per usare Gauss, e NON tutta la carica Q1 e Q2 :!:

e quindi

field2.gif
field2.gif (18.2 KiB) Osservato 2844 volte


BTW 2 ... il bello è che hai quotato la parte del mio messaggio, che ti avrebbe fatto evitare i tuoi due errori, ma non hai proprio preso in considerazione quello che c'era scritto :mrgreen:
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[18] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 5 lug 2010, 18:27

Si, hai ragione, ho incominciato il ragionamento tenendo a mente il tuo consiglio, però poi mentre sviluppavo tutto dall'inizio l'ho dimenticato, preso dalla foga!

Provo a riscrivere il ragionamento sperando di essermi avvicinato alla soluzione...

Nel caso di E(A) dovrei avere:

E_{1}(A) = \frac{Q_{1}}{S} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}R_{1}^{2}} \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} R_{1}^{3} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}R_{1}

esattamente come avevo fatto prima (però sbagliando, perché prima lo davo per buono per il punto P, mentre ora lo è per A)

Per E2, al posto di R2 dovrei invece avere AO' che posso ricavare con il teorema di pitagora sapendo che OA coincide con R1 e OO' è la distanza dei due centri

E_{2}(A) =  - \frac{1}{4\pi \varepsilon O^{l}A} \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} O^{l}A = - \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}O^{l}A

In E1(A) si nota che R1 coincide con il vettore posizione r1, a causa della disposizione particolare di A.

Procedo con la somma e ottengo:

\bar E(A) = \bar E_{1}(A) + \bar E_{2}(A)

\bar E(A) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0}(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}(r_{1} - r_{2})

sapendo che:

\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

ottengo:

\bar E = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{3}{3} \frac{Q}{4\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}(r_{1} - r_{2})

\bar E = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} (r_{1} - r_{2}) \frac{1}{3}

\bar E = \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}(r_{1} - r_{2})

Nel caso di E(P), il tuo consiglio di non utilizzare Q1 e Q2, mi ha lasciato spiazzato! Come dovrei fare per calcolare le "nuove" cariche?
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[19] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 5 lug 2010, 18:49

Le calcolerai dal prodotto

Densità di carica X Volume sotto-sfere

BTW indica anche r1 e r2 come vettori !
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[20] Re: Campo elettrico nella cavità di una sfera carica

Messaggioda Foto Utentewasp1311 » 5 lug 2010, 19:58

Ok, provo a determinare ora il campo in P

Indico le nuove cariche con un apice

Q_{1}^{I} = \rho V_{1}^{I} = \rho \frac{4}{3} \pi \overline {OP}^{3} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} \frac{4}{3} \pi \overline {OP}^{3} = \frac{Q}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} \overline {OP}^{3}

Q_{2}^{I} = \rho V_{2}^{I} = \rho \frac{4}{3} \pi \overline {O^{I}P}^{3} = - \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} \frac{4}{3} \pi \overline {O^{I}P}^{3}

\overline {E_{1}^{I}}(P) = \frac{Q_{1}^{I}}{S_{1}^{I}}= \frac{Q_{1}^{I}}{4\pi \varepsilon_{0} \overline {OP}^{2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} \overline {OP}^{2}} \frac{Q\overline {OP}^{3}}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} = \frac{Q\overline {OP}}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

dove per S1 ' indico la superficie rossa avente raggio OP

\overline {E_{2}^{I}}(P) = \frac{Q_{2}^{I}}{S_{2}^{I}} = -  \frac{Q_{2}^{I}}{4 \pi \varepsilon_{0} \overline{O^{I}P}^{2}} = - \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} \overline{O^{I}P}^{2}} \frac{Q\overline{O^{I}P}^{3}}{(R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} = - \frac{Q\overline{O^{I}P}}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

dove per S2 ' indico la superficie verde avente raggio O'P

\overline {E^{I}}(P) = \overline {E_{1}^{I}}(P) + \overline {E_{2}^{I}}(P)

\overline {E}(P) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} -R_{2}^{3})}(\overline {OP} - \overline {O^{I}P})

sapendo che \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})}

\overline {E}(P) = \frac{1}{3\varepsilon_{0}} \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi \varepsilon_{0} (R_{1}^{3} - R_{2}^{3})} (\overline {OP} - \overline {O^{I}P})

\overline {E}(P) = \frac{1}{3\varepsilon_{0}} \rho (\overline {OP} - \overline {O^{I}P})
\overline {E}(P) = \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (\overline {OP} - \overline {O^{I}P})

essendo \overline {OP} il vettore posizione r1, ed essendo \overline {O^{I}P} il vettore posizione r2, otteniamo:

\overline {E}(P) = \frac{\rho}{3\varepsilon_{0}} (\overline {r_{1}} - \overline{r_{2}})
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