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Ciao a tutti.Ho il seguente problema di trasmissione del calore:

La superf interna di una tubazione di acciaio(conducibilità 37W/mK) del diametro interno di 16cm e spessore 25mm è a 314°C.La tubazione è posta in aria a 20°C.La conduttanza globale unitaria relativa allo scambio termico superf esterna del cilindro-aria vale 18 W/m2K.Calcolare lo spessore di materiale isolante(conducibilità pari a 0.6 W/mK) da impiegare per ridurre del 30% la potenza termica dispersa nella tubazione.(ris. 22mm).

Per tentare di risolverlo,ho supposto che inizialm n ci sia il secondo spessore x cui,il primo raggio r1=80mm e r2=105mm
Ho calcolato R1 ed R2 dalla formula R=ln(r2/r1)/2 pigreco k r e Q=314-20/R1+R2
Poi ho moltiplicato la Q ottenuta per 0.7 per avere il 30% e ho posto che il risultato ottenuto fosse pari a 314-20/Req+(1/conduttanza)
Ora xo' sia R1 che R2 saranno funzione dei nuovi raggi pari a r1=105mm e r2=105mm+s2
e anche la conduttanza se la moltiplico per l'area è funzione dello spessore incognito s2.....sto sbagliando il ragionamento o è giusto cosi'??grazie a chi mi aiuterà!

In attesa della risposta del tuo mentore ufficiale, il sommo RenzoDF, provo a dire come lo farei io.

Calcola la resistenza termica di un metro di tubo+aria, resistenza che e` data dalla somma di due termini. Non ho capito come hai calcolato la resistenza del tubo, prova a usare latex per le formule perche' "=ln(r2/r1)/2 pigreco k r" secondo me n non vuol dire nulla (mancano delle parentesi) e inoltre e` sbagliata, a meno che non voglia calcolare qualcosa che non capisco.

Poi va bene la moltiplicazione per 0.7, e da li` ricavi la resistenza termica totale, data da quella del tubo di acciaio, piu` le due incognite resistenza dell'isolante che devi mettere e quella di scambio con l'aria. Viene una equazione che si puo` risolvere per via numerica, ad esempio iterando la soluzione.

Il punto di partenza per l'iterazione potrebbe essere considerare la resistenza con l'aria costante, anche dopo aver aggiunto lo strato isolante, e calcolare quanta resistenza termica serve aggiungere con l'isolante. Trovato questo, hai lo spessore dell'isolante, il nuovo diametro esterno e ricalcoli la resistenza dello scambio con l'aria, che viene minore di prima. Allora devi aumentare la resistenza dell'isolante, ne ricalcoli lo spessore, trovi un secondo diametro esterno, e ricalcoli la resistenza con l'aria, che sara` minore di prima, richiedendo un isolante piu` spesso. Iteri un po' di volte e vedi quando il sistema arriva a convergenza. Credo che con un foglio excel si veda bene come converge la soluzione.

Non capisco a cosa serva conoscere le temperature, dato che

$\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{th}}\,\,\,\to \,\,\,\,0,7\cdot \dot{Q}=\Delta T\frac{0,7}{R_{th}}\,\,\,\,$

basterà considerare la resistenza termica finale Rf pari a quella iniziale Ri/0,7 ovvero aumentarla di circa il 43%;
detto ciò vado avanti lasciando per il momento il logaritmo ... conscio del pericolo :mrgreen:

$\frac{1}{0,7}\times \left( \frac{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}{2\pi \lambda _{1}}+\frac{1}{h_{est}2\pi R_{1}} \right)=\frac{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}{2\pi \lambda _{1}}+\frac{\ln \frac{R_{2}+x}{R_{2}}}{2\pi \lambda _{2}}+\frac{1}{h_{est}2\pi (R_{2}+x)}$

e passando alla relazione numerica

$\frac{1}{0,7}\times \left( \frac{\ln \frac{10,5}{8}}{2\pi \times 37}+\frac{1}{2\pi \times 18\times 0,105} \right)=\frac{\ln \frac{10,5}{8}}{2\pi \times 37}+\frac{\ln \frac{10,5+x}{10,5}}{2\pi \times 0,6}+\frac{1}{2\pi \times 18\times (10,5+x)10^{-2}}$

e semplificando

$0,1220=0,0012+0,265\times \ln \frac{10,5+x}{10,5}+\frac{1}{1,13\times (10,5+x)}$

dovremo quindi trovare lo zero di questa funzione

$f(x)=\ln \frac{10,5+x}{10,5}+\frac{1}{0,299\times (10,5+x)}-0,455$

plottando la f(x) con SpeQ ottengo

: w.jpg (33.18 KiB) Osservato 6143 volte

ingrandendo

: wi.jpg (38.07 KiB) Osservato 6143 volte

per risolvere con carta e penna ci sono due alternative accettabli, che consistono nell'approssimare il logaritmo o mediante i primi termini dello sviluppo di Taylor o, più semplicemente, approssimando la resistenza termica dello strato isolante come uno strato piano di spessore x e di superficie (ipotizzando un x<<R2)

$2\pi \left( R_{2}+\frac{x}{2} \right)L$

ovvero, per la resistenza specifica relativa a L=1 m

$R_{isol}=\frac{\ln \frac{R_{2}+x}{R_{2}}}{2\pi \lambda _{2}}\approx \frac{x}{2\pi \left( R_{2}+\frac{x}{2} \right)\lambda _{2}}$

nel seguente modo

$\frac{1}{0,7}\times \left( \frac{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}{2\pi \lambda _{1}}+\frac{1}{h_{est}2\pi R_{1}} \right)=\frac{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}{2\pi \lambda _{1}}+\frac{x}{2\pi \lambda _{2}\left( R_{2}+\frac{x}{2} \right)}+\frac{1}{h_{est}2\pi (R_{2}+x)}$

ricavo

$0.122=0,0012+\frac{x}{1.88\times (0.21+x)}+\frac{1}{113\times (0,105+x)}$

ma, faccio calcolare a Maxima le radici :mrgreen:

: 2010-04-28_113616.jpg (47.38 KiB) Osservato 6193 volte

NB ... questa volta x è in metri :wink:

Con il metodo iterativo si ottiene una tabella come quella indicata sotto.

La prima colonna contiene il raggio complessivo del tubo+isolante, in millimetri. La seconda colonna contiene lla resistenza termica del tubo metallico, in millikelvin al watt per ogni metro di lunghezza. Ho moltiplicato tutti i valori per 1000 per avere numeri "piu` belli". Questa colonna contiene cioe` $R_{tubo}=\frac{\ln \frac{R_{2}}{R_{1}}}{2\pi \lambda _{1}}$

La colonna successiva contiene la resistenza fra tubo e aria, considerando il diametro del tubo calcolato fino a quel punto e dato dalla prima colonna. In pratica $R_{aria}=\frac{1}{h_{est}2\pi (R_1+x)}$ dove x e` lo spessore dell'isolante.

La colonna successiva contiene la resistenza termica voluta, e quella dopo ancora la resistenza termica che si deve aggiungere per ottenere l'isolamento necessario.

L'ultima colonna calcola lo spessore dell'isolamento richiesto, dato da $x=R_2\left ( \text{e}^{(2\pi\,\lambda_2R_{iso})}-1 \right )$

: RthTubo.GIF (6.44 KiB) Osservato 6164 volte

Si vede che la prima iterazione da` come spessore 15mm, la seconda, che tiene conto della diminuita resistenza termica con l'aria a causa dell'aumento del raggio, fornisce 20.6mm, e dalla terza in avanti si e` stabilizzati su 22mm.

Grazie mille ragazzi...siete stati gentilissimi!scusate se n ho risp prima ma internet n m funzionava!!

aisha ha scritto:[..] se n ho risp prima ma internet n m funzionava!!

Ora devi controllare la tastiera :wink:

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