ElectroYou

Salve, sono scomparso per un bel po'.. ma rieccomi qua :roll:

Sono alle prese con un esercizio di fisica generale 2, la quale traccia è:

Su due gusci sferici di dimensione trascurabile, concentrici e di materiale isolante, è distribuita uniformemente una carica elettrica. Sapendo che la carica totale disposta sul guscio interno, di raggio $R_{1} = R$ è pari a $Q_{1} = Q$ , mentre quella sul guscio esterno $R_{2} = 2R$ è pari a $Q_{2} = 2Q$ . Si determini:

a) Le densità superficiali $\sigma_{1}, \sigma_{2}$
b) Il campo elettrico nei tre punti A,B,C posti sul medesimo raggio, di distanza dal centro pari a $R_{A} = R/2, R_{B} = 3R/2, R_{C} = 3R$ .

Mi viene così, $\sigma_{1} = Q/(4\pi R^{2}), \sigma_{2} = Q/(8\pi R^{2})$ .

Per il campo elettrico uso Gauss. Nel punto A (quello più interno), la carica racchiusa nella superficie gaussiana è nulla, da cui il campo elettrico in A è zero.

Per il punto B invece, mi vien fuori così: $\phi (B) = \oint_{\Sigma }\mathbf{E}\cdot \hat{\mathbf{n}} d\sigma$ .

Il campo elettrico è radiale in ogni punto alla superficie sigma, (n è il versore normale) e costante, per cui lo tiro fuori dall'integrale e ricavo:

$\mathbf{E}= \frac{Q_{D}}{9\pi \varepsilon_{0} R^{2}}$

Sostituendo $\sigma_{1}$ mi vien fuori: $\mathbf{E} = \frac{Q }{9\pi \epsilon_{0} \var R^{2}}$ .

Non ci sono purtroppo i risultati, e il tutor mi ha sempre fatto capire molto poco quando li svolge.
Ad ogni modo potete dirmi se è corretto? (Andrebbe sviluppato in un altro punto, ma il modo di proseguire penso sia analogo!)

Mi sembra tutto corretto. :ok:

Assieme ai complimenti per avere scritto molto bene le formule, ti faccio un paio di osservazioni:

v0id ha scritto:Per il punto B invece, mi vien fuori così: $\phi (B) = \oint_{\Sigma }\mathbf{E}\cdot \hat{\mathbf{n}} d\sigma$

Curiosità: usate veramente l'integrale cerchiato per gli integrali di superficie?

v0id ha scritto: $\mathbf{E}= \frac{Q_{D}}{9\pi \varepsilon_{0} R^{2}}$

Attenzione che qui mischi un vettore e uno scalare: a sinistra hai la componente del campo elettrico normale alla superficie gaussiana (visto che tale superficie è una sfera, la componente è quella radiale). Sarebbe meglio scrivere una cosa del tipo:

$E_\textup{r}= \frac{Q_{D}}{9\pi \varepsilon_{0} R^{2}}$

oppure

$\mathbf{E}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \frac{Q_{D}}{9\pi \varepsilon_{0} R^{2}}$

Ti ringrazio Dirty sia per la risposta rapida che per i complimenti ;-)

Per la questione dell'integrale.. beh, andrebbe l'integrale doppio cerchiato, poiché si fa su una superficie chiusa (o almeno, la motivazione mi pare sia questa!), ma.. non l'ho trovato :mrgreen:

Per l'altro appunto riguardo la notazione vettoriale si, dovevo indicare il modulo del vettore, o mettergli un versore.. semplice dimenticanza :roll:

Ti ringrazio :ok:

Un'altra domanda (giuro poi la smetto :mrgreen:

)

Mi chiede il potenziale tra A e C, mi conviene calcolarlo con l'integrale di linea $V_{A}-V_{C} = \int_{C}^{A} \vec{E}\cdot d\vec{r}$ ?

perché in questo caso mi trovo in difficoltà, nel senso che ci sono più espressioni di E in funzione del punto.. come dovrei fare? Mi conviene ricorrere alla definizione?

In che senso ci sono più espressioni di E? In quel sistema, il campo elettrico $\vec{E}(r)$ è funzione della distanza

dal centro delle sfere. In base ai conti che hai già fatto, puoi scrivere abbastanza facilmente il campo nelle tre zone

$\begin{align} &1)\ r<R \\ &2)\ R<r<2R \\ &3)\ r>2R \end{align}$

Cosa intendi per ricorrere alla definizione?

Edit: dimenticavo: il cerchietto nel simbolo di integrale si mette per dire che l'integrale va fatto lungo una linea chiusa, quindi per l'integrale di superficie direi che è meglio non metterlo.

DirtyDeeds ha scritto:Edit: dimenticavo: il cerchietto nel simbolo di integrale si mette per dire che l'integrale va fatto lungo una linea chiusa, quindi per l'integrale di superficie direi che è meglio non metterlo.

Scusami DirtyDeeds, ma non credo ci sia una convenzione universale per la simbologia matematica (vedi tangente: Zwillinger, Abramowitz, Spanier et al.) ma di sicuro so che su moltissimi testi scientifici di alto livello viene usato per l'integrazione su superfice chiusa l'integrale "cerchiato" ... quindi tira fuori i tuoi riferimenti normativi ... o carico la mitragliatrice :mrgreen:

Di riferimenti normativi ho solo accesso (rapido) a quelli IEEE, purtroppo non a quelle ISO. Nell'ANSI/IEEE Std 260.3-1993, per l'integrale con il cerchietto c'è scritto: line integral of f(z)

along closed path,

, in z-plane. Però non indica esplicitamente come scrivere l'integrale di superficie.

In questo testo, invece, che dice di far riferimento alle norme CNR UNI 10002 e CEI 24-1, il cerchietto è di nuovo riservato all'integrale di linea e un integrale esteso a un dominio qualunque è esplicitamente indicato senza cerchietto.

Rimetti la sicura :-P

Cerchero' anch'io qualche papero "ufficiale" ... :-)

comunque sull'ultimo (ed ottimo) documento ho discusso a lungo con il Grandissimo Prof. Beccari ... irremovibile pero' sull'uso del VA per la potenza reattiva ... per Lui, fino a quando non sara' sancita da una norma ISO, la convenzione IEC, che ha scelto var, non fa testo :!:

... e si e' quasi incavolato :mrgreen:

Ho cercato e purtroppo le ISO 31 non le ho recuperate, ad ogni modo, fra i tanti riferimenti che usano la simbologia "cerchiata", linko un riferimento che oserei dire "autorevole", ovvero WolframAlpha ...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gauss+law

che lo usa a fondo pagina.

In compenso, nel successore dell'Abramowitz, non mettono il cerchietto neanche per indicare l'integrale su una curva chiusa (p.es. qui dove parlano del teorema di Green).

Insomma, v0id, indica pure l'integrale di superficie come ti pare. :-)

Aspettiamo, però, di vedere come hai risolto la seconda parte del problema ;-)

ElectroYou

Esercizio fisica 2

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