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Einstein - Teoria relatività

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[21] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 30 set 2011, 20:51

BrunoValente ha scritto:Certo che interessa!


La situazione e` questa: c'e` una astronave A che passa di fianco alla terra T su una rotta inerziale diretta verso fai un po' tu. La cosa importante e` che arriva da lontano e va lontano, senza accelerare, seguendo una geodetica (oppure andando dritto se si suppone che al posto della terra ci sia solo un'altra astronave). Quando A passa vicino alla terra T, sincronizza il suo orologio con quello della terra T.

Mentre A va per la sua rotta, incontra un'altra astronave B che sta viaggiando in senso opposto sulla stessa rotta, anche B e` in volo inerziale. Quando A e B si incrociano, B si sincronizza su A e prosegue il suo viaggio. Dopo un po' B passa vicino alla alla terra T, sempre in volo inerziale, e confronta il suo orologio con T. L'ora riportata a terra da B e` "indietro" rispetto rispetto a quella di T.

Non ci sono accelerazioni, se al posto della terra si mette un'astronave e` ancora piu` facile perche' non ci sono campi gravitazionali che nella RR non ci sono.

Il diagramma e` nella figura seguente: una dimensione, in verticale, e` spazio e quella orizzontale e` tempo, NON sono due dimensioni spaziali.
Le due rotte rosse e verde coincidono nello spazio, una percorsa verso l'alto l'altra verso il basso.



Questo e` il diagramma di Minkowski visto da T. Si dovrebbero fare i due diagrammi per il riferimento di A e di B e si vedrebbe che cosa capita.
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[22] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 30 set 2011, 22:00

In pratica, se non ho capito male, é come se nell'incontrarsi le due astronavi si passassero da A a B un "gemello virtuale" (l'orologio, che può avere tanti gemelli a piacere, uno per ogni astronave come per ogni pianeta che si incroca) che viene "riportato indietro" sulla Terra dall'astronave B. E' giusto?

CIao
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PS - Ciò che fa diventare gli orologi "gemelli" è proprio la loro sincronizzazione al momento dell'incontro. Mi sembra peraltro una pratica meno spietata che non il separare per un sacco di tempo dei poveri gemelli che magari si vogliono un sacco di bene! ;-)
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[23] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 30 set 2011, 22:09

Si` proprio cosi`, quello che si scambiano e` sono un segnale di luce.

Non direi che sia la sincronizzazione all'incrocio che li fa diventare gemelli, pero` non saprei come dirlo meglio. La differenza di tempi misurati e` perche' le due (quadri-)traiettorie (T e A+B) sono diverse ed e` tutta la traiettoria che fa scombinare i due orologi.

Come due macchine che vanno da Milano a Roma per strade diverse all'arrivo hanno misurato con il contachilometri distanze diverse. Anche se una delle due si ferma a meta` strada e da li` continua un'altra macchina, con la quale ha sincronizzato il contachilometri, il fatto che misurino una distanza diversa rispetto a quella che ha fatto l'altra strada dipende da tutto il percorso. Il sincronizzare i contachilometri serve solo per poter fare la misura, ma la differenza di distanza e` data da tutta la strada.

Come esempio mi pare un po' delle palle, ma e` il meglio che so fare.

E in tutta la baracca non ci sono accelerazioni :)
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[24] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 30 set 2011, 22:14

IsidoroKZ ha scritto:... Si dovrebbero fare i due diagrammi per il riferimento di A e di B e si vedrebbe che cosa capita.


Provo a vedere le cose come apparirebbero all'astronauta nel riferimento di B.
B si considererebbe fermo e vedrebbe sia A che T procedere verso di lui.
B vedrebbe A viaggiare più in fretta di T, quindi vedrebbe entrambi gli orologi di A e di T andare più lenti del suo e vedrebbe l'orologio di A andare più lento di quello di T.
B vedrebbe sincronizzarsi gli orologi di A e T quando A passa vicino a T e successivamente, quando A giunge vicino a B e B si sincronizza con A, B vedrebbe l'orologio di T indietro rispetto al suo (e a quello di A).
Quando poi T raggiunge B l'orologio di T risulterebbe ulteriormente indietro rispetto a quello di B.

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[25] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 30 set 2011, 22:28

IsidoroKZ ha scritto: Come esempio mi pare un po' delle palle, ma e` il meglio che so fare. E in tutta la baracca non ci sono accelerazioni :)


Credo che ce lo si possa fare andare bene... D'altra parte penso che per chiarirsi cosa succede veramente occorra fare i conti con le rappresentazioni vettoriali dei moti relativi alle due astrovani e alla terra non solo rispetto alle tre dimensioni ma anche alla quarta (il tempo), cioè appunto con dei quadrivettori... Dei "robi" che mi posso immaginare solo abbastanza confusamente ma che credo comincino a richiedere dosi di matematica non precisamente leggere... almeno per me.

Ciao
Piercarlo
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[26] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 30 set 2011, 23:07

Visto che siamo in ballo con la teoria della relatività e siamo pure su Electroyou, mi è venuta in mente un quesito "elettrorelativistico" (anzi due) a cui sarebbe interessante provare a dare una risposta.

1) Prima domanda: la corrente in ampere è definita come lo scorrere in un conduttore di un Coulomb al secondo e la legge di Ohm è quella legge che lega taòe corrente alla tensione che la mette in moto attraverso una resistenza. Supponiamo ora che due astronavi vengano fornire alla partenza da uno stesso posto di un generatore di tensione e di una resistenza pefettamente identiche, così sono riforniti di olorlogi e sturmenti di misura pefettamente identici, tarati e sincronizzati. Queste due astronavi sono fornite anche di un sistema per trasmettersi, nel tempo reale di ciascuna di esse, dati misurati e i tempi relativi di tali misure.
Supponiamo ora che tali altronavi vengano lanciati a velocità relativistiche ma uniformi in direzioni esattamente opposte.
E ora l'inghippo: supponiamo che nel loro viaggio in direzioni opposte, gli strumenti che su un'astronave misurano tensione e corrente sulla resistenza, possano essere arrangiati anche per misurare gli stessi paramentri ma relativi al circuito installato SULL'ALTRA astronave. Che cosa misuraranno? quali grandezze misurate subiranno distorsioni relativistiche e quali no?

2) Variante della prima domanda ma riguardante non più il comportamento di una semplice resistenza ma di una costante RC il cui comportamento, proprio a causa della sua dipendenza del tempo, non potrà fare a meno di subire effetti relativistici: ovvero, se alimentate dallo stesso generatore di tensione, appariranno, se telemisurate dall'astronave gemella che si muove in direzione opposta, "rallentate e allungate" rispetto ai tempi misurati sull'astronave in cui il circuito risiede. In questo cambiamento relativistico cosa cambia effettivamente tra corrente che carica la costante e la resistenza e la capacitù che la componengoono? E come cambiano?

Preciso che sono due domande VERE, non due indovinelli. La risposta infatti non la so...

Ciao
Piercarlo
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[27] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 1 ott 2011, 19:10

Approfitto anch'io per una domanda banale banale che evidentemente mette in evidenza il mio non saper vedere correttamente certe cose.

Queste sono le trasformazioni di Lorenz.
\[t^{,}=\gamma (t-\frac{v}{c^{2}}x)\]
\[x^{,}=\gamma (x-\frac{v}{t})\]
\[y^{,}=y\]

\[z^{,}=z\]

e queste sono la naturale conseguenza per intervalli di spazio e di tempo

\[\bigtriangleup t^{,}=\gamma \bigtriangleup t\]

\[\bigtriangleup x^{,}=\gamma \bigtriangleup x\]

\[\bigtriangleup y^{,}=\bigtriangleup y\]

\[\bigtriangleup z^{,}=\bigtriangleup z\]

Ora immaginiamo il solito astronauta in viaggio a velocità costante rispetto a noi che siamo sulla terra e che gli assi dei due sistemi, quello dell'astronave e quello della terra, abbiano l'ascissa ugualmente orientata come il vettore velocità dell'astronave.
L'astronauta porta con se due strumenti di misura: un orologio e un metro.
sull'astronave vi sono un generatore di impulsi e in regolo parallelo all'ascissa.
L'astronauta esegue due misurazioni con i suoi strumenti: la distanza di tempo che intercorre tra due impulsi del generatore e la lunghezza del regolo orientato come il vettore velocità.
Una volta eseguite le misure trasmette a terra i valori rilevati.
Se non sbaglio questi valori dovrebbero essere i "valori propri" e sono quelli non accentati nelle precedenti equazioni. I valori accentati invece dovrebbero essere quelli delle stesse misurazioni ma eseguite da noi che stiamo a terra: i singoli impulsi del generatore ci giungono via radio e quindi siamo in grado anche noi di misurare il tempo che passa tra un impulso e l'altro (ed eventualmente di depurare il risultato dall'effetto doppler), Il regolo possiamo misurarlo anche noi quando l'astronave ci passa affianco con le dovute precauzioni e con un po' di fantasia.
Sappiamo che, per i noti effetti relativistici, gli intervalli di tempo ci dovranno apparire più lunghi di quanto misurato dall'astronauta mentre invece le lunghezze ci dovranno apparire più corte di quanto misurato dall'astronauta.
La domanda è: se tutto questo è vero, perché nella prime due equazioni \[\gamma \], che è maggiore di uno, compare sempre a moltiplicare? Nella prima mi trovo ma nella seconda, se le lunghezze devono apparire contratte, dovrebbe comparire a dividere.
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[28] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 2 ott 2011, 2:46

L'inghippo sta nel fatto che il \Delta x^\prime così determinato non corrisponde alla misura della lunghezza della barra nel riferimento accentato. Volendo misurare la lunghezza della barra, bisogna misurare le posizioni delle sue estremità nello stesso istante di tempo: nel tuo caso, a parità di t^\prime, non di t.

Adesso vado a nanna, magari scrivo qualcosa di più a un'ora più consona :-)
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[29] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 2 ott 2011, 15:45

Io la vedo così:
per misurare la lunghezza del regolo dal mio sistema terra, che è quello dove i valori rilevati dovrebbero corrispondere a quelli accentati nelle trasformazioni di Lorenz, aspetto che l'astronave mi passi affianco e poi mentre il regolo scorre parallelo all'asse x, segno sull'asse x i due punti corrispondenti all'inizio e alla fine del regolo facendo attenzione di eseguire le due operazioni perfettamente nello stesso istante nel mio riferimento servendomi dei miei orologi sincronizzati. La distanza tra i due segni dovrebbe corrispondere alla lunghezza del regolo così come appare da terra
Oppure, siccome conosco la velocità dell'astronave, con un solo orologio rilevo l'ora in cui la testa del regolo passa per un certo posto e poi rilevo l'ora in cui la coda del regolo passa per quello stesso posto ed eseguo il calcolo.
Con i due metodi dovrei ottenere lo stesso risultato e dovrebbe essere inferiore di quello ottenuto dall'astronauta...spero.
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[30] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 2 ott 2011, 20:18

Sì, è così. Usiamo le trasformazioni di Lorentz per dimostrarlo.

1) L'osservatore sulla Terra misura le posizioni x_1^\prime e x_2^\prime delle estremità della sbarra nello stesso istante di tempo t^\prime. Nel sistema dell'astronave, le posizioni delle estremità sono x_1 e x_2, fisse. La lunghezza della sbarra misurata sull'astronave è L = |x_2-x_1|.

All'evento (x_1^\prime,t^\prime) nel sistema della Terra, corrisponderà l'evento (x_1,t_1) nel sistema dell'astronave. Tale evento va letto come: nel sistema dell'astronave la prima estremità della sbarra si trova in posizione x_1 al tempo t_1. Le coordinate (x_1,t_1) si possono trovare dalle coordinate (x_1^\prime,t^\prime) usando la trasformazione di Lorentz inversa:

x_1 = \gamma(x_1^\prime+vt^\prime)

t_1 = \gamma(t^\prime+\frac{v}{c^2}x_1^\prime)

Analogamente, all'evento (x_2^\prime,t^\prime) nel sistema della Terra, corrisponderà l'evento (x_2,t_2) nel sistema dell'astronave, con

x_2 = \gamma(x_2^\prime+vt^\prime)

t_2 = \gamma(t^\prime+\frac{v}{c^2}x_2^\prime)

Nota che sull'astronave i due eventi non sono simultanei, t_1\neq t_2, ma ciò non ha importanza perché le posizioni x_1 e x_2 sono indipendenti dal tempo.

Quindi

L = |x_2-x_1| = \gamma|x_2^\prime-x_1^\prime| = \gamma L^\prime

da cui

L^\prime = \frac{1}{\gamma}L


2) L'osservatore sulla Terra si mette in x^\prime=0 (scelgo l'origine per semplicità) e misura i tempi di passaggio t_1^\prime e t_2^\prime. Sulla Terra la lunghezza della sbarra è

L^\prime = v|t_2^\prime-t_1^\prime| (*)

Sull'astronave, agli eventi (0,t_1^\prime) e (0,t_2^\prime) corrispondono gli eventi (x_1,t_1) e (x_2,t_2), con

x_1 = \gamma v t_1^\prime

t_1 = \gamma t_1^\prime

x_2 = \gamma v t_2^\prime

t_2 = \gamma t_2^\prime

Quindi

L = |x_2-x_1| = v|t_2-t_1| = v\gamma|t_2^\prime-t_1^\prime|

da cui

|t_2^\prime-t_1^\prime| = \frac{L}{\gamma v}

che sostituita nella (*) dà

L^\prime = \frac{1}{\gamma}L

Proprio lo stesso risultato trovato al punto 1) (Per fortuna, direi :-) )
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