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Einstein - Teoria relatività

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[31] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 2 ott 2011, 22:09

Ti ringrazio Foto UtenteDirtyDeeds, i tuoi passaggi sono chiari ma purtroppo i miei dubbi restano tutti :( : da quello che capisco, se è vero che L^\prime = \frac{1}{\gamma}L allora non dovrebbe essere vero che \[\bigtriangleup x^{,}=\gamma \bigtriangleup x\] o forse non sono la stessa cosa? o è sbagliato come le intendo io? Sbaglio se dico che questa equazione serve a ricavare la lunghezza \[\bigtriangleup x^{,} nel sistema che si muove rispetto all'oggetto da misurare, partendo dalla lunghezza \bigtriangleup x misurata nel sistema in cui l'oggetto appare fermo?
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[32] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 2 ott 2011, 22:32

BrunoValente ha scritto:Sbaglio se dico che questa equazione serve a ricavare la lunghezza \bigtriangleup x^{,}nel sistema che si muove rispetto all'oggetto da misurare, partendo dalla lunghezza\bigtriangleup x misurata nel sistema in cui l'oggetto appare fermo?


Sì, questo è sbagliato, e L^\prime = \frac{1}{\gamma}L e \Delta x^\prime=\gamma\Delta x non sono la stessa cosa. Cerchiamo di capire perché.

Tralasciando le dimensioni che non ci interessano, le trasformazioni di Lorentz sono date delle equazioni

\begin{align}x^\prime &= \gamma(x-vt) \\ 
t^\prime &= \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\end{align}

Ma cosa significano queste equazioni? Se, per esempio, nel sistema non accentato viene registrato il passaggio di una particella dal punto di coordinata x al tempo t (questa roba la chiamiamo, evento), nel sistema accentato l'evento viene registrato nella posizione x^\prime al tempo t^\prime.

Consideriamo ora due eventi generici nel sistema non accentato, (x_1,t_1) e (x_2,t_2). In base alle equazioni sopra abbiamo

\Delta x^\prime = x_2^\prime-x_1^\prime = \gamma\left[x_2-x_1-v(t_2-t_1)\right] = \gamma(\Delta x - v\Delta t)

dove ho posto \Delta x = x_2-x_1 e \Delta t = t_2-t_1.

Questo \Delta x^\prime è la distanza misurata nel sistema accentato tra i due eventi (x_1,t_1) e (x_2,t_2). Notiamo allora che la relazione \Delta x^\prime = \gamma\Delta x vale solo quando t_1 = t_2, cioè quando i due eventi sono simultanei nel sistema non accentato. Ma questo non corrisponde alla misura di lunghezza di un oggetto fatto nel sistema accentato :!: Per misurare una lunghezza nel sistema accentato bisogna determinare la distanza tra due eventi simultanei proprio nel sistema accentato.
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[33] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 2 ott 2011, 22:46

Un altro esempio potrebbe essere questo: nel sistema non accentato ho due lampadine, in posizione x_1 e x_2, e le due lampadine vengono accese contemporaneamente; nel sistema accentato l'accensione delle lampadine viene registrata nelle posizioni x_1^\prime e x_2^\prime con \Delta x^\prime = \gamma\Delta x. Attenzione, però, che nel sistema accentato l'accensione delle lampadine non avviene simultaneamente.
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[34] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 ott 2011, 15:17

Già che ci siamo, per completezza e visto che se n'è parlato nei messaggi precedenti, proviamo anche a risolvere il problema con i diagrammi spazio-tempo.



In nero, nel diagramma sopra, sono rappresentati gli assi del sistema non accentato, quello in cui la barra è in quiete. Sull'asse dei tempi c'è il prodotto ct. Per semplicità, ho posizionato gli estremi della sbarra in x_1 = 0 e x_2 = L: le rette azzurre rappresentano le linee d'universo di questi due estremi nel sistema in cui la barra è in quiete.

Innanzitutto, come vengono visti dal sistema di riferimento non accentato gli assi coordinati del riferimento accentato? Gli assi del riferimento accentato, hanno equazione x^\prime = 0 (asse dei tempi) e t^\prime = 0 (asse delle ascisse). Per l'asse dei tempi, per l'equazione di Lorentz, si ha

x^\prime = 0 = \gamma(x-vt)

da cui

x = vt = \frac{v}{c}(ct)

Questa è l'equazione rappresentativa dell'asse dei tempi ct^\prime, come viene visto nel sistema non accentato (in altra maniera, è la traccia che l'asse dei tempi del sistema accentato lascia nel sistema non accentato): è una retta, rappresentata in rosso nel diagramma sopra, inclinata rispetto all'asse ct di un angolo \alpha tale che

\tan\alpha = \frac{v}{c}

Per l'asse delle ascisse si ha

t^\prime = 0 = \gamma\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)

da cui

ct = \frac{v}{c}x

Questa è l'equazione rappresentativa dell'asse delle ascisse x^\prime come viene visto nel sistema non accentato: è una retta, sempre rappresentata in rosso nel diagramma sopra, inclinata rispetto all'asse x dell'angolo \alpha.

Volendo misurare la lunghezza della barra nel sistema accentato, dobbiamo determinare la posizione delle estremità della sbarra nello stesso istante di tempo t^\prime. In questo diagramma, le curve di equazione t^\prime = \text{cost.} sono tutte rette parallele a quella di equazione t^\prime = 0, cioè all'asse delle ascisse rosso. Per semplicità, allora, immaginiamo di fare la misura proprio in t^\prime = 0, come segnato nel diagramma sopra. I due punti azzurri corrispondono alle intersezioni delle due linee d'universo delle estremità della barra con l'asse t^\prime = 0 e nel sistema accentato hanno ascisse x_1^\prime = 0 e x_2^\prime = L^\prime da determinarsi (e questa, al prossimo post).
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[35] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 ott 2011, 16:43

Come detto sopra, si ha x_2^\prime = L^\prime. Se nello spazio di tutti i giorni volessimo misurare x_2^\prime ci basterebbe prendere un righello e misurare il segmento rosso compreso tra l'origine e x_2^\prime. Guardando il diagramma del messaggio precedente ci acccorgiamo, però, che questo segmento, misurato col righello, è più lungo di L (è l'ipotenusa di un triangolo di cui L è un cateto). Uhm... questo contrasterebbe un po' con la contrazione delle lunghezze.

L'inghippo è che nello spazio tempo della relatività non bisogna usare i righelli normali. Un righello adatto lo possiamo trovare nel modo seguente.

Una delle conseguenze dei principi di relatività, e che può essere facilmente verificata facendo uso delle trasformazioni di Lorentz è che l'intervallo x^2-(ct)^2 è invariante, ovvero

x^2-(ct)^2 = {x^\prime}^2-(ct^\prime)^2

Nel piano (x,ct) le curve di equazione x^2-(ct)^2 = \text{cost.} sono delle iperboli e poiché la costante è invariante, vengono chiamate iperboli invarianti. Nel diagramma qui sotto, in verde, ho aggiunto il grafico dell'iperbole invariante che passa per il punto (x_2^\prime,ct^\prime) = (L^\prime,0).



Quindi si ha

x^2-(ct)^2 = {x^\prime}^2-(ct^\prime)^2 = (L^\prime)^2

ovvero, nel piano (x,ct), l'equazione dell'iperbole verde è

x^2-(ct)^2 = {L^\prime}^2

Questa iperbole interseca l'asse t = 0, nel punto di ascissa x = L^\prime. Questo punto di intersezione è mostrato nel diagramma sopra e, come si può vedere, si ha L^\prime < L. Anche graficamente, si riottiene la contrazione delle lunghezze. Insomma, le iperboli invarianti servono da "righello" per il sistema accentato.

Esercizio per il lettore attento (come dicono nei libri seri :mrgreen: ): dal diagramma sopra, ricavare L^\prime e vedere che coincide con i risultati dati in [30] ;-)
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[36] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 3 ott 2011, 17:31

Mamma mia!! vedo che ti sei scatenato :-)
Con un po' di calma mi leggero tutto...sicuramente avrò ancora da chiederti qualcosa.
Grazie infinite.
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[37] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 3 ott 2011, 18:33

Mi sa che devo aver chiesto delle boiate pazzesche: mi manca ancora la risposta alle mie domande (che in sostanza si può riassumere in: come e quanto variano a velocità relativistiche i valori dei componenti elettronici e le costanti di tempo che eventualmente formano? O anche, per avere un esempio concreto: un filtro elettronico a che frequenze sembrerà lavorare se viene portato a velocità relativistiche?). Se sono appunto boiate mi piacerebbe però capire il perché! :cry:

CIao
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[38] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 ott 2011, 19:36

BrunoValente ha scritto:Con un po' di calma mi leggero tutto...sicuramente avrò ancora da chiederti qualcosa.


Fammi sapere se ti ho confuso ancora di più le idee :-)

Piercarlo ha scritto:Mi sa che devo aver chiesto delle boiate pazzesche: mi manca ancora la risposta alle mie domande


No, Foto UtentePiercarlo, non hai chiesto delle boiate, anzi, ma non ci ho ancora pensato bene. Rispetto al dubbio esposto da Foto UtenteBrunoValente il tuo non coinvolge solo la cinematica relativistica ma anche la dinamica (con le trasformazioni dei campi) e non mi è ancora ben chiaro come semplificarlo all'osso.
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[39] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 3 ott 2011, 20:47

DirtyDeeds ha scritto: No, Foto UtentePiercarlo, non hai chiesto delle boiate, anzi, ma non ci ho ancora pensato bene. Rispetto al dubbio esposto da Foto UtenteBrunoValente il tuo non coinvolge solo la cinematica relativistica ma anche la dinamica (con le trasformazioni dei campi) e non mi è ancora ben chiaro come semplificarlo all'osso.


Allora paziento e rimango in attesa! :-)

Ciao
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[40] Re: Einstein - Teoria relatività

Messaggioda Foto UtenteBrunoValente » 4 ott 2011, 19:24

DirtyDeeds ha scritto:...Fammi sapere se ti ho confuso ancora di più le idee

Direi di no, credo di aver capito.
Sbagliavo pensando di poter utilizzare \[\bigtriangleup x^{,}=\gamma \bigtriangleup x\] per calcolare la lunghezza della barra vista dal sistema accentato a partire dal valore misurato nel sistema non accentato.
Se l'astronauta avesse posto due lampade agli estremi della barra e le avesse accese contemporaneamente, quella formula mi avrebbe consentito di calcolare la distanza tra i due posti nel sistema accentato dove avrei visto accendersi le due lampade e siccome, nel sistema accentato, non avrei visto le due lampade accendersi contemporaneamente ma prima quella di coda e poi quella di testa, nel tempo trascorso tra le due accensioni, la barra si sarebbe spostata e quindi avrei rilevato una distanza maggiore della lunghezza effettiva della barra. Ci siamo?
Però nel diagramma dello spazio-tempo mi sarei aspettato una rotazione degli assi nello stesso verso...
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