ElectroYou

Non ho nemmeno idea di dove partire ho provato a risolvere il problema con un software(Maxwell SV) per avere un'idea di come deve tornare:

I due piani X=0 e Y=0 (che si estendono all'infinito)sono conduttori e collegati a due potenziali come in figura I due piani non sono collegati all'origine ma sono separati da un piccolo spazio.
Calcolare l'andamento del potenziale in tutto il primo quadrante x-y
N.B.I piani sono quelli in rosso

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Io scriverei l'equazione di Poisson in coordinate cilindriche e poi assumerei una soluzione a variabili separabili. Imponendo le condizioni al contorno, è probabile che ti venga fuori una soluzione in cui i piani equipotenziali sono piani passanti per l'origine (credo, perché non ho fatto il conto).

E provare con riflessioni, simmetrie e sovrapposizione degli effetti? Il problema e` che bisognerebbe conoscere la distribuzione di campo di un piano separato da una retta in due semipiani, un semipiano a potenziale +V e l'altro sempipiano a potenziale -V.

Non quella di Laplace? PANICO!!!

Sì, tranquillo, quella di Laplace (che è quella di Poisson con $\rho = 0$ ).

Chiedo scusa come mai si usano le coordinate cilindriche?
e poi è anche possibile risolvere il problema con il metodo delle immagini?

MyShow ha scritto:Chiedo scusa come mai si usano le coordinate cilindriche?

Perché in coordinate cartesiane non potresti assumere che la soluzione sia a variabili separabili (o meglio: lo potresti assumere ma poi non approderesti a nulla).

MyShow ha scritto:e poi è anche possibile risolvere il problema con il metodo delle immagini?

Non mi sembra.

Comunque, aiuterebbe sapere quale esame stai preparando.

L'esame si chiama elettrotecnica 2 studio ingegneria elettrica presso l'università di Pisa il programma comprende:
Linee di trasmissione, doppi bipoli,circuiti non lineari, elettrostatica, magnetostatica, magnetodinamica,metodi FEM (elementi finiti)

Puoi farmi vedere i passaggi che hai fatto? grazie

Non ho fatto nessun passaggio, ti ho dato un suggerimento e aspettavo di vedere come l'avresti svolto ;-)

Comunque, sia $\varphi(r,\theta)$ il potenziale elettrostatico ( r>0

e $0\le\theta\le\pi/2$ ): trascuriamo la coordinata

perché il potenziale è sicuramente indipendente da

(lascio a te il compito di capire come è messo il sistema di coordinate :!:

). Assumiamo una soluzione a variabili separabili, cioè assumiamo di poter scrivere

$\varphi(r,\theta) = \chi(r)\psi(\theta)$

Ora per $\theta = 0$ e per $\theta = \pi/2$ il potenziale deve essere indipendente da

: perché ciò possa avvenire, deve essere $\chi(r) = \text{costante}$ . Possiamo imporre $\chi(r) = V_0$ ottenendo

$\varphi(r,\theta) = V_0\psi(\theta)\qquad\qquad (1)$

L'equazione di Laplace è

$\nabla^2\varphi = 0$

che In coordinate cilindriche diventa

${1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial \varphi \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 \varphi \over \partial \theta^2} = 0$

Sostituendo la (1), l'equazione sopra si riduce all'equazione differenziale ordinaria

${V_0 \over r^2} {\text{d}^2 \psi \over \text{d} \theta^2} = 0$

ovvero

${\text{d}^2 \psi \over \text{d} \theta^2} = 0$

che risolta dà

$\psi(\theta) = A\theta+B$

con le due costanti di integrazione

e

da determinarsi in base alle condizioni al contorno. Be', questo lo lascio fare a te ;-)

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Problema di elettrostatica

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