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Disco piccolo chiarimento

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[51] Re: Disco piccolo chiarimento

Messaggioda Foto Utentefrancescoper » 24 gen 2012, 10:00

Dirti ho risolto! Grazie lo stesso, potete chiudere il post :)
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[52] Re: Disco piccolo chiarimento

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 24 gen 2012, 11:12

Gli argomenti vengono chiusi quando una discussione degenera, non quando un dubbio viene chiarito ;-)
Ci potrebbe sempre essere qualcuno che ha qualcosa da aggiungere o da chiedere.
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[53] Re: Disco piccolo chiarimento

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 24 gen 2012, 23:06

Per tornare al disegno fatto in [39], che era stato fatto ad hoc, qui di seguito -tanto per giocare un po'- propongo due disegni fatti con Asymptote, uno dei free tools di matematica consigliati da EY. In questi disegni, i vettori velocità sono calcolati dal programma per due punti generici e i disegni confermano l'ortogonalità tra i vettori posizione e velocità relativi al centro di massa S.

disco_rotante_1.jpg
disco_rotante_1.jpg (48.07 KiB) Osservato 2600 volte


disco_rotante_2.jpg
disco_rotante_2.jpg (45.42 KiB) Osservato 2600 volte


Il programma che genera il disegno per un punto P qualunque è

Codice: Seleziona tutto
import graph;
usepackage("amsmath");

unitsize(1mm);

//size(127mm,80mm,IgnoreAspect);

pair S = (0,0); // Posizione del centro di massa S
real R = 50;   // Raggio del disco
pair P_rel = 35*dir(-60); // Posizione del punto P considerato rispetto a S (coordinate polari)
real omega = -0.5; // Velocità angolare (usata per scalare le lunghezze dei vettori velocità)

path disco = Circle(S, R);
pair K = relpoint(disco,-0.25); // Posizione del punto K attorno al quale ruota il disco
pair P = S + P_rel; // Posizione di P
path traiettoria_S = Circle(K, length(S-K)); // Traiettoria di S
path traiettoria_P = Circle(K, length(P-K)); // Traiettoria di P

real Si = intersections(traiettoria_S, K, S)[0];
real Pi = intersections(traiettoria_P, K, P)[0];

pair vS = omega*length(S-K)*dir(traiettoria_S,Si); // vettore velocità di S
pair vP = omega*length(P-K)*dir(traiettoria_P,Pi); // vettore velocità di P
pair vP_rel = vP-vS;

draw(disco,linewidth(1.5));
draw(Label("$\boldsymbol{r}_{P,\textup{rel}}$",Relative(W)),S..P,EndArrow(SimpleHead));
draw(traiettoria_S,red+dashed+linewidth(1));
draw(traiettoria_P,blue+dashed+linewidth(1));
draw(Label("$\boldsymbol{v}_S$",Relative(W)),S..S+vS,red+linewidth(1),EndArrow(SimpleHead));
draw(Label("$\boldsymbol{v}_P$",Relative(W)),P..P+vP,blue+linewidth(1),EndArrow(SimpleHead));
draw(Label("$-\boldsymbol{v}_S$",Relative(E)),P..P-vS,red+linewidth(1),EndArrow(SimpleHead));
draw(Label("$\boldsymbol{v}_{P,\textup{rel}}$",EndPoint,Relative(W)),P..P+vP_rel,EndArrow(SimpleHead));
draw(P-vS--P+vP_rel--P+vP,dashed);
dot(Label("$S$",Relative(N)),S);
dot(Label("$P$",Relative(NE)),P);
dot(Label("$K$",Relative(N)),K);
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[54] Re: Disco piccolo chiarimento

Messaggioda Foto Utentefrancescoper » 2 feb 2012, 13:11

Ciao DirtyDeeds;
volevo porti un piccolo problemino che ho risolto seguendo le tue indicazioni.
Volevo sapere se e dove commetto eventuali errori!

Prendiamo il sistema della figura in basso.
Abbiamo un disco che si muove senza strisciare su un piano orizzontale. Trascuriamo le forze verticali e consideriamo solo quelle orizzontali, ossia una forza esterna F e una reazione R.
a è la distanza di P dalla retta d'azione di F mentre r è il raggio del disco.
Voglio studiare la rotazione assumendo il polo P.

L'equazione risulta: M(P) = \frac{dL}{dt}

dove M(P) = aF - (a+2r) R

mentre L = L_{rel} + L_{CM}

L_{rel} è il momento angolare relativo al centro di massa e vale I\omega

L_{CM} è il momento angolare del centro di massa rispetto al punto P e vale:

m (a+r) v_{CM} = m (a+r) \omega r

Quindi in definitiva abbiamo L = I\omega + m (a+r) \omega r = [I + m (a+r) r] \omega

quindi:

\frac{dL}{dt} = [I + m (a+2r) r] \alpha

Alla fine abbiamo: M(P) = \frac{dL}{dt} ==>  aF - (a+2r) R = [I + m (a+r) r] \alpha


Il modo in cui ho affrontato il problema credi sia corretto?
Grazie!
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[55] Re: Disco piccolo chiarimento

Messaggioda Foto Utentefrancescoper » 2 feb 2012, 14:04

Tuttavia credo ci sia un errore perché i conti non mi tornano.
Cioè considerando il CM come polo e poi P ottendo due accelerazioni angolari diverse e questo è strano...

Quando valuto il momento angolare L_{CM} = m (a+r)v_{CM} = m (a+r)\omega r

forse sbaglio a considerare v_{CM} = \omega r rispetto al punto P?
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[56] Re: Disco piccolo chiarimento

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 feb 2012, 9:45

Ti inventi gli esercizi, ma non li risolvi mai fino in fondo: F ed R non sono indipendenti, visto che hai imposto che il disco rotoli senza strisciare.

PS: disegni in FidocadJ, tassativo :!: Altrimenti, niente risposte.
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