ElectroYou

Salve a tutti, sto affrontando lo studio di Fisica 2e mi sono trovato di fronte ad un esercizio che posterò qui sotto.
Premetto che questo esercizio l'ho visto proposto in questo forum solo che non c'è una conferma circa la sua risoluzione.
il problema è:

Un condensatore a facce piane e parallele (S=10 mm2) da 100 pF viene collegato ad una sorgente di forza elettromotrice ε=50 V; Calcolare la forza necessaria per tenere in equilibrio le armature del condensatore.

io ho agito senza tirare in ballo l'energia.

Per prima cosa ho calcolato la distanza d tra le armature del condensatore attraverso la formula della capacità.
quindi sapendo questa distanza ho calcolato il campo elettrico tra le armature del condensatore attraverso la relazione E=ε/d

quindi ho calcolato la carica presente sulle armature attraverso Q=C*V.
E poi semplicemente ho fatto F= Q*E.
Personalmente ho il presentimento che non sia il modo corretto di procedere.
Spero qualcuno mi confermi o mi smentisca.
Grazie in anticipo a tutti :-)

tranquillo, è corretto.

jumpy83 ha scritto:[..]

quindi ho calcolato la carica presente sulle armature attraverso Q=C*V.
E poi semplicemente ho fatto F= Q*E.
Personalmente ho il presentimento che non sia il modo corretto di procedere.
[..]

Il presentimento è più che legittimo ed io non sarei così tranquillo come ti invita ad essere

francesco51
La forza di attrazione è infatti la metà di quella da te calcolata, formula che si ottiene proprio ricorrendo alla variazione dell'energia immagazzinata
$F = \left| {\frac{\partial }{{\partial s}}\left( {\frac{1}{2}\frac{{{Q^2}}}{C}} \right)} \right| = \left| {\frac{\partial }{{\partial s}}\left( {\frac{1}{2}{Q^2}\frac{s}{{\varepsilon A}}} \right)} \right |=\left| {\frac{1}{2}\frac{{{Q^2}}}{{\varepsilon A}}} \right| = \frac{1}{2}EQ$

Grazie.

Avevo evitato di usare la formula dell'energia perché mi ero bloccato e non mi veniva in mente il secondo passaggio ossia il fatto di scrivere la formula della capacità C. :oops:

admin ha scritto:formula che si ottiene proprio ricorrendo alla variazione dell'energia immagazzinata

Frase pericolosa,

admin

Bisogna anche tenere conto del lavoro del generatore di tensione, altrimenti la forza viene con il segno sbagliato.

E' vero. Per questo ho messo il valore assoluto.Ho usato la formula dell'energia con Q assumendo implicitamente Q costante. Se invece si mantiene V costante, è come dici tu. Però il valore assoluto non cambia

Facciamo i due casi:

1) Condensatore carico, in circuito aperto.

Poiché il condensatore non è connesso a nulla, la carica

sulle armature è costante. L'energia immagazzinata sul condensatore è

$U = \frac{Q^2}{2C}$

con

$C(s) = \epsilon_0\frac{A}{s}$ .

Con riferimento alla figura sotto, se volessi spostare l'armatura superiore di una quantità $\delta s$ , dovrei applicare all'armatura una forza

, dove

è la forza tra le armature del condensatore (o, meglio, visto che siamo in un problema scalare, la componente lungo l'asse

di tale forza).

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il lavoro compiuto in questo spostamento deve uguagliare la variazione di energia del sistema

$-F\delta s = \delta U = \frac{\text{d} U}{\text{d} s}\delta s$

da cui

$\begin{align} F &= -\frac{\text{d} U}{\text{d} s} \\ &= \frac{Q^2}{2C^2}\frac{\text{d} C}{\text{d} s} \\ & = - \frac{Q^2}{2C}\frac{1}{s} \end{align}$

dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che

$\frac{\text{d} C}{\text{d} s} = -\epsilon_0\frac{A}{s^2} = -\frac{C}{s}$

Notare il segno della forza: la forza è diretta verso -s, ed è quindi una forza attrattiva, come ci si aspetta.

2) Condensatore chiuso su un generatore di tensione $\mathcal{E}$ .

L'energia immagazzinata nel condensatore è

$U = \frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$

Potremmo essere tentati di dire, come prima

$F = -\frac{\text{d} U}{\text{d} s}$

ottenendo

$F = -\frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{\text{d} C}{\text{d} s} = \frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{C}{s}$

Oops, c'è un segno "+", la forza sembrerebbe repulsiva!

L'errore che abbiamo fatto è stato quello di non tenere in conto il lavoro che dovrebbe fare il generatore per mantenere costante la tensione sul condensatore. Procedendo come prima si ha che la variazione dell'energia immagazzinata nel condensatore è uguale al lavoro fatto su di esso dalla forza

e dal generatore di tensione:

$\delta U = -F\delta s + \mathcal{E}\delta Q$

Poiché $Q = C\mathcal{E}$ ,

$\delta Q = \mathcal{E}\frac{\text{d} C}{\text{d} s}\delta s$

Inoltre, poiché

$\delta U = \frac{\text{d} U}{\text{d} s}\delta s$

si ha

$\frac{\text{d} U}{\text{d} s}\delta s = -F\delta s+\mathcal{E}^2\frac{\text{d} C}{\text{d} s}\delta s$

da cui

$\begin{align} F &= -\frac{\text{d} U}{\text{d} s}+\mathcal{E}^2\frac{\text{d} C}{\text{d} s} \\ &= \frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{C}{s}-\mathcal{E}^2\frac{ C}{s} \\ &= -\frac{1}{2}\mathcal{E}^2\frac{C}{s} \end{align}$

Fiuuuu, la forza è tornata attrattiva

admin ha scritto: Però il valore assoluto non cambia

Vero, ma meglio non rischiare :-)

Già che ci siamo, vale la pena di porre due domande da "ah, ci sono!" (al lettore volenteroso, come si dice in questi casi): ;-)

1) Dov'è che fallisce il ragionamento esposto in [1]? In particolare, perché risulta una forza che è precisamente il doppio di quella vera?

2) In riferimento a quanto detto da

admin in [6]:

admin ha scritto:E' vero. Per questo ho messo il valore assoluto.Ho usato la formula dell'energia con Q assumendo implicitamente Q costante. Se invece si mantiene V costante, è come dici tu. Però il valore assoluto non cambia

L'affermazione in grassetto (mio) sarebbe vera anche se il condensatore fosse non lineare (p.es. un condensatore per cui Q = a_1V+a_2V^2

)?

Per l'1) mi ero dato una spiegazione moooolto handwaving tempo fa quando mi ero trovato a fare 'sto conto per un pendolo di Zamboni...

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

F=qE vale per una carica "immersa" in un campo elettrico (zone gialline sopra) ma le cariche sull'armatura (su un conduttore) idealmente sono sulla superficie, all'interno del conduttore poi il campo vale zero....

con molta fantasia si potrebbe pensare che in effetti sia immersa nel campo solo a metà :roll:

scusatemi,
ho dato una riposta frettolosa, e erronea

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Problema di Fisica 2

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