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I raggi di un condensatore cilindrico sono a e b con a<b. Calcolare il raggio del cilindro coassiale entro il quale è contenuta metà dell'energia elettrostatica.

ho pensato di risolverlo nel seguente modo:

integro la densità del campo elettrico nel primo caso tra a e b
integro la densità del campo elettrico tra a e r (ovvero il raggio generico)

dopo eguaglio la seconda con la prima diviso due e ottengo che r=b^2/a
è corretto il mio ragionamento e il risultato finale?

grazie in anticipo!

Io ho fatto anche io così ottenendo lo stesso risultato

Riesumo il post perché ho un problema simile.
Senza scomodare i concetti di densità di energia e integrali, trovata l'energia elettrostatica come:
$E=\frac 1 2 \cdot \frac {Q^2} C$ da cui segue che l'energia fra i due cilindri di raggi

con

è:
$E1 = \frac {Q^2} {4\pi\varepsilon h} \cdot \ln(\frac{b}{a})$
e quella fra il cilindro di raggio minore e il cilindro con raggio

generalizzato è:
$E2 = \frac {Q^2} {4\pi\varepsilon h} \cdot \ln(\frac{R}{a})$

allora ponendo $E2 = \frac{1}{2} E1$ ottengo:
$\ln(\frac{R}{a}) = \frac{1}{2}\ln(\frac{b}{a})$
,quindi $R = \sqrt{b\cdot a}$

Visto che il risultato non coincide, dove sbaglio?

damianoct ha scritto:Visto che il risultato non coincide, dove sbaglio?

Sbagli che l'energia E_2

è calcolata come se avessi un condensatore di raggio

.

ma se seguendo le direttive del primo post integro fra a ed r con a<r<b

non ottengo

?

Uff, stasera sono fuso: hai ovviamente ragione tu, anche perché deve essere a < r < b

, mentre il risultato trovato in [1] non soddisfa questa condizione.

Infatti, tra i due cilindri di raggio

e

, c'è un campo

$E(r) = \frac{Q}{2\pi\epsilon h r}$

Il rapporto tra l'energia contenuta fino a

e l'energia totale vale

$\frac{\int_a^r E^2(r)2\pi r\,\text{d} r}{\int_a^b E^2(r)2\pi r\,\text{d} r}$

da cui, imponendo che questo rapporto valga 1/2, si ottiene

$\ln(r/a) = \frac{1}{2}\ln(b/a)$

da cui, infine, $r = \sqrt{ab}$ .

DirtyDeeds ha scritto:Uff, stasera sono fuso

Sarà mica il flash dell'altro giorno? su di me ha avuto effetti pesanti, se guardi in giro per il forum...

:mrgreen:

PietroBaima ha scritto:Sarà mica il flash dell'altro giorno?

Mi sa di sì #-o

Per impedirmi di scrivere altre cavolate, vado a dormire ;-)

Allora è tutto ok adesso.
Un solo appunto: nel rapporto fra le energie che hai scritto non manca un

?

$\frac{\int_a^r E^2(r)2\pi r\,\text{d} r}{\int_a^b E^2(r)2\pi r\,\text{d} r}$

e quindi dovrebbe essere:

$\frac{\int_a^r E^2(r)2\pi r h\,\text{d} r}{\int_a^b E^2(r)2\pi r h\,\text{d} r}$

Non è una questione di pignoleria, ma sto affrontando fisica II e sto trovando una marea di difficoltà soprattutto in questi integrali di volume, non riesco a capire bene come calcolare i volumetti.
Anzi se avete una dispensa (sui volumetti e roba infinitesima) che possa illuminarmi ve ne sarei grato.

Comunque ti ringrazio per l'aiuto e la delucidazione.

damianoct ha scritto:Un solo appunto: nel rapporto fra le energie che hai scritto non manca un ?

E' una costante che si semplifica, così come il coefficiente di proporzionalità per ottenere l'energia. Anche $2\pi$ si semplifica, ma l'avevo lasciato per far vedere da dove venisse l'

. Si sarebbe potuto scrivere direttamente

$\frac{\int_a^r E^2(r) r\,\text{d} r}{\int_a^b E^2(r)r\,\text{d} r}$

così come è sufficiente sapere che $E(r)\propto 1/r$ , senza considerare la costante di proporzionalità.

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Fisica II - Condensatore cilindrico

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