ElectroYou

Partiamo dalle equazioni di Maxwell macroscopiche scritte per un dielettrico perfetto, illimitato, lineare, omogeneo, isotropo e che risponda “istantaneamente” alle variazioni di $\boldsymbol{E}$ e $\boldsymbol{B}$ :

$\begin{subequations} \begin{align} &\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = 0 \hspace{5cm} (1a) \\[2ex] & \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = 0 \hspace{5cm} (1b) \\[2ex] & \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = -\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3.27cm} (1c) \\[2ex] & \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \epsilon \mu \frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3.2cm} (1d) \end{align} \end{subequations}$

Applicando l'operatore di rotore alla (1c) e derivando parzialmente rispetto al tempo la (1d), assumendo che $\boldsymbol{E}$ e $\boldsymbol{B}$ siano almeno di classe C^2

, risulta:

$\begin{align} & \boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\frac{\partial}{\partial t} \Big[ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \Big] \hspace{1.26cm} (2)\\[2ex] & \frac{\partial}{\partial t} \Big[ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \Big] = \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{2.5cm} (3) \end{align}$

Inserendo il secondo membro della (3) nella (2) si ottiene:

$\begin{equation*} \boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{2cm} (4) \end{equation*}$

Facendo uso dell'identità vettoriale $\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}) - \nabla^2 \boldsymbol{v}$ , la (4) diventa, in virtù della (1a):

$\begin{equation*} \nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} (5) \end{equation*}$

Teorema. Se $\boldsymbol{E}$ è una soluzione delle (1), allora la (5) è soddisfatta anche da $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^\prime$ , dove $\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}^\prime=\boldsymbol{0}$ .

Dimostrazione. ???

$\begin{equation*} \nabla^2 \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} (5) \end{equation*}$

$\begin{equation*} \nabla \times \left(\nabla^2 \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t)\right) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} \end{equation*}$

ricordando che:
$\nabla\times\left(\boldsymbol{\nabla^{2}A}\right)=\boldsymbol{\nabla^{2}}\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)$

$\begin{equation*} \nabla^2\left(\nabla \times \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t)\right) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left(\nabla \times \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t)\right) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} \end{equation*}$

da cui la soluzione.

Uhm, mi sembra ci sia un errore nella tua dimostrazione. Non puoi partire con

PietroBaima ha scritto: $\begin{equation*} \nabla^2 \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} (5) \end{equation*}$

perché equivale a partire con la tesi del teorema. Bisognerebbe partire da
(nota che ho tolto l'uguale a zero)

$\nabla^2 \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t)$

e poi dimostrare che quell'espressione è nulla con le ipotesi del teorema.

Volevo pensarci ma adesso ho sonno, meglio che ci pensi quando sarò più sveglio!

DirtyDeeds ha scritto:Uhm, mi sembra ci sia un errore nella tua dimostrazione. Non puoi partire con

PietroBaima ha scritto: $\begin{equation*} \nabla^2 \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E^ \prime }(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} (5) \end{equation*}$

perché equivale a partire con la tesi del teorema.

Esatto, è quello che stavo per scrivere in risposta a PietroBaima.

Ad onor di cronaca, ho estrapolato questo teorema da ciò che riportano questi due testi, le cui giustificazioni “fisiche” non mi hanno convinto:

Focardi S., Massa I., Uguzzoni A. (2007). Fisica generale. Onde. Milano. Casa Editrice Ambrosiana. ISBN 9788840813462; p. 142.
Mencuccini C., Silvestrini V. (1998). Fisica II. Elettromagnetismo - Ottica. Corso di fisica per le facoltà scientifiche. Con esempi ed esercizi. Napoli. Liguori. ISBN 9788820716332; p. 461.

Più lo guardo questo "teorema" e meno mi convince, mi sembra proprio sbagliato. Si ha

$\begin{align}\nabla^2 (\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^ \prime) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} (\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^ \prime) &= \nabla^2 \boldsymbol{E}^ \prime - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}^\prime \\ &\qquad\quad+\nabla^2 \boldsymbol{E} - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E} \\ &= \nabla^2 \boldsymbol{E}^ \prime - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}^\prime \end{align}$

L'ultimo passaggio si ha perché per ipotesi (In [1], $(1)\Rightarrow (5)$ )

$\nabla^2 \boldsymbol{E} - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E} = 0$

Adesso applichiamo l'identità vettoriale $\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}) - \nabla^2 \boldsymbol{v}$ al contrario di come è stata utilizzata in [1]:

$\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{E}^ \prime - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}^\prime &= \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime) - \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}^\prime) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}^\prime \\ &= \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}^\prime\qquad\qquad (1) \end{align}$

Consideriamo ora un potenziale $\varphi$ che soddisfi all'equazione di Poisson:

$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon}$

dove $\rho$ può essere una qualsiasi funzione delle coordinate e del tempo sufficientemente liscia (non interessa interpretare $\rho$ come densità di carica) e sia $\boldsymbol{E}^\prime = -\nabla\varphi$ . Per semplicità supponiamo $\rho$ indipendente dal tempo. Poiché $\nabla\times \boldsymbol{E}^\prime = 0$ possiamo sostituire questo campo in (1) ottenendo

$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{E}^\prime &= -\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi) \\ &=\frac{1}{\epsilon}\boldsymbol{\nabla}\rho\end{align}$

A meno che $\rho$ non sia costante, quest'ultimo termine è diverso da zero, falsificando il teorema. Abbiamo infatti costruito un campo $\boldsymbol{E}^\prime$ che soddisfa alle ipotesi del teorema ma per il quale

$\nabla^2 \boldsymbol{E}^\prime - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}^\prime\neq 0$

ElectroNoob sei sicuro di aver interpretato bene ciò che c'è scritto sui due libri? Potresti postare una scansione delle pagine incriminate?

PS: già che ci sono ti faccio i complimenti per la padronanza di LaTeX dimostrata al tuo primo messaggio :ok:

Ecco una scansione delle pagine incriminate.

: Focardi et al., prima pagina; F1.jpg (161.64 KiB) Osservato 6369 volte

: Focardi et al., seconda pagina; F2.jpg (397.83 KiB) Osservato 6369 volte

: Mencuccini-Silvestrini; M.jpg (306.34 KiB) Osservato 6369 volte

Secondo me, è sbagliato pensare che l'equazione delle onde sia soddisfatta da qualunque campo irrotazionale, giacché – come

DirtyDeeds mi ha mostrato – è necessaria un condizione aggiuntiva sulla sua divergenza (ovvero sul suo potenziale) che non può assumere qualsivoglia valore.

DirtyDeeds ha scritto:PS: già che ci sono ti faccio i complimenti per la padronanza di LaTeX dimostrata al tuo primo messaggio

Ti ringrazio, il LaTeX è sempre stata una mia passione!

All'inizio viene fatta la posizione che $\rho$ e

siano nulle per questo il risultato e' corretto.
Il caso illustrato da

DirtyDeeds e' quello generale.

dimaios ha scritto:All'inizio viene fatta la posizione che $\rho$ e siano nulle per questo il risultato e' corretto.
Il caso illustrato da DirtyDeeds e' quello generale.

Il problema è che la tesi di entrambi i testi è che esista un campo $\boldsymbol{E}^\prime$ tale che:

$\begin{equation*} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}^\prime \neq 0 \quad \wedge \quad \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}^\prime = \boldsymbol{0}; \end{equation*}$

come si vede, la prima relazione non soddisfa alla prima equazione di Maxwell scritta per un dielettrico neutro (il fatto che il dielettrico sia neutro andrebbe aggiunto al primo post, ma non riesco più a modificarlo).

Infatti. E' proprio quello che c'e' scritto nel documento che hai postato.
Dice che le [IX.14] ammettono soluzioni spurie non solenoidali che non sono plausibili nelle [IX.13] per cui devi imporre una condizione aggiuntiva se parti dalle [IX.14] ovvero affianchi la [IX.13].

dimaios ha scritto:Infatti. E' proprio quello che c'e' scritto nel documento che hai postato.
Dice che le [IX.14] ammettono soluzioni spurie non solenoidali che non sono plausibili nelle [IX.13] per cui devi imporre una condizione aggiuntiva se parti dalle [IX.14] ovvero affianchi la [IX.13].

Certamente, ma il punto non è questo: si tratta “semplicemente” di dimostrare che qualunque campo irrotazionale sia soluzione dell'equazione delle onde, come asserito dal Mencuccini-Silvestrini; il fatto che esistano anche soluzioni spurie non solenoidali di tale equazione è una conseguenza.

ElectroYou

Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM

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