ElectroYou

CIao a tutti =) vorrei discutere con voi di un teorema di meccanica razionale, che visto da alcuni punti di vista può dare spunti anche a discussioni di carattere filosofico (Nietzsche, eterno ritorno, ... :mrgreen:

). Si tratta del teorema di Poincarè.
Comunque il mio è un problema puramente tecnico. Ora mi spiego.

Il teorema dice:

Consideriamo un sistema hamiltoniano autonomo (cioè con hamiltoniana non dipendente dal tempo) per il quale sia accessibile soltanto una regione $\Gamma$ limitata dello spazio delle fasi- Prendiamo un punto qualunque e consideriamo un intorno comunque piccolo di tale punto.
Facciamo evolvere tale intorno secondo le equazioni di Hamilton: $U_0 \to U(t)$ .

Allora qualunque sia $\tau$ esiste un $t^*>\tau$ tale che $U(t^*) \cap U(t_0) \ne 0$

Dimostrazione:

Indichiamo con U_n

l'evoluto di U_0

al tempo

. E' chiaro che devono esistere due n_1,n_2

distinti per i quali gli insiemi $U_{n1}$ e $U_{n2}$ hanno intersezione non nulla, altrimenti si arriva a un assurdo .

Infatti se gli insiemi fossero tutti con intersezione reciproca nulla, la misura

$\mu(\cup_{i=1..n}U_i)=\sum_{i=1...n}\mu(U_i)$

(con $\mu()$ indiachiamo la misura dell'insieme), per il Teorema di Lioville tutti gli U_i

hanno la stessa misura e quindi, per $n \to \infty$ il membro di destra tende all'infinito.
Dall'altra parte

$\cup_{i=1..n}U_i \subseteq \Gamma$ e quindi $\mu(\cup_{i=1..n}U_i) \le \mu(\Gamma)$ e quest'ultimo

è minore di infinito per ipotesi. SIamo arrivati a un assurdo!

(Fin qui tutto chiaro) Il problema tecnico arriva ora:

Osserviamo ora che

$\mu(U_{n1} \cap U_{n2})= \mu(U_{n1-k} \cap U_{n2-k})$

per ogni k, perché il sistema è autonomo e quindi il campo delle velocità nello spazio delle fasi non cambia nel tempo e l'intersezione va nell'intersezione. Infine basta scegliere k come il minore tra n_1

e

per aver dimostrato il teorema

Questa ultima parte non l'ho proprio capita! Avete qualche suggerimento per arrivare a una spiegazione di questa ultima parte della dimostrazione?

nyky93 ha scritto:quindi il campo delle velocità nello spazio delle fasi non cambia nel temp

Questo è vero perché il campo delle velocità è il gradiente dell'Hamiltoniana rispetto alle variabili canoniche (con qualche segno meno ...).

nyky93 ha scritto: l'intersezione va nell'intersezione.

Su questo ci devo pensare.

Ok, quindi si vuole concludere semplicemente la dimostrazione facendo notare che, una volta stabilito che l'intersezione esiste (per un numero infinite di volte!), queste avranno misure tutte uguali in quanto, l'indipendenza dal tempo garantisce valori univoci in ogni punto dello spazio delle fasi

Il fatto che intersezioni vanno in intersezioni, credo voglia semplicemente dire che, dato un determinato tempo, il mio sistema avrà compiuto un'evoluzione tale da essere già tornato in un punto in cui era già stato

Può essere un'interpretazione corretta?

Come esempio io immagino un gas ideale che evolve nello spazio delle fasi bidimensionale. Quindi sul piano abbiamo questo intorno che rappresenta il mio sistema, e questo evolvendo compie una traiettoria infinita, ma la limitatezza dello spazio delle fasi lo "obbliga" a tornare infinite volte per un determinato stato iniziale

nyky93 ha scritto:Il fatto che intersezioni vanno in intersezioni, credo voglia semplicemente dire che, dato un determinato tempo, il mio sistema avrà compiuto un'evoluzione tale da essere già tornato in un punto in cui era già stato

Eh, no, purtroppo, scritta così, vuole dire qualcosa di più forte, ed è su questo che ho qualche dubbio. Ma non solo: il fatto che le intersezioni vengano mappate in intersezioni è una condizione più forte dell'uguaglianza delle misure. Può darsi che mi sfugga qualcosa, o che manchi qualche dettaglio nella dimostrazione. In particolare, se i t_i

sono una successione arbitraria di tempi, la scrittura

$U_{n_1-k}\cap U_{n_2-k}$

non avrebbe poi molto senso, perché $t_{n_1-k}$ e $t_{n_2-k}$ sarebbero poi due tempi arbitrari, e il fatto che

compaia in entrambi gli U sarebbe ininfluente. Su che testo state studiando?

Purtroppo quando studiai meccanica analitica quel teorema ci fu solo enunciato, senza dimostrazione (era tanto tempo fa, Poincaré non l'aveva ancora dimostrato :mrgreen:

), e poi non ho più avuto occasione di ritornarci (ecco, appunto) sopra.

Su che testo state studiando?

Sono appunti scritti dal professore del mio corso. Ho riportato fedelmente tutti passaggi.

Non credo sia un passaggio complicato, il problema è che non si capisce proprio cosa voglia dire. Sto leggendo un po di testi, vedo se riesco a tirare fuori qualcosa e poi ti faccio sapere

nyky93 ha scritto:Non credo sia un passaggio complicato, il problema è che non si capisce proprio cosa voglia dire.

Più che altro, scritto così, sembra proprio sbagliato

Considera le evoluzioni di U_0

a due tempi generici, t_1

e

: ottieni due sottoinsiemi dello spazio delle fasi $U_1 = \Phi_{t_1}(U_0)$ e $U_2 = \Phi_{t_2}(U_0)$ , dove $\Phi_t$ è il flusso del sistema dinamico (la mappa che preserva le aree). Ora considera l'intersezione $U_1\cap U_2$ , come possiamo interpretare la frase l'"intersezione va nell'intersezione"? Quel "va" può far pensare che il flusso mappi $U_1\cap U_2$ nell'intersezione di altre due evoluzioni, ma il flusso dipendente dagli intervalli di tempo, se il sistema è autonomo, è se i tempi sono arbitrari la frase perde di significato.

Se si guarda, per esempio, a questo enunciato del teorema e alla corrispondente dimostrazione, si vede che la mappa è sempre la stessa (il fatto che lì consideri uno spazio di probabilità non ha importanza, l'importante è che la misura sia finita): ciò corrisponderebbe, nel caso della dimostrazione data dal tuo prof., a considerare i tempi equispaziati. Se i tempi fossero equispaziati di un intervallo $\Delta t$ , allora

$\Phi_{t_n-t_{n-k}} = \Phi_{t_m-t_{m-k}} = \Phi_{k\Delta t} = \Phi^k_{\Delta t}$

per ogni m, n

e allora sì che si può dire

$\Phi_{-k\Delta t}(U_n\cap U_m) = U_{n-k}\cap U_{m-k}$

cioè che un'intersezione è effettivamente mappata in un'intersezione.

Quindi se noi supponiamo che tale dimostrazioni sia data per un tempo discretizzato, tutto torna. Però ancora non ho ben chiaro perché effettivamente intersezioni vengono mappate in intersezioni, e perché basta scegliere k=n1 o ne per dimostrare il teorema?

Cioè immaginando questo cerchio che evolve nello spazio delle fasi bidimensionale...cosa succede?

nyky93 ha scritto:Però ancora non ho ben chiaro perché effettivamente intersezioni vengono mappate in intersezioni,

Tieni presente che per qualunque funzione

e insiemi $A,B\subseteq \text{dom}\,f$ si ha

$f^{-1}(A\cap B) = f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$

e, inoltre,

$f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)$

se e solo se

è iniettiva. Come probabilmente avete studiato, un flusso $\Phi_t$ nello spazio delle fasi, per un sistema autonomo, gode delle seguenti proprietà:

$\Phi_0 = 1$ (la mappa identica);
$\Phi_t\circ \Phi_s = \Phi_{t+s}$

Da queste proprietà si ha che il flusso è invertibile, $\Phi_t^{-1} = \Phi_{-t}$ , e quindi è una funzione iniettiva. Allora, per ogni

e per ogni

,

si ha

$\Phi_t(U\cap V) = \Phi_t(U)\cap \Phi_t(V)$

Ora, dalla prima parte di dimostrazione si sono trovati due tempi $t_{n_1}$ e $t_{n_2}$ tali che $U(t_{n_1})\cap U(t_{n_2})\neq\emptyset$ . D'altra parte, supponendo $t_{n_1} < t_{n_2}$

$\begin{align} \Phi_{-t_{n_1}}(U(t_{n_1})\cap U(t_{n_2})) &= \Phi_{-t_{n_1}}(U(t_{n_1}))\cap\Phi_{-t_{n_1}}(U(t_{n_2})) \\ &= U(t_0)\cap U(t_{n_2}-t_{n_1})\neq\emptyset \end{align}$

Quindi esiste $t^* = t_{n_2}-t_{n_1}$ tale che $U(t_0)\cap U(t^*)\neq\emptyset$ .

Così è come leggo io la dimostrazione data. Purtroppo non mi piace neanche così: nella prima parte di dimostrazione, per esempio, non viene detta una cosa secondo me importante in riferimento a questo:

nyky93 ha scritto:E' chiaro che devono esistere due distinti per i quali gli insiemi $U_{n1}$ e $U_{n2}$ hanno intersezione non nulla, altrimenti si arriva a un assurdo .

Di queste coppie n_1,n_2

non ne deve esistere solo una (come sembra dalla frase sopra), ma infinite :!:

Altrimenti non si potrebbe dire (neretto mio):

Allora qualunque sia $\tau$ esiste un $t^*>\tau$ tale che

.

Insomma, come dimostrazione non mi convince e mi sembra migliorabile: purtroppo non posso confrontarla con una standard perché nei libri di meccanica classica che ho sottomano non c'è. Appena riesco a dedicarci del tempo con calma provo a pensare a qualche miglioria.

Nota:

nyky93 ha scritto:Cioè immaginando questo cerchio che evolve nello spazio delle fasi bidimensionale.

Non pensare agli

solo come a dei cerchi, ricordati che anche partendo da un cerchio, in generale, l'azione del flusso lo deforma. Delle belle immagini che mostrano l'azione del flusso nel caso di un pendolo si trovano alle p. 140-141 del libro

F. Scheck, Mechanics, Springer, 2007.

Ok era proprio il seguente punto che non riuscivo a capire

$\begin{align} \Phi_{-t_{n_1}}(U(t_{n_1}))\cap\Phi_{-t_{n_1}}(U(t_{n_2})) &= U(t_0)\cap U(t_{n_2}-t_{n_1})\neq\emptyset \end{align}$

e rileggendo nell'insieme le proprietà che hai elencato credo di avere almeno ora una visione completa della dimostrazione.

Comunque hai ragione, nella dimostrazione da me data mancano sicuramente dei dettagli fondamentali

Per chi volesse dargli un'occhiata ho trovato questi due pdf dove è spiegata abbastanza bene

Pag 26 - Ricorrenza di Poincarè 1

Pag 18 - Ricorrenza di Poincarè 2

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Dimostrazione dell'eterno ritorno... (Teorema di Poincarè)

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Re: Dimostrazione dell'eterno ritorno... (Teorema di Poincar

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