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Ciao a tutti,
come da titolo mi sto domandando per quale motivo nel descrivere il moto nel piano di un corpo rigido vengono considerate solamente le isometrie dirette, ossia le traslazioni e le rotazioni.

Chi mi sa dire?

Vedi questo (fine pag.8)

Puoi anche dare un'occhiata a questa discussione.

Comunque, il moto di un corpo rigido è una mappa continua (perché non vuoi rompere il corpo rigido) da un intervallo reale (il tempo) a un insieme di trasformazioni ortogonali (perché il corpo è rigido). Se, tra l'insieme delle trasformazioni, considerassi anche le riflessioni (parità) considereresti anche mappe non continue.

Forse inizio a capire.

In pratica non è sufficiente chiedere che il movimento sia descritto da un'isometria, ma è necessario anche introdurre una nozione di continuità per le isometrie in gioco.

Questa nozione di continuità richiede a sua volta una nozione di convergenza (o addirittura una topologia), la quale presumo sia quella euclidea visto che stiamo ragionando in $\mathbb{R}^3$ . È così?

RiccardoDesimini ha scritto:ma è necessario anche introdurre una nozione di continuità per le isometrie in gioco.

Un moto, di qualunque tipo, è sempre modellato da una curva continua.

RiccardoDesimini ha scritto:Questa nozione di continuità richiede a sua volta una nozione di convergenza (o addirittura una topologia)

Senza addirittura: per definire la continuità ci va uno spazio topologico. Nel caso di uno spazio metrico, uno spazio, cioè, dove sia definita una nozione di distanza, la topologia che si considera è quella indotta dalla metrica.

Nel caso di gruppi di trasformazioni (p.es. O(n),SO(n)

), si può definire una topologia tenendo conto che a ogni matrice $\mathbb{R}^{n\times n}$ corrisponde un vettore in $\mathbb{R}^{n^2}$ . Per esempio, a una matrice $2\times 2$

$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$

corrisponde il vettore $(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22})$ , quindi alle matrici $2\times 2$ si può fare ereditare la topologia di $\mathbb{R}^{4}$ . Un gruppo di trasformazioni diventa così un gruppo topologico. Non solo: gli elementi di certi gruppi possono essere parametrizzati in modo differenziale (pensa, p.es., agli angoli di Eulero per il moto del corpo rigido), trasformando così tali gruppi in una varietà differenziale (gruppi di Lie).

Ok, ti ringrazio.

Quel che mi rimane da capire è perché le isometrie inverse piane non sono continue: potresti darmi una mano in questa direzione?

Le isometrie affini di $\mathbb{R}^3$ sono costituite dalle traslazioni e dalle trasformazioni ortogonali la cui matrice associata $A\in\mathbb{R}^{3\times 3}$ ha $\det A = \pm 1$ . Il determinante di una matrice è una funzione polinomiale degli elementi della matrice ed è quindi una funzione continua di tali elementi. Non si può allora avere un'applicazione continua $I\subset\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3\times 3}$ che per t<t_0

abbia $\det A = 1$ e $\det A = -1$ per t>t_0

.

Il gruppo O(3)

delle trasformazioni ortogonali con determinante a modulo unitario ha allora due rami: uno, quello delle matrici con determinante unitario, forma un sottogruppo di O(3)

che è detto gruppo speciale ortogonale SO(3)

; l'altro, quelle delle matrici con determinante -1, non forma un sottogruppo di O(3)

(la successione di due trasformazioni di parità dà la trasformazione identica che è nell'altro ramo SO(3)

).

Per dirla quindi in modo piuttosto tecnico, lo spazio delle configurazioni di un corpo rigido in $\mathbb{R}^{3\times 3}$ con un punto fisso è il gruppo di Lie SO(3)

delle trasformazioni di $\mathbb{R}^{3\times 3}$ che preservano l'orientamento dello spazio.

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Corpi rigidi nel piano: perché solo traslazioni e rotazioni?

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