ElectroYou

Salve a tutti, oggi ho avuto qualche problema nella risoluzione di questo esercizio. Non ho la soluzione, quindi mi farebbe piacere avere il parere di qualcuno.

Testo - Un trasmettitore fornisce una potenza media di $100 \text{ W}$ ad una antenna omnidirezionale di efficienza 0.8

operante a una frequenza di $500k \text{Hz}$ . A distanza di $50k \text{ m}$ si trova una antenna filare di lunghezza $l = 6 \text{ m}$ . Determinare la tensione massima indotta a vuoto nell'antenna filiforme, supponendo il collegamento nello spazio libero.

Svolgimento - Per prima cosa noto che la lunghezza d'onda del segnale emesso dalla antenna omnidirezionale è

$\lambda=\frac{c_0}{f} \approx \frac{3 \cdot 10^8 \text{ ms}^{-1}}{5 \cdot 10^5 \text{s}^{-1}}=600\text{ m} \ll 50k \text{ m}$

dove c_0

è la velocità della luce nel vuoto, per cui mi sembra lecito assumere che l'onda che investe l'antenna filare sia localmente piana. Inoltre, sempre per la grande distanza tra le antenne, credo sia possibile assumere che l'onda sia polarizzata in modo che campo elettrico e antenna siano paralleli tra loro.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

sotto queste ipotesi dovrebbe valere la relazione

$V=h|\mathbf{E}|$

dove

è la tensione a vuoto cercata;
è l'altezza efficace dell'antenna in ricezione (la filare);
$\mathbf{E}$ è il campo elettrico in prossimità dell'antenna in ricezione.

L'altezza efficace è un dato noto, in quanto è un parametro che caratterizza le varie tipologie di antenne.
Detta

la costante di propagazione, si ha che

$k\frac{l}{2}=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{l}{2}\approx\frac{2\pi}{600 \text{ m}}\frac{6 \text{ m}}{2} = \frac{\pi}{100} \ll 1$

quindi l'antenna filare, alla frequenza di lavoro in questione, si può considerare corta, dunque vale la relazione

$h=\frac{l}{2}$

Il campo elettrico in prossimità dell'antenna ricevente lo valuto tramite la potenza irradiata dall'antenna omnidirezionale. Questa, per definizione, irradia allo stesso modo in ogni direzione dello spazio.
Se

è la superficie di normale (uscente) $\hat{n}$ di una sfera di raggio

centrata sull'antenna allora la potenza radiata dall'antenna attraverso questa è

$P_R=\iint \limits_S \frac{1}{2}(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*)\cdot \hat{n} \text{ d}S=\frac{|\mathbf{E}|^2}{2\zeta_0}4\pi r^2$

conseguentemente

$|\mathbf{E}|=\sqrt{\frac{P_R \zeta_0}{2\pi}}\frac{1}{r}$

dove $\zeta_0\approx 120\pi\, \Omega$ è l'impedenza del vuoto.

La potenza radiata è un dato che si può ricavare dalla potenza erogata dal trasmettitore ( $P_{IN}$ ) e l'efficenza $\eta$ dell'antenna, tramite la relazione

$P_R=\eta P_{IN}$

Tirando le somme, ad una distanza

dall'antenna l'intensità del campo elettrico vale

$|\mathbf{E}|=\sqrt{\frac{ \eta P_{IN} \zeta_0}{2\pi}}\frac{1}{r}$

quindi concludo che

$V=\frac{l}{2}\sqrt{\frac{ \eta P_{IN} \zeta_0}{2\pi}}\frac{1}{d}$

o, semplificando, anche

$\boxed{V\approx\sqrt{15 \eta P_{IN}}\frac{l}{d}} \approx 4.16m \text{ V}$

Si`, e` implacabilmente giusto :-)

dovresti solo specificare che stai calcolando la tensione di picco. Dato che il problema da` la potenza media, mi aspetterei di dover calcolare la tensione efficace. E` vero che dice tensione massima, ma questo lo interpreto come "quando l'antenna ricevente e` parallela alla polarizzazione dell'onda em".

Tutte le considerazioni che hai fatto su onda piana, antenna corta... sono tutte corrette e necessarie.

Il procedimento mi sembra giusto, ma lungo. Va benissimo quando si fanno i primi esercizi, poi "da ingegneri" meglio usare metodi piu` veloci. Ad esempio io l'ho risolto cosi`, e` fatto come lo hai fatto tu, ma senza sviluppare analiticamente tutti i conti.

La potenza irradiata vale $P_r=\eta P=80\text{W}$ . Essendo l'antenna omnidirezionale (*), questa potenza si spalma uniformemente su una sfera di raggio 50km, e la densita` di potenza PD a 50km viene $PD=\frac{80\text{W}}{4\pi(50\text{km})^2}=2.55\text{nW/m}^2$

Usando il vettore di Poynting sull'onda piana che arriva sull'antenna, si ha che il modulo del valore efficace del campo elettrico vale $E=\sqrt{PD\times 120\pi\,\Omega}=0.98\text{mV/m}$ e quindi la tensione ricevuta, massima quando l'antenna ha l'orientamento ottimale, vale il modulo di E per l'altezza efficace che nel caso di antenna corta e` meta` della lunghezza fisica, come hai detto tu, quindi la tensione efficace massima ricevuta risulta pari a 2.94mV.

Quello che ho indicato non e` l'unico modo per risolverlo. Al posto di scrivere tutti i passaggi algebrici e poi mettere i valori alla fine, come hai fatto tu, oppure di fare tanti passaggi semplici con i numeri, come ho fatto prima, si puo` usare una via di mezzo, che consiste nello scrivere una sola espressione con i valori, in questo modo: non sto a spiegare tutti i termini ma sono evidenti. In pratica al posto di calcolare passo per passo i risultati, scrivo una espressione unica

$V_r=\sqrt{\frac{100\text{W}\times 0.8}{4\pi(50\text{km})^2}\times 120\pi\Omega }\times 3\text{m}$

Questa espressione richiede poco tempo per essere scritta (dopo che uno pero` ha fatto un po' di esercizi in modo pulito e ordinato come hai fatto tu), la si valuta con una passata di calcolatrice e permette di fare una verifica dimensionale. In questo caso forse preferisco la mia prima soluzione perche' permette di valutare i risultati intermedi che sono significativi. Ma e` questione di gusti.

(*) Le antenne omnidirezionali non possono esistere, neanche teoricamente. Sai perche'?

Beh

IsidoroKZ, non so come ringraziarti anche questa risposta.

Dato che il problema da` la potenza media, mi aspetterei di dover calcolare la tensione efficace.

Hai pienamente ragione Isidoro.

Tra valori medi, di picco, efficaci etc... mi perdo sempre, e probabilmente lo farò anche adesso.
Vedo di chiarirmi un po' le idee, visto che ne ho molto bisogno.
Dunque, il testo parla di potenza media, dunque è vera la relazione

$P_R=\iint \limits_S \frac{1}{2}(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*)\cdot \hat{n}\text{ d}S$

dove i campi sono espressi in termini di valori di picco (per la presenza del fattore 1/2) e la potenza è una media (dei campi efficaci) sul periodo

$T=1/f=4\mu \text{ s}$

Quindi, se non erro, l'espressione

$V=h|\mathbf{E}|$

dovrebbe restituire il valore di picco della tensione a vuoto.

Se invece, intendendo sempre P_R

come potenza media sul periodo, scrivevo

$P_R=\iint \limits_S (\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*)\cdot \hat{n}\text{ d}S$

avrei conseguentemente calcolato il valore efficace della tensione a vuoto.

E` vero che dice tensione massima, ma questo lo interpreto come "quando l'antenna ricevente e` parallela alla polarizzazione dell'onda em".

Sì anche io. Il discorso mi è rimasto nella tastiera, ma lo avevo già implicitamente assunto nell'ipotesi di radiazione all'infinito.

Tutte le considerazioni che hai fatto su onda piana, antenna corta... sono tutte corrette e necessarie.

e queste, a mio parere, sono le cose più importanti quando si risolve un esercizio. Il motivo principale che mi spinge a postare i miei esercizi è sempre il solito: verificare la correttezza dei ragionamenti dietro le ipotesi da assumere.
I conti li metto in secondo piano, e un po' si vede...

Il procedimento mi sembra giusto, ma lungo. Va benissimo quando si fanno i primi esercizi, poi "da ingegneri" meglio usare metodi piu` veloci

Certamente, anche solo per la maggiore affidabilità dei risultati.

Al posto di scrivere tutti i passaggi algebrici e poi mettere i valori alla fine, come hai fatto tu, oppure di fare tanti passaggi semplici con i numeri, come ho fatto prima, si puo` usare una via di mezzo, che consiste nello scrivere una sola espressione con i valori,

Questo è un vizio che mi porto, e cerco portarmi fin tanto è possibile, dietro dai primi esami di fisica.
Lo faccio per cercare di contenere il più possibile gli errori di calcolo numerico della calcolatrice.

Le antenne omnidirezionali non possono esistere, neanche teoricamente. Sai perche'?

No, ed effettivamente non c'ho neanche mai pensato. So solamente che non sono fisicamente realizzabili, senza sapere il perché, e che si utilizzano solo come antenne di riferimento per definire grandezze come direttività, guadagno etc...

La timida idea che mi sono fatto, così a caldo,è che sia una questione di geometria. Dovrebbe esitere una sorgente di campo puntiforme "che pulsi potenza in ogni direzione" in moto non accelerato. Mi sembra un concetto assurdo, io associo onde elettromagnetiche a cariche in moto accelerato.
Magari però potrebbe esistere (aka non saprei confutare questa affermazione) una particolare distribuzione di carica che sia in un particolare moto tale da generare onde sferiche.

Spero di dover scontare un pena non troppo pesante per le mie affermazioni, se sarò mai messo sotto processo dagli amici fisici che, come molti molti molti molti molti altri, ne sanno più di me, povero ignorante assoluto in materia.

Grazie ancora per la risposta esauriente Isidoro!

Per valori medi e di picco di E ed H e` giusto quello che hai scritto. Di solito i campisti usano i valori di picco, perche' e` piu` semplice scrivere l'espressione del campo, mentre gli elettricisti di bassa forza come me pensano in termini di tensioni misurate con il voltmetro, e quindi efficaci.

La calcolatrice non fa (praticamente (*)) mai errori numerici. E` l'utente che spesso fa casino, ad esempio si fa un conto "corto", si scrive il risultato su un foglio, si schiaccia il tasto CLR e si ribatte il risultato :-)

, con troncamento sicuro e possibilita` di errori di battitura.

I risultati intermedi si lasciano sul display e si riutilizzano, senza scriverli: se si copiano su un foglio e si rivbattono, si perde tempo e si rischiano errori. Anche se il risultato sul display e` ad esempio un denominatore, non lo si cancella per battere il numeratore: si divide il denominatore che e` gia` sul display per il numeratore e poi si fa 1/x, molto piu` rapido e sicuro di qualsiasi altra procedura.

Se proprio serve salvare un risultato intermedio lo si salva in una memoria, e si scrive su un pezzo di carta in quale memoria lo si e` messo.

Il motivo geometrico per cui non puoi avere una radiazione isotropa come onda piana (o sferica) e` che non puoi pettinare una sfera! Se vuoi sorridere un po', guarda il teorema del riccio, anche detto teorema della palla pelosa

Visto che ti piacciono le accelerazioni delle cariche, considera questo problema simpatico. Prendi un palloncino di gomma sferico uniformemente carico sulla sua superficie, e lo gonfi e sgonfi un pochino in modo ciclico. Quanto irradia e in che modo? SI puo` supporre che il centro del palloncino rimanga fermo, altrimenti il problema si complica un po', specie in campo vicino.

Per quanto riguarda i fisici con un nabla fra i denti, o magari anche un dalambertiano, speriamo che non leggano mai i miei messaggi, altrimenti mi finiscono a colpi tensoriali! Vero

PietroBaima?

(*) se 12 cifre significative, tipiche di una qualunque calcolatrice, non bastano, vuol dire che sei di fronte a un problema numericamente perverso, allora si invoca Taylor e probabilmente lo si risolve a mente. Esempio: di quanto diminuisce il tuo peso salendo dal pian terreno al primo piano (sudata esclusa)?

IsidoroKZ ha scritto:Per quanto riguarda i fisici con un nabla fra i denti, o magari anche un dalambertiano, speriamo che non leggano mai i miei messaggi, altrimenti mi finiscono a colpi tensoriali! Vero PietroBaima?

E invece no.
Ho sempre stimato molto i colleghi (anche se non sono parte del gruppo, un pochino, presuntuosamente, dal fondo, collaboro) ingegneri che con pochi conti a mente riescono a prevedere alla grossa il comportamento di un sistema complesso, mentre io ho bisogno di una ventina di computer

La calcolatrice non fa (praticamente (*)) mai errori numerici. E` l'utente che spesso fa casino,

Sìsì verissimo, quello che intendevo è che io come non vedo un risultato tondo arrotondo sempre al centesimo.
Facendo i conti algebricamente fino alla fine, mi limito ad arrotondare solo una volta, in quanto nell'applicare la formula finale mi avvalgo del magico tasto Ans (in pratica con lo stesso procedimento da te indicato).

Se proprio serve salvare un risultato intermedio lo si salva in una memoria, e si scrive su un pezzo di carta in quale memoria lo si e` messo.

Cosa che da buon ingegnere, quale spero di diventare, dovrei incominciare a fare anche io.
L'altra faccia della medaglia del mio metodo è che se un esercizio richiede di applicare parecchie formule distinte (cosa che spesso accade), allora trovare l'espressione finale diventa molto pesante.
Come furbamente suggerisci, salvando in memoria dei risultati parziali, per la precisione di macchina, in pratica, si bypassa il problema degli arrotondamenti.
Effettivamente non ci avevo mai pensato, grazie per il tip.

Il motivo geometrico per cui non puoi avere una radiazione isotropa come onda piana (o sferica) e` che non puoi pettinare una sfera!

Di conseguenza la questione la rimbalzo agli amici topologi. Credo che l'argomento sia un po' troppo raffinato per me, anche se la foto di Caparezza è sufficiente per convincermi del risultato

Prendi un palloncino di gomma sferico uniformemente carico sulla sua superficie, e lo gonfi e sgonfi un pochino in modo ciclico.

Hai reso parecchio l'idea, pensavo proprio ad una analogia di questo tipo.
Io credo che se si riuscisse a gonfiare il palloncino dal centro esatto, mantenendo il tutto in simmetria (come se dal nulla, dall'esatto centro avvenisse una "esplosione" spontanea) allora il segnale generato sarebbe un impulso isotropo.
E' un'affermazione fatta così su due piedi, dovrei quantificare l'effetto, come giustamente mi chiedi, per convincermi e convincere. Devo pensarci.

di quanto diminuisce il tuo peso salendo dal pian terreno al primo piano (sudata esclusa)?

Niente, anzi aumenta perché al primo piano ci sta la mi' nonna e i suoi pasti ipercalorici :mrgreen:

Se il raggio della Terra è $R_T=6400k\, \text{m}$ e la mi' nonna si trova a soli $3\,\text{m}$ dal suolo, allora

$\left|\frac{p(R_T)-p(R_T+r)}{p(R_t)}\right| \approx \left|\frac{p'(R_T)r}{p(R_T)}\right| =2 \frac{r}{R_T} \approx 1 \text{ ppm}$

Gost91 ha scritto:Io credo che se si riuscisse a gonfiare il palloncino dal centro esatto, mantenendo il tutto in simmetria...

Hint: Gauss!

Gost91 ha scritto: $\left|\frac{p(R_T)-p(R_T+r)}{p(R_t)}\right| \approx \left|\frac{p'(R_T)r}{p(R_T)}\right| =2 \frac{r}{R_T} \approx 1 \text{ ppm}$

Giusto perche' non hai fatto la differenza ma hai usato Taylor, ma si puo` fare di meglio: 3m su 6000km sono mezza ppm. C'e` un quadrato quindi la variazione e` doppia, e diventa di 1ppm. La variazione del raggio e` a denominatore, quindi se il denominatore aumenta di 1ppm, il risultato diminuisce di 1ppm. Non c'e` neanche da calcolare la derivata di 1/x^2.

PS: tutto il simbolo di una unita` di misura e` in tondo, incluso il prefisso, quindi ad esempio \text{km}.

Hint: Gauss!

Meglio di così... con Gauss non c'è neanche bisogno di un calcolo!

E' risaputo che il campo elettrico,espresso in coordinate sferiche, generato da una carica Q distribuita uniformemente sulla superficie di una sfera di raggio R, in un punto a distanza r dal centro vale

$\boldsymbol{e}= \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{\boldsymbol{r}}$

tale espressione non dipende dal raggio R della sfera, quindi indipendentemente da come questo varia il campo resta lo stesso.
Conseguentemente alla stazionarietà del campo elettrico, segue la non esistenza di alcun campo elettromagnetico.

E questa era la storia della mia antennina isotropa...

3m su 6000km sono mezza ppm. C'e` un quadrato quindi la variazione e` doppia, e diventa di 1ppm. La variazione del raggio e` a denominatore, quindi se il denominatore aumenta di 1ppm, il risultato diminuisce di 1ppm. Non c'e` neanche da calcolare la derivata di 1/x^2.

Codice: Seleziona tutto: skilllevel = realmax+eps*realmax

PS: tutto il simbolo di una unita` di misura e` in tondo, incluso il prefisso, quindi ad esempio \text{km}.

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