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Funzione d'onda e potenziale periodico

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[1] Funzione d'onda e potenziale periodico

Messaggioda Foto UtenteIanero » 3 gen 2018, 17:55

Salve a tutti,
sto studiando l'equazione di Shröedinger indipendente dal tempo risolta per un elettrone in un potenziale U(x) periodico di periodo L.
L'equazione agli autovalori è pertanto:

-\frac{\hbar ^2}{2m}\psi''(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x)

Scrivendo il potenziale come:

V(x)=\sum _n c_ne^{\text{i}\frac{2\pi n}{L}x}

e la funzione d'onda, per il teorema di Bloch, come:

\psi(x)=e^{\text{i}Kx}\underbrace{u(x)}_{\text{periodica}}=e^{\text{i}Kx}\sum _n a_ne^{\text{i}\frac{2\pi n}{L}x}

e sostituendo il tutto nell'equazione di partenza si arriva dopo un po' di conti alla seguente:

\left [ \frac{\hbar ^2}{2m}\left ( \frac{2\pi n}{L}+K \right )^2-E \right ]a_n+\sum _t c_ta_{n-t} = 0

che è un sistema di equazioni che lega tra loro tutti i coefficienti a_n di u(x), noti i c_t del potenziale periodico V(x).

Teoricamente si dovrebbe imporre il determinante di questo infinito sistema omogeneo pari a 0, e trovare le condizioni sulle energie che il sistema può assumere.
In realtà però ho visto che il Kittel - Introduction to solid state physics - 8th edition nel capitolo 7 sul modello di elettrone quasi libero (Nearly Free Electron) riesce ad approssimare questo sistema in un sistema di sole 2 equazioni, facendo vedere come nascono i gap di energia proibiti. Stessa cosa anche in questo documento dell'università di Firenze http://www2.de.unifi.it/Fisica/Bruzzi/L ... 7_1415.pdf .
Mi sembra di capire che si approssima il potenziale come una funzione che nel suo sviluppo di Fourier ha solo due termini c_{t_0} e c_{-t_0} e inoltre si prendono solo due coefficienti anche dello sviluppo di u(x). Siccome sinceramente ho capito circa zero del perché sia lecito fare una cosa simile nonostante le spiegazioni che ho letto, chiedo a qualcuno che conosca il problema quali siano i passaggi logici che giustificano la riduzione di quel sistema infinito a un sistema di 2 sole equazioni.

Grazie in anticipo.
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
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