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Spin-1/2: Evoluzione con impulso modulante di forma generica

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[1] Spin-1/2: Evoluzione con impulso modulante di forma generica

Messaggioda Foto Utentegac » 11 set 2018, 21:00

Buonasera a tutti. Non mi è totalmente chiara l'espressione analitica generale dell'evoluzione unitaria del vettore di stato di uno spin-1/2 (Hamiltoniana H = -\hslash \frac{\omega_0}{2} Z pilotato da un impulso modulato da un segnale generico \Omega_x(t) con Hamiltoniana del tipo

H = \hslash \Omega_x(t) \cos(\omega t + \phi) X

con X e Z matrici di Pauli.

In letteratura si legge che supponendo di avere \Omega_x(t) = \omega_1 (sostanzialmente modulazione con impulso rettangolare ideale) e di operare nel sistema di riferimento rotante (rotating frame) con approssimazione di onda rotante (RWA) valida, è lecito scrivere l'evoluzione unitaria del vettore di stato come

U = \exp \left(-i \int_0^{\tau} \frac{H}{\hslash} dt \right) =
\begin{bmatrix}
\cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - i \frac{\delta}{\Omega_R} \sin \left( \frac{\theta}{2}   \right) & -i \frac{\omega_1}{\Omega} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) e^{-i \phi} \\
-i \frac{\omega_1}{\Omega_R} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) e^{i \phi} &    \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + i \frac{\delta}{\Omega_R} \sin \left( \frac{\theta}{2}   \right) \\
\end{bmatrix}

con \delta = \omega - \omega_0 frequenza di antirisonanza, \Omega_R = \sqrt{\omega_1^2 + \delta^2} frequenza di Rabi e angolo di rotazione \theta = \Omega_R \tau. Se \delta = 0 l'angolo di rotazione \theta dipenderà solo da \omega_1, quindi all'ampiezza dell'impulso esterno.

Se il segnale di modulazione \Omega_x(t) non fosse costante nel tempo, si potrebbe adoperare da un punto di vista prettamente analitico la matrice di cui sopra con \theta = \int_0^{\tau} \Omega_R dt =  \int_0^{\tau} \sqrt{\Omega_x^2(t) + \delta^2} dt? Si suppone \delta costante.
Grazie anticipatamente.
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