ElectroYou

Buonasera a tutti. Non mi è totalmente chiara l'espressione analitica generale dell'evoluzione unitaria del vettore di stato di uno spin-1/2 (Hamiltoniana $H = -\hslash \frac{\omega_0}{2} Z$ pilotato da un impulso modulato da un segnale generico $\Omega_x(t)$ con Hamiltoniana del tipo

$H = \hslash \Omega_x(t) \cos(\omega t + \phi) X$

con

e

matrici di Pauli.

In letteratura si legge che supponendo di avere $\Omega_x(t) = \omega_1$ (sostanzialmente modulazione con impulso rettangolare ideale) e di operare nel sistema di riferimento rotante (rotating frame) con approssimazione di onda rotante (RWA) valida, è lecito scrivere l'evoluzione unitaria del vettore di stato come

$U = \exp \left(-i \int_0^{\tau} \frac{H}{\hslash} dt \right) = \begin{bmatrix} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) - i \frac{\delta}{\Omega_R} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & -i \frac{\omega_1}{\Omega} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) e^{-i \phi} \\ -i \frac{\omega_1}{\Omega_R} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) e^{i \phi} & \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) + i \frac{\delta}{\Omega_R} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \\ \end{bmatrix}$

con $\delta = \omega - \omega_0$ frequenza di antirisonanza, $\Omega_R = \sqrt{\omega_1^2 + \delta^2}$ frequenza di Rabi e angolo di rotazione $\theta = \Omega_R \tau$ . Se $\delta = 0$ l'angolo di rotazione $\theta$ dipenderà solo da $\omega_1$ , quindi all'ampiezza dell'impulso esterno.

Se il segnale di modulazione $\Omega_x(t)$ non fosse costante nel tempo, si potrebbe adoperare da un punto di vista prettamente analitico la matrice di cui sopra con $\theta = \int_0^{\tau} \Omega_R dt = \int_0^{\tau} \sqrt{\Omega_x^2(t) + \delta^2} dt$ ? Si suppone $\delta$ costante.
Grazie anticipatamente.

ElectroYou

Spin-1/2: Evoluzione con impulso modulante di forma generica

Spin-1/2: Evoluzione con impulso modulante di forma generica