ElectroYou

Mi sembra quasi che un mezzo materiale che sia lineare, stazionario, omogeneo, isotropo e non dispersivo in tempo e spazio, debba avere per forza conducibilità nulla.
Vi risulta?

Infatti per un tale mezzo si può scrivere:

$\nabla\cdot\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\sigma\nabla\cdot\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\frac{\sigma}{\epsilon}\nabla\cdot\mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\frac{\sigma}{\epsilon}\rho(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\rho(\underline{r},t)=f(\underline{r})e^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t}$

il che vuol dire che la carica semplicemente "svanisce" nel tempo.

Non avevo mai pensato prima a questa curiosa situazione...

EDIT: anzi non così drastica, significa semplicemente che il mezzo materiale tende a diventare neutro in ogni punto. Questo è strano comunque, perché quella relazione vale per qualunque campo elettrico presente.

Trovata stessa domanda qui:

https://physics.stackexchange.com/quest ... ge-go?rq=1

ma la risposta continua a non convincermi, perché potrei mettermi ad analizzare il caso in cui l'intero spazio sia pervaso da un mezzo con tali caratteristiche (elencate in [1]).

Ianero ha scritto:Mi sembra quasi che un mezzo materiale ... debba avere per forza conducibilità nulla.
Vi risulta?

Scusa ma non capisco la domanda; perché mai dovrebbe avere conducibilità nulla?

Ianero ha scritto: Infatti per un tale mezzo si può scrivere ...
il che vuol dire che la carica semplicemente "svanisce" nel tempo.

Certo, la densità di carica volumetrica netta decade localmente esponenzialmente nel tempo,

$\rho(\underline{r},t)=\rho_0(\underline{r})e^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t}$

ma non capisco come questa relazione ti porti a dedurre che la conducibilità debba essere nulla.

L'ho capito dopo qualche giorno che non era una situazione anomala, in quanto precedentemente vedevo la questione come uno "svanire" della carica, il che mi destabilizzava.
Il fatto è che quella è, come sempre, una densità di carica netta, per cui si genereranno opportune correnti che produrranno una legge oraria della carica come quella.

In ogni caso ti ringrazio di avermi dato una ulteriore conferma.

PS: mi sa che in questi giorni ne approfitto per farti un'altra domanda, se hai voglia :-)

Ianero ha scritto:... mi sa che in questi giorni ne approfitto per farti un'altra domanda, se hai voglia

La voglia c'è sempre, spero solo di essere in grado di rispondere. :-)

BTW Per chi volesse approfondire l'argomento in oggetto:
http://videolectures.net/site/normal_dl ... xation.pdf
https://arxiv.org/pdf/0801.4182.pdf
http://www.electrostatics.org/images/ESA_2008_D4.pdf

La domanda è questa...

Per trattare in generale il problema elettromagnetico, si possono scegliere queste tre come relazioni indipendenti le une dalle altre:

$\nabla \times \mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\nabla \times \mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)=\frac{\partial \mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)}{\partial t}+\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)$

$\nabla \cdot \mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

che sono 7 equazioni in 16 incognite.
Aggiungendo le relazioni del mezzo materiale (lineare, stazionario, omogeneo, isotropo, non dispersivo in tempo e spazio):

$\mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)=\epsilon\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$
$\mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)=\mu\mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)$
$\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\sigma\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$

si arriva ad un sistema di 16 equazioni in 16 incognite e il problema elettromagnetico è determinato.

Perché accanto a questa trattazione si introduce l'equazione $\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\rho(\underline{r},t) \underline{v}(\underline{r},t)$ ? Essa non è ottenibile dalle 16 sopra elencate ma, se non mi sto sbagliando, è una generalizzazione dell'ultima equazione costitutiva del mezzo, in quanto in alcuni casi $\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\rho(\underline{r},t) \underline{v}(\underline{r},t)$ implica $\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\sigma\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$ , mentre il contrario non è vero.

D'altro canto, non è neanche possibile, per la soluzione del problema elettromagnetico, considerare come sistema da risolvere il seguente:

$\nabla \times \mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)}{\partial t}$
$\nabla \times \mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)=\frac{\partial \mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)}{\partial t}+\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)$
$\nabla \cdot \mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$
$\mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)=\epsilon\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$
$\mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)=\mu\mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)$
$\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\rho(\underline{r},t) \underline{v}(\underline{r},t)$

in quanto stavolta $\sigma$ , che prima era una quantità nota, viene rimpiazzata con $\underline{v}(\underline{r},t)$ che è una ulteriore incognita (3, in realtà).

Come si tratta a rigore la questione?

PS: direi che $\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\rho(\underline{r},t) \underline{v}(\underline{r},t)$ è proprio una equazione fondamentale, a differenza dell'altra che vede la presenza di $\sigma$ e che è una equazione che schematizza un fenomeno solo macroscopico, di media.

Uh no aspetta, forse ce l'ho fatta a capire qualcosa :-o

Penso proprio che la trattazione completa e corretta debba essere questa qui, la quale è una trattazione al livello fondamentale:

$\nabla \times \mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)}{\partial t}$
$\nabla \times \mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)=\frac{\partial \mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)}{\partial t}+\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)$
$\nabla \cdot \mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)=\epsilon_0\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$
$\mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)=\mu_0\mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)$

$\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\rho(\underline{r},t) \underline{v}(\underline{r},t)$
$\underline{v}(\underline{r},t)=f\left(\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t), \mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t),\underline{v}(\underline{r},t)\right)\leftarrow \text{Lorentz}$

dove si vede la presenza di tre gruppi di equazioni distinti che complessivamente formano un sistema 19x19.

Il primo gruppo è composto dalle equazioni che sono in grado di descrivere entrambe le componenti vorticose ed irrotazionali del campo elettromagnetico, basandosi sulla conoscenza delle correnti e sulla disposizione delle cariche.
Il secondo gruppo descrive il mezzo in cui ci si trova: il vuoto (si potrebbe benissimo evitare di far proprio riferimento all'esistenza di $\mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)$ e $\mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)$ , ma li metto per unificare il discorso con ciò che scriverò sotto).
Il terzo gruppo descrive l'interazione tra campo e cariche, basandosi sulla conoscenza del campo (forza di Lorentz). Da notare che l'ultima è anche implicita per $\underline{v}(\underline{r},t)$ .

Poi, passando al livello macroscopico, in un mezzo materiale, ci si può dimenticare delle cariche singole e fare una media, introducendo i vettori $\mathcal{\underline{P}}(\underline{r},t)$ ed $\mathcal{\underline{M}}(\underline{r},t)$ e supponendo che nessuna carica segua un moto accelerato. Si avrà quindi una corrente proporzionale al campo (se il campo fosse costante, le cariche stavolta non accelerano, ma viaggiano in media a velocità costante), che si ottiene con l'introduzione di $\sigma$ . Dunque il nuovo sistema si riduce a un 16x16, eliminando le informazioni sulle singole cariche e sulle loro interazioni fondamentali con il campo stesso:

$\nabla \times \mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)}{\partial t}$
$\nabla \times \mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)=\frac{\partial \mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)}{\partial t}+\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)$
$\nabla \cdot \mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=-\frac{\partial \rho(\underline{r},t)}{\partial t}$

$\mathcal{\underline{D}}(\underline{r},t)=\epsilon_0\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)+\mathcal{\underline{P}}(\underline{r},t)$
$\mathcal{\underline{B}}(\underline{r},t)=\mu_0\mathcal{\underline{H}}(\underline{r},t)+\mathcal{\underline{M}}(\underline{r},t)$

$\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\sigma\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$

Nell'ultima relazione, in particolare, si è supposto un mezzo lineare, isotropo, omogeneo, stazionario e non dispersivo, ma può essere generalizzata. In ogni caso stavolta, il moto delle cariche NON dipende dal campo magnetico. Questa cosa non mi piace.

Che ne pensi Renzo?

Ianero ha scritto:La domanda è questa...

QED

Ianero ha scritto:... Che ne pensi Renzo?

Penso che sia una domanda troppo difficile per il sottoscritto e se devo essere sincero, non solo non so darti una risposta, ma non sono nemmeno riuscito a capire la domanda. :mrgreen:

... e quindi ti consiglio di aprire un nuovo 3D e riproporla al Forum. ;-)

Sicuramente colpa mia che non sono stato bravo nello spiegarmi con chiarezza.
Comunque farò come hai detto, cercherò di essere più chiaro in una nuova discussione mirata.

Grazie.

Ho trovato questo (grazie

DirtyDeeds):

viewtopic.php?f=10&t=30711&hilit=livello+fondamentale&start=20#p255368

in particolare questo:

DirtyDeeds ha scritto:per determinare l'evoluzione del campo elettromagnetico, le equazioni di Maxwell, da sole, non sono più sufficienti e devono essere complementate da altri due gruppi di equazioni:

1) ...
2) ...

che è esattamente la conferma che cercavo

Aggiungerei inoltre che, l'equazione $\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\sigma\mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$ è un caso particolare di $\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\rho(\underline{r},t) \underline{v}(\underline{r},t)$ quando si ha che $\underline{v}(\underline{r},t)=\alpha \mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$ . In tal caso si può scrivere che:

$\mathcal{\underline{J}}(\underline{r},t)=\underbrace{\rho(\underline{r},t) \alpha}_{\sigma(\underline{r},t)} \mathcal{\underline{E}}(\underline{r},t)$ .

Ovviamente si può ancora generalizzare tutto, rilassando ogni ipotesi a parte la linearità (e si potrebbe anche proseguire...). Il rilassamento delle ipotesi fa cambiare la natura della costante di proporzionalità $\alpha$ e dunque ciò si riflette sulla relazione funzionale che intercorre tra campo elettrico e densità di corrente.

Sono felice di aver capito, vi ringrazio

PS: dimenticavo, la cosa che continua a non piacermi è proprio scrivere che $\underline{v}(\underline{r},t)$ sia proporzionale al campo elettrico e non anche a quello di induzione magnetica. Magari se passa vediamo che ne pensa anche

DirtyDeeds. :roll:

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Mezzi materiali e campi elettromagnetici

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