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tema d'esame meccanica

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[1] tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 13 ott 2018, 18:24

Data l'esercizio d'esame:

Screen Shot 2018-10-13 at 18.01.08.png

Screen Shot 2018-10-13 at 18.02.11.png


Non ho chiaro molte cose al punto B
  • Perché inizialmente si dice che nel tratto dove è presente l'attrito dinamico il corpo striscia ma non rotola?Non appena terminato l2 non dovrebbe iniziare un rotolamento puro (traslazione + rotazione)?
  • Poi non capisco questa equazione come sia stata partorita: v_{cm}(t)=viL -\mu_dgt
    So che la forza di attrito dinamico vale \mu_dmg ma quel conto non capisco da quali considerazioni siano state affrontate.
  • Per effetto del momento della forza di attrito il corpo inizia a rotolare, pur continuando a strisciare.
    Come fa il corpo a rotolare e strisciare? Ho studiato che il puro rotolamento è composto da moto di rotazione e traslazione, forse ci si riferisce a questo?
  • Sinceramente non capisco proprio come sia stato studiato il problema, con quale approccio.
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[2] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utentevenexian » 16 ott 2018, 10:46

Da quanto scrivi sembra ci sia un problema di fondo nella comprensione del moto angolare. Prima di affrontare un esercizio come quello proposto, devi avere ben chiaro come il moto angolare segua leggi assolutamente duali a quelle del moto lineare.

La conseguenza è che come nel caso del moto lineare, nel quale non puoi avere una variazione istantanea di velocità, anche nel moto angolare, la velocità di rotazione non può passare istantaneamente da un valore finito a un altro.

La dualità tra i due moti può essere riassunta in questo modo:

1) distanza, s [L] (m) \rightarrow angolo, \theta [LL^{-1}] (rad)
2) velocità, v [LT^{-1}] (m/s) \rightarrow velocità angolare, \omega [T^{-1}] (rad/s)
3) accelerazione, a [LT^{-2}] (m/s^2) \rightarrow accelerazione angolare, \alpha [T^{-2}] (rad/s^2)
4) massa, m [M] (kg) \rightarrow momento di inerzia, I [ML^2] (kgm^2)
5) forza, F [MLT^{-2}] (N) \rightarrow momento, M [ML^2T^{-2}] (Nm)

Tutte le relazioni che conosci e che sai applicare al moto lineare, sono duali nel moto angolare sostituendo le grandezze indicate nello specchietto qui sopra. Per esempio

\textup{F}=\textup{m} \cdot \textup{a} \rightarrow \textup{M}=\textup{I} \cdot \alpha

Intanto prova a vedere se quanto sopra ti è chiaro, poi si può proseguire.
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[3] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 18 ott 2018, 6:08

venexian ha scritto:La conseguenza è che come nel caso del moto lineare, nel quale non puoi avere una variazione istantanea di velocità, anche nel moto angolare, la velocità di rotazione non può passare istantaneamente da un valore finito a un altro.


Le formule mi sono chiare come pure le relative associazioni dei due moti, io intendevo proprio il passaggio da moto uniforme al moto di rotolamento, cioè quando il corpo striscia ed arriva in L credevo iniziasse a rotolare immediatamente visto che incontra l'attrito ma al tempo stesso smettesse di strisciare sempre nello stesso istante, invece mi sembra di capire che c'e' un tempo in cui convivono entrambi i moti.
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[4] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utentevenexian » 18 ott 2018, 6:35

ziomangrovia ha scritto:credevo iniziasse a rotolare immediatamente

Se hai avuto questa intuizione, devi interrogarti sui principi fondamentali della fisica. Un corpo in rotazione possiede energia. Quant'è questa energia, la sai calcolare? Se la velocità di rotazione passa da zero a un valore finito, come varia questa energia? Questa variazione di energia, se avviene istantaneamente, quanta potenza richiede? E' una condizione possibile in un sistema fisico?

ziomangrovia ha scritto:visto che incontra l'attrito

Questo attrito genera una forza che a sua volta da luogo a un momento che mette in rotazione la sfera. La forza, e di conseguenza il momento, hanno valore finito? Un momento di valore finito può mettere in rotazione la sfera istantaneamente da zero a un valore finale?

ziomangrovia ha scritto:mi sembra di capire che c'e' un tempo in cui convivono entrambi i moti.

Sì. Ancora meglio, da quel momento sussistono entrambi i moti che per un certo tempo non sono uniformi.
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[5] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 19 ott 2018, 6:38

venexian ha scritto:Un corpo in rotazione possiede energia. Quant'è questa energia, la sai calcolare? Se la velocità di rotazione passa da zero a un valore finito, come varia questa energia? Questa variazione di energia, se avviene istantaneamente, quanta potenza richiede? E' una condizione possibile in un sistema fisico?

Ottimi quesiti che forse risvegliano qualche neurone, provo a rispondere alle tue domande:
All'inizio del tratto L, il corpo ha solo energia cinetica (solo 2o termine) poi trovando attrito dinamico inizia anche a rotolare per cui la sua energia diventa \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2+\frac{1}{2} m v_{cm}^2
Nel secondo termine, correggetemi se sbaglio, la velocità del CM è la somma della velocità iniziale più quella dovuta al rotolamento, corretto?
Da quest'ultima formula vedo che se la velocità angolare è uguale a zero rimane solo il secondo termine e quindi la vel. del CM coincide con la velocità con cui il corpo si presenta all'inizio del tratto L.
Quando subentra la rotazione, \omega aumenta, il secondo termine si riduce e la velocità del centro di massa diminuisce, per cui posso dire che il moto del CM è moto uniforme decelerato fintanto che non si raggiunge la condizione di puro rotolamento ed il CM viaggerà di moto rettilineo uniforme.


Questo attrito genera una forza che a sua volta da luogo a un momento che mette in rotazione la sfera. La forza, e di conseguenza il momento, hanno valore finito? Un momento di valore finito può mettere in rotazione la sfera istantaneamente da zero a un valore finale?

certo generano un momento di valore finito uguale a \tau = F_d r
e visto che c'e' di mezzo un'accelerazione angolare \alpha il passaggio NON sarà istantaneo.
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[6] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utentevenexian » 19 ott 2018, 9:08

Ci siamo, ci siamo... :ok:

In tutto il post, l'unica affermazione che mi lascia perplesso è questa

ziomangrovia ha scritto:Nel secondo termine, correggetemi se sbaglio, la velocità del CM è la somma della velocità iniziale più quella dovuta al rotolamento, corretto?

Immagino sia solo un problema di terminologia. Riformuliamo meglio:

E_a=\frac{1}{2} I \omega^2

è l'energia cinetica dovuta al moto angolare. Se consideriamo per la sfera un moto puramente angolare, tutti e solo i punti che giacciono sulla retta coincidente con l'asse di rotazione sono immobili.

E_t=\frac{1}{2} m v^2

è l'energia cinetica dovuta al moto di traslazione. Se consideriamo per la sfera un moto di pura traslazione, tutti i punti del corpo si muovono nella stessa direzione e alla stessa velocità.

In un moto composto, l'energia totale è la somma delle energie viste sopra che possono essere calcolate separatamente. Dato che vige la conservazione dell'energia, se un corpo modifica la propria velocità angolare, cambierà anche la propria velocità di traslazione in modo da soddisfare la legge medesima.

Nota 1: ho tolto il pedice a I nella prima equazione perché il momento di inerzia non può essere riferito a un punto (I_{cm} è un non senso), ma deve essere riferito a un asse, quello di rotazione. Nel caso di una sfera, il momento calcolato rispetto a qualsiasi asse passante per il centro è il medesimo e nel caso specifico si può omettere. Incidentalmente, I_{cm} potrebbe significare il momento di inerzia riferito a un qualsiasi asse passante per il centro di massa, ma non credo tu intendessi questo... ;-)

Nota 2: ho tolto il pedice a v nella seconda equazione perché ci stiamo riferendo a un moto di pura traslazione e tutti i punti dell'oggetto hanno la stessa velocità.
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[7] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 19 ott 2018, 18:09

venexian ha scritto:Immagino sia solo un problema di terminologia


Mi sono spiegato malissimo, ci riprovo mettendo da parte un attimo l'esercizio e considerando che l'energia del corpo durante il moto di puro rotolamento è

\frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2

la prima componente è quella dovuta allo moto di rotazione e l'altra a quello di traslazione.
Torniamo all'esercizio dove in questo caso però, oltre al puro rotolamento, abbiamo anche lo strisciamento del corpo quindi la seconda parte \frac{1}{2}mv^2 deve tener di conto anche di questa ulteriore velocità (chiamiamola per comodità v_i), pertanto intendevo dire che v comprende anche questa componente.
Quando il corpo passerà al puro rotolamento la v_i diventerà zero, dove il moto decelerato passerà ad uniforme.
Ho capito bene?
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[8] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utenteziomangrovia » 20 ott 2018, 14:39

Ho detto cose senza senso nell'ultima risposta? Ho capito bene?
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[9] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utentevenexian » 20 ott 2018, 15:59

Scusa, non ho avuto tempo di rispondere.
Appena posso andiamo avanti.
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[10] Re: tema d'esame meccanica

Messaggioda Foto Utentevenexian » 20 ott 2018, 22:27

ziomangrovia ha scritto:Torniamo all'esercizio dove in questo caso però, oltre al puro rotolamento, abbiamo anche lo strisciamento del corpo quindi la seconda parte \frac{1}{2}mv^2 deve tener di conto anche di questa ulteriore velocità.

No. Che il corpo rotoli con velocità periferica inferiore, uguale o anche superiore a quella del piano, l'energia cinetica di traslazione è sempre la stessa. La puoi considerare come l'energia cinetica di traslazione del centro di massa, con tutta la massa concentrata in quel punto. Come punto, non ha nessun senso considerare una sua eventuale rotazione.

Sai che sono sempre esplicito, penso sia utile. I tuoi dubbi mostrano che questo esercizio è un po' troppo complesso per la tua preparazione attuale, ma è un bel esercizio e ti può essere estremamente utile per acquisire con sicurezza alcuni concetti fondamentali.

Propongo di dividere l'esercizio in tre parti: la spinta della molla, la questione del passaggio nella zona di attrito e la parte finale con il cuneo. Concentriamoci sulla parte più importante, la seconda.

Immagina la sfera di massa m, raggio r che slitta su un piano senza attrito con velocità di traslazione v_0 e velocità angolare \omega_0=0. Sappiamo che l'energia e solo quella cinetica e sappiamo calcolarla. La sfera incontra la superficie scabra e inizia a rallentare il suo moto di traslazione, mentre inizia a accelerare il suo moto angolare. Dal secondo principio di Newton sappiamo che per causare queste accelerazioni e/o decelerazioni servono forze e/o momenti.

Nel caso specifico, sei in grado di stabilire quali sono queste forze e/o momenti e valutarne l'intensità in modo analitico?

Una seconda domanda, disgiunta dalla prima: sei in grado di scrivere un'equazione che stabilisca la condizione di puro rotolamento della sfera sul piano? Intendo un'equazione che quando soddisfatta indichi che la sfera rotola, mentre quando non soddisfatta indichi che la sfera slitta sul piano, ruotando troppo veloce o troppo lenta?

P.S. Scusa per non aver risposto subito, ma con un giorno come questo, non andare al Lido sarebbe stato un insulto al Mare... ;-)
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