ElectroYou

Una domanda lampo, che mi aiuterebbe a capire cosa devo capire prima di capire :mrgreen:

L'equazione per la corrente di Drift, ad esempio di elettroni:

$J_n=qD_n\frac{\mathrm{d}n_p(x)}{\mathrm{d}x}$

si può in qualche modo tirare fuori dalla teoria EM classica? In alte parole si può derivare, anche sotto qualche approssimazione, dal modello Drift-Diffusion?

Grazie in anticipo.

Ne so quanto te e forse pure meno... ma mi permetto di ritenere che la risposta alla tua domanda sia negativa: n_p

è una grandezza fondamentalmente basata su concetti "non classici" come la densita degli stati e tutto quanto sta dietro alla statistica di Fermi-Dirac :-k

Ti rispondo molto velocemente. La fisica classica non basta.

Ianero ha scritto: $J_n=qD_n\frac{\mathrm{d}n_p(x)}{\mathrm{d}x}$

si può in qualche modo tirare fuori dalla teoria EM classica? In alte parole si può derivare, anche sotto qualche approssimazione, dal modello Drift-Diffusion?

La domanda mi sembra mal posta. Quell'espressione della corrente non è che la derivi dal modello Drift-Diffusion: E' proprio una delle equazioni caratteristiche del modello Drift-Diffusion.
La domanda può dunque essere: come si fa a derivare questo modello.
Certamente si può arrivare a quella equazione tramite dei "ragionamenti", osservazioni su cosa succede dal punto di vista Fisico (i soliti ragionamenti sul fatto che un gradiente di concentrazioni porta gli elettroni a volersi spostare dall'altro lato della giunzione, eccetera...). Ma si può anche derivare matematicamente.
Come?
Il modello Drift-Diffusion viene derivato partendo dall'Equazione di Boltzmann.
Nello specifico, risolvendo l'equazione di Boltzmann applicando il metodo dei momenti, e fermandosi, nelle approssimazioni, al momento di ordine 1, si può dimostrare che salta fuori il modello ohmico-diffusivo.
Nessuno ci obbliga a fermarci al momento di ordine 1. Risolvendo l'equazione di Boltzmann applicando il metodo dei momenti, e fermandosi, nelle approssimazioni, al momento di ordine 2, salta fuori il modello idrodinamico (una versione semplificata del quale è il modello energy balance).
Si può anche andare oltre, ma risulta difficile trovare un chiaro significato fisico per i momenti di ordine superiore.

Pertanto, l'ingrediente di partenza è l'equazione di Boltzmann.
Da dove salta fuori?
Per spiegare bene (e meglio delle poche righe qua sopra) la questione, visto che ti interessa capire cosa devi capire (

), come si arriva a questa equazione e quali sono gli elementi di partenza per arrivarci?
Le basi che ti occorrono sono: struttura dei cristalli, funzioni di occupazione, spazi delle fasi. Concetti che derivano dalla soluzione dell'equazione di Schrödinger nei cristalli.

I processi di apprendimento sono:
cristalli
--> equazione di Schrödinger
--> grazie alla meccanica quantistica otteniamo una forma generale per descrivere il problema delle bande e del trasporto che, grazie al concetto dei pacchetti d'onda, ci permette di parlare in termini semiclassici
--> applicazione della meccanica Newtoniana al problema del trasporto: equazione di continuità negli spazi delle fasi (equazione di Boltzmann)
--> risoluzione con il metodo dei momenti
--> modelli semplificati (es drift-diffusion)

Per completezza ti riporto qui l'equazione del trasporto di Boltzmann:

$\frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial t} + \nabla_r \mathfrak{F} \frac{d\bar{r}}{dt} + \nabla_p \mathfrak{F} \frac{d\bar{p}}{dt} = \left. \frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial t}\right|_c$

dove

rappresenta la posizione nello spazio

$p = \hbar (k_0 - k)$ rappresenta la quantità di moto (il momento del cristallo)

$\mathfrak{F}(\bar{r},\bar{p},t) = g_{(\bar{r},\bar{p})}\cdot f\left( \bar{r}, \bar{p}, t \right)$ rappresenta la distribuzione di particelle (

è la probabilità di occupazione, $g=\frac{2}{(2\pi)^l}$ è la densità degli stati, dove

rappresenta la dimensionalità del problema)

$\left. \frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial t}\right|_c$ rappresenta i meccanismi di scattering e generazione/ricombinazione responsabili della variazione di $\mathfrak{F}$ nel tempo (uso il pedice "c" per indicare che sono dovuti alle collisioni)

In termini semiclassici, possiamo dare un significato ai vari termini, permettendo di ricavare le equazioni semiclassiche del moto:

$\bar{r}$ è la posizione della particella (i.e. la posizione del centro del pacchetto d'onde)

$\bar{p}$ è il momento del cristallo

$\frac{d\bar{p}}{dt}$ è la forza (i.e. l'inverso del gradiente dell'energia potenziale)

$\frac{d\bar{r}}{dt}$ è la velocità di gruppo

Grazie mille ad entrambi.

@rugweri
Lo sospettavo anche io, ma n_p

credo si possa ancora mantenere come grandezza classica se si usa un modello a palline da biliardo con l'aggiunta nelle equazioni, questa sì poco classica, del fatto che coppie elettroni-lacune possono spuntare dal nulla e tornare nel nulla. Argomento un po' di più qui sotto.

@DrCox
Risposta monumentale, grazie mille, ma purtroppo sono troppo ignorante per poterti stare dietro. Una cosa non mi è chiara:

DrCox ha scritto:La domanda mi sembra mal posta. Quell'espressione della corrente non è che la derivi dal modello Drift-Diffusion: E' proprio una delle equazioni caratteristiche del modello Drift-Diffusion.
La domanda può dunque essere: come si fa a derivare questo modello.

Io sapevo che il modello Drift-Diffusion fosse questo qui (preso da Wikipedia):

$\left\{ \begin{alignedat}{2} -\nabla\cdot(\epsilon\nabla V) - \rho & = 0\\ q\frac{\partial n}{\partial t} - \nabla\cdot\mathbf{J}_n & = q(G-R) \\ q\frac{\partial p}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J}_p & = q(G-R) \end{alignedat} \right.$

dove non compare da nessuna parte la grandezza D_n

.
Ad ogni modo, già che ci siamo, vorrei proporre quello che ho cercato di fare io, ben lontano dal voler mettere sù un modello fisico completo e risolverlo.
Quello che ho provato a fare è stato mettere sù un modello da Maxwell (includendo solo quel fenomeno poco classico di cui parlavo con rugweri), mettere poi una ad una le approssimazioni necessarie e ottenere alla fine le solite equazioni per le correnti. Mi aspettavo di trovare esattamente quel sistema di tre equazioni postato come modello di partenza da approssimare via via, invece già lì mi vengono cose un po' diverse.
Vorrei fartelo vedere se non ti tolgo troppo tempo.

Le equazioni da cui parto sono quelle fondamentali, dove come dominio mi sono messo nel più piccolo volume chiuso che avvolge la giunzione PN:

$\nabla \times \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)=-\frac{\partial \bold{\mathcal{B}}(\bold{r},t)}{\partial t}$
$-\frac{\partial \rho(\bold{r},t)}{\partial t}=\nabla \cdot \bold{\mathcal{J}}(\bold{r},t)$
$\nabla\cdot \bold{\mathcal{D}}(\bold{r},t)=\rho(\bold{r},t)$

A frequenze molto basse:

$\nabla \times \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)\approx 0\rightarrow \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)=-\nabla \mathcal{V}(\bold{r},t)$
$-\frac{\partial \rho(\bold{r},t)}{\partial t}=\nabla \cdot \bold{\mathcal{J}}(\bold{r},t)$
$\nabla\cdot \bold{\mathcal{D}}(\bold{r},t)=\rho(\bold{r},t)$

Bisogna poi caratterizzare il materiale, facciamo che nel caso bellissimo questo sia lineare, omogeneo, isotropo (è vero che il silicio è un cristallo, ma questa approssimazione dovrebbe avere un po' di senso in quanto su tutti e tre gli assi cartesiani vedo la stessa 'composizione', al di là di un po' di impurità droganti), stazionario, non dispersivo né nel tempo (questa è pesante, ma se ci manteniamo a frequenze quasi nulle ci può stare) né nello spazio (questa è meno pesante).
Di conseguenza:

$\bold{\mathcal{D}}(\bold{r},t)=\epsilon \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)=-\epsilon \nabla \mathcal{V}(\bold{r},t)$

Poi, per quanto riguarda la carica essa si compone di 4 termini (qui è implicita una ipotesi aggiuntiva: esistono due tipi di cariche differenti che hanno la proprietà, poco classica, per la quale ci può essere annichilazione a coppie o nascita dal nulla a coppie):

$\rho (\bold{r},t)=q\left(p(\bold{r},t)-n(\bold{r},t)+N_D(\bold{r})-N_A(\bold{r})\right)$

dove $n(\bold{r},t)$ e $p(\bold{r},t)$ tengono conto anche delle ricombinazioni/generazioni.
A questo punto, affinché l'equazione $-\frac{\partial \rho(\bold{r},t)}{\partial t}=\nabla \cdot \bold{\mathcal{J}}(\bold{r},t)$ esprima ancora il vero (scritta così essa dice che una diminuzione locale di carica in un punto corrisponde sempre a una divergenza di corrente verso l'esterno in quel punto) è necessario che la corrente $\bold{\mathcal{J}}_n(\bold{r},t)$ ( $\bold{\mathcal{J}}_p(\bold{r},t)$ ), oltre ad essere formata dal reale spostamento di carica di elettroni (di lacune), sia accompagnata anche da un termine fittizio che tiene in conto della parte di carica in moto che, invece di divergere da un punto, sparisce nel nulla (o appare dal nulla).
Quindi l'equazione di continuità vale per le correnti 'modificate':

$\widetilde{\bold{\mathcal{J}}}_n(\bold{r},t)=\bold{\mathcal{J}}_n(\bold{r},t)+\bold{\mathcal{J}}_{n_R}(\bold{r},t)$
$\widetilde{\bold{\mathcal{J}}}_p(\bold{r},t)=\bold{\mathcal{J}}_p(\bold{r},t)+\bold{\mathcal{J}}_{p_R}(\bold{r},t)$

dove con il pedice 'R' intendo 'ricombinazione'.
Qui sembra ci sia una ipotesi aggiuntiva, ma in realtà non è tale in quanto è una conseguenza dell'ipotesi sull'annichilazione/creazione: si tratta del fatto che l'equazione di continuità vale non solo per tutta la corrente totale, ma anche per le singole componenti di corrente di elettroni (modificata) e di lacune (modificata).
Siccome ad una diminuzione di elettroni per ricombinazione corrisponde una stessa diminuzione di lacune, deve essere che:

$\nabla\cdot \bold{\mathcal{J}}_{n_R}(\bold{r},t)=\nabla\cdot \bold{\mathcal{J}}_{p_R}(\bold{r},t)$

e quindi:

$q\frac{\partial n(\bold{r},t)}{\partial t}=\nabla \cdot \widetilde{\bold{\mathcal{J}}}_n(\bold{r},t)$
$-q\frac{\partial p(\bold{r},t)}{\partial t}=\nabla \cdot \widetilde{\bold{\mathcal{J}}}_p(\bold{r},t)$

I termini $\bold{\mathcal{J}}_n(\bold{r},t)$ e $\bold{\mathcal{J}}_p(\bold{r},t)$ sono dati dalla solita generale relazione:

$\bold{\mathcal{J}}_n(\bold{r},t)=-q n(\bold{r},t) \bold{v}_n(\bold{r},t)$
$\bold{\mathcal{J}}_p(\bold{r},t)=q p(\bold{r},t) \bold{v}_p(\bold{r},t)$

dove $\bold{v}_n(\bold{r},t)$ e $\bold{v}_p(\bold{r},t)$ sono le velocità medie (mediate sul numero di particelle presenti in $\bold{r}$ all'istante

) rispettivamente di elettroni e lacune.
Credo che non sia così pesante supporre che sussista una proporzionalità semplice (vettoriale) tra campo e velocità media, per cui:

$\bold{v}_n(\bold{r},t)=-\mu_n \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)$
$\bold{v}_p(\bold{r},t)=\mu_p \bold{\mathcal{E}}(\bold{r},t)$

Mettendo tutto insieme:

$q\frac{\partial n(\bold{r},t)}{\partial t}=\nabla \cdot \left(-q n(\bold{r},t) \mu_n \nabla \mathcal{V}(\bold{r},t)\right)+\nabla \cdot\bold{\mathcal{J}}_{R}(\bold{r},t)$

$-q\frac{\partial p(\bold{r},t)}{\partial t}= \nabla \cdot \left( -q p(\bold{r},t) \mu_p\nabla \mathcal{V}(\bold{r},t) \right)+\nabla \cdot\bold{\mathcal{J}}_{R}(\bold{r},t)$

$-\epsilon \nabla ^2\mathcal{V}(\bold{r},t)=q\left(p(\bold{r},t)-n(\bold{r},t)+N_D(\bold{r})-N_A(\bold{r})\right)$

dove $n(\bold{r},t)$ , $p(\bold{r},t)$ e $\mathcal{V}(\bold{r},t)$ sono incognite, mentre $\nabla \cdot \bold{\mathcal{J}}_R(\bold{r},t)$ bisogna legarla al campo in qualche maniera 'poco classica', ma supponiamo che sia nota. Sono note anche le densità di cariche fisse (drogaggio) $N_D(\bold{r})$ e $N_A(\bold{r})$ .

Vedi errori nel modello che mi stavo facendo?

Ianero ha scritto:
Io sapevo che il modello Drift-Diffusion fosse questo qui (preso da Wikipedia):

$\left\{ \begin{alignedat}{2} -\nabla\cdot(\epsilon\nabla V) - \rho & = 0\\ q\frac{\partial n}{\partial t} - \nabla\cdot\mathbf{J}_n & = q(G-R) \\ q\frac{\partial p}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J}_p & = q(G-R) \end{alignedat} \right.$

dove non compare da nessuna parte la grandezza .

Quello che riporti è l'equazione di Poisson + le equazioni di continuità. Il modello Drift-Diffusion è questo, PIU' le equazioni per le correnti:
$\vec{J}_n = -q\mu_n n \nabla \phi +q D_n \nabla n$
$\vec{J}_p = -q\mu_p p \nabla \phi -q D_p \nabla p$

Per il resto, leggo e rispondo più tardi

Nel messaggio precedente ho indicato in italico tutte le ipotesi utilizzate, man mano che le introducevo.
In rosso c'è la parte dove sbaglio.

Sto cercando di capire il perché è così indispensabile il termine di diffusione.
La diffusione avviene perché se ci sono tante cariche positive (o negative) accumulate in una zona di spazio, queste si respingono a vicenda, appunto, diffondendo. E' una cosa puramente elettromagnetica, quindi non capisco perché non dovrebbe essere già insita nella forma di $\mathcal{V}(\bold{r},t)$ .
In altre parole, in quale punto ho trascurato quel contributo di campo che consente a $\mathcal{V}(\bold{r},t)$ di assumere una forma tale da produrre anche il fenomeno della diffusione?
Sarebbe come dire che ho 'troncato' da qualche parte le equazioni in maniera tale da non mettere dentro $\mathcal{V}(\bold{r},t)$ tutto il campo prodotto dalle singole cariche mobili nel silicio, elettroni o lacune che siano.
Se è così, non vedo dove l'ho fatto. Anzi, ho usato $\nabla\cdot \bold{\mathcal{D}}(\bold{r},t)=\rho(\bold{r},t)$ che dice proprio il contrario, perché in $\rho(\bold{r},t)$ c'è tutto dentro.

Edit: qui sbaglio, la diffusione avviene perché le particelle che compongono il sistema (che potrebbero essere anche neutre) hanno una certa energia cinetica e sono obbligate a restare in moto.

Questi giorni sono di fretta e non riesco a seguire tutto il discorso. Ci tornerò più avanti.

Mi limito a qualche commento.
Mi sfugge come si possa ottenere la componente diffusiva partendo dalle equazioni di Maxwell. Le equazioni di Maxwell, ovvero limitandosi a considerare come causa di tutto solamente la forza elettromagnetica, certamente ti consentono di ricavare la componente ohmica delle equazioni. D'altronde la componente ohmica è proprio quella legata alla presenza di un campo elettrico, la componente diffusiva è la parte che bilancia la parte ohmica per raggiungere l'equilibrio, non dipende dal campo.

La componente diffusiva direi che non è causata dalla forza elettromagnetica. Lasciando stare le forze nucleari forte e debole, cosa resta? La gravitazione. Infatti, le equazioni di Fick per la diffusione, così come le equazioni di Maxwell-Stefan, possono essenzialmente essere derivate sulla base di considerazioni legate alla conservazione del momento angolare / energia cinetica di un mix di particelle.. mi sembra che essenzialmente ti basti la legge di Newton per ricavare quella componente.

Trovo comunque carino il tentativo di riderivare tutta la Fisica usando solo Maxwell, è un esercizio che davvero ti permette di capire cosa è spiegabile unicamente in termini elettromagnetici e cosa no.

Grazie di nuovo.
Sicuramente forze nucleari e gravità non sono la causa della diffusione, ma allora:

mi sembra che essenzialmente ti basti la legge di Newton per ricavare quella componente.

F=ma, ma F che natura ha? È rimasta solo quella elettromagnetica, per quanto detto prima. No?

Aggiungo solo un commento silenzioso: vedere thread come questo apre il cuore.

Sono certo che

admin non avrebbe mai immaginato uno sviluppo del genere, oltre dieci anni fa.

La vostra passione e pazienza nell'esprimervi al meglio e nello scrivere le formule correttamente, per Amor del Sapere, è una grande fonte di ispirazione.

Grazie, ragazzi. Voi siete il bello e il buono di questa società. =D>

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Fisica utilizzata per modellizzare giunzioni PN

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