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Consideriamo una particella che attraversa una bersaglio di spessore finito.
Indichiamo con la probabilità di non avere interazione dopo una distanza
e con la probabilità di avere un'interazione tra ed .
La probabilità di non avere interazione dopo una distanza sarà esprimibile, con il teorema della probabilità composta, come prodotto tra la probabilità di non avere interazioni fino ad e la probabilità di non avere interazione tra ed :

Con opportune riformulazioni della relazione precedente, si perviene all'equazione differenziale

la cui soluzione, dopo aver determinato il valore della costante, è

La probabilità di interazione nella distanza rappresenta l'evento complementare alla non interazione. Quindi:

La probabilità di interagire tra ed dopo non aver interagito fino ad vale

Il mio testo di riferimento (Leo-Techniques for nuclear and particle physics experiments) indica questa probabilità con .
perché c'è quel ?
Il cammino libero medio rappresenta il valor medio della variabile . Il testo lo esprime come

Come se fosse una distribuzione di densità di probabilità. Questo però non mi torna perché è adimesionale e non può quindi rappresentare una densità di probabilità. Non saprei dunque che significato possa assumere.

Da come descritta, la P(x) mi sembra una probabilità cumulata, non una densità di probabilità.

In tale caso, che significato assumerebbe questo termine?

Ma se wdx è la probabilità d'urto, perché 1/w non è il cammino libero medio?

Si lo é. Il risultato di quel rapporto tra integrali è proprio . Il problema che mi pongo è più che altro formale. Il modo in cui viene determinato il valor medio è quello tipico di una variabile descritta da una certa distribuzione di densità di probabilità e non lo è! Inoltre l’integrale al denominatore sembra essere la condizione di normalizzazione che non è verificata perché non fa 1.

A denominatore serve proprio perché non fa 1.
comunque è una classica media pesata, quindi non vedrei problemi, anche se i pesi non sono una densità di probabilità che cambia? Sempre pesi sono: ogni x ha un proprio peso (P(x)) sommi i prodotti e dividi per la somma dei pesi