Che cos'è concretamente un sistema di riferimento?

[EcoTan]

Nel caso reale, lo spazio stesso è curvo intrinsecamente, ma non (credo che) è contenuto in un altro spazio di una dimensione in più che lo accoglie, in cui posso immaginare di dispiegare i miei infiniti righelli e orologi locali punto per punto.

Direi che nella relatività, il ruolo di questo "altro spazio" è assolto invece da un campo, il campo del tensore fondamentale, che coi suoi astrusi derivati (vedi Christoffel) ci consente di connettere i sistemi cartesiani.

[PietroBaima]

Quando parliamo della curvatura dello spazio-tempo in relatività generale, ci riferiamo a una curvatura intrinseca, ovvero una curvatura che esiste all'interno dello spazio-tempo stesso e che non richiede un contenitore più grande in cui immergerlo, come accadrebbe se pensassimo a una superficie curva immersa in uno spazio tridimensionale.

Nello spazio-tempo della relatività generale avviene qualcosa di analogo: la curvatura dello spazio-tempo non richiede uno spazio di dimensione maggiore in cui essere immersa. I sistemi di riferimento locali che descrivi, con righelli e orologi, non sono "oggetti fisici" da inserire nello spazio, ma costruzioni matematiche che servono per descrivere ciò che accade localmente in ogni punto dello spazio-tempo.

Il concetto di spazio tangente è difficile da immaginare, soprattutto se il tuo cervello tende a pensarlo come un qualche "estensione fisica". Tuttavia, matematicamente, il sistema di riferimento locale in ogni punto è semplicemente un modo di associare a quel punto un piccolo spazio piatto dove possiamo effettuare calcoli locali e misurazioni, ma non implica che ci sia un dove fisico al di fuori dello spazio-tempo. Ogni spazio tangente esiste solo a livello locale ed è associato a quel punto specifico dello spazio-tempo.

L'idea che ti manca spazio deriva dal fatto che intuitivamente cerchiamo di visualizzare lo spazio-tempo curvo come immerso in qualcosa di più grande. Tuttavia, nella visione della relatività generale, non c'è uno spazio esterno tridimensionale in cui lo spazio-tempo è immerso. La curvatura dello spazio-tempo è una proprietà interna ed intrinseca e i sistemi di riferimento locali si costruiscono matematicamente in ogni punto come uno strumento concettuale per descrivere la fisica locale.

Immagina la superficie di una sfera. Puoi descrivere la curvatura della superficie della sfera senza pensare alla sfera come immersa nello spazio tridimensionale. In ogni punto della superficie, puoi definire un piccolo piano tangente che è piatto e locale, ma non c'è bisogno di mettere il piano tangente da qualche parte. Questo è quello che accade nello spazio-tempo: i sistemi di riferimento locali sono come i piani tangenti sulla superficie della sfera, e non c'è bisogno di pensare che essi esistano in uno spazio più grande.

La chiave di Volta per superare la sensazione che manchi spazio è rendersi conto che i sistemi di riferimento locali sono costrutti matematici, non fisici, e che la curvatura dello spazio-tempo è intrinseca nello spazio-tempo stesso.

[clavicordo]

Dice PietroBaima:

La chiave di Volta per superare la sensazione che manchi spazio è rendersi conto che i sistemi di riferimento locali sono costrutti matematici, non fisici, e che la curvatura dello spazio-tempo è intrinseca nello spazio-tempo stesso.

E' sempre il solito discorso filosofico: noi non "sappiamo" che cosa "è" lo spazio o lo spazio-tempo, né che cosa "sono" i fenomeni. Nella visione scientifica possiamo solo descriverli e solo per gli aspetti che percepiamo e per quelli che deduciamo dall'esperienza ma che dobbiamo sottoporre a verifica sperimentale. In altre visioni, come quelle religiose, il discorso cambia.

Per la visione scientifica la descrizione che funziona di più è quella matematica. Però un modello matematico non sempre corrisponde alla nostra capacità di immaginare, cioè di produrre immagini che lo rappresentino in forma visiva o comunque sensoriale.

[Ianero]

Non ho veramente capito, proviamo con la visione matematica vediamo se mi aiuta.
Quello di cui stiamo parlando sono sostanzialmente le forme differenziali?
Gli assi degli infiniti sistemi di riferimento locali sulla superficie storta si ottengono portando, punto per punto, gli assi 'dritti' nel dominio della carta (che sono sempre gli stessi) negli assi locali sulla superficie attraverso la jacobiana della carta.
Gli assi nel dominio della carta sono 2, ma gli assi che emergono su un generico punto della superficie sono 3, e sono descritti da una terna di numeri e non da una coppia, nonostante la superficie è sempre stata bidimensionale.

Mi state dicendo quindi che esiste un modo di trattare matematicamente questa stessa cosa che ho appena descritto, descrivendo il tutto con vettori di due componenti dappertutto?

[Ianero]

Per la visione scientifica la descrizione che funziona di più è quella matematica. Però un modello matematico non sempre corrisponde alla nostra capacità di immaginare, cioè di produrre immagini che lo rappresentino in forma visiva o comunque sensoriale.

Non condivido.
Per come la vedo io, la matematica deve svolgere la funzione di rendere quantitativi i nostri pensieri, intuitivi o complessi che siano. Eventualmente, questa strutturazione, può anche suggerircene di nuovi e indicarci altri punti di vista, e ben venga.
Tuttavia, se produciamo una descrizione matematica del mondo e non sappiamo spiegarla a parole ed immagini, stiamo facendo quadri astratti che non sappiamo più nemmeno noi che significano.
Non credo che sia questo quello che veramente cerchiamo, quando vogliamo capire come funziona il mondo.

Almeno, questo è il modo in cui approccio io la questione.

[EcoTan]

Gli assi nel dominio della carta sono 2, ma gli assi che emergono su un generico punto della superficie sono 3, e sono descritti da una terna di numeri e non da una coppia, nonostante la superficie è sempre stata bidimensionale.

Però la Jacobiana è 2x2 e basta per costruirci sopra tutta la geometria. Ma come facciamo a quantificarla? Il mistero si chiarisce all'ultima puntata, con la legge gravitazionale. Ho sempre avuto il sospetto che la relatività sia tautologica.

[clavicordo]

Tuttavia, se produciamo una descrizione matematica del mondo e non sappiamo spiegarla a parole ed immagini, stiamo facendo quadri astratti che non sappiamo più nemmeno noi che significano.
Non credo che sia questo quello che veramente cerchiamo, quando vogliamo capire come funziona il mondo.

Infatti il problema della fisica non è quello del significato (che riguarda la filosofia) ma è quello del funzionamento di un sistema, cioè di un insieme di elementi in relazione tra loro. La fisica ha sempre cercato le "leggi" ossia le relazioni tra i vari elementi di un insieme considerato, alcune (molte in realtà) delle quali da Newton in poi è riuscita a esprimere in forma quantitativa attraverso la matematica, costruendo modelli ideali che si avvicinavano molto ai fenomeni osservati e che erano in grado di predirne il comportamento. Arrivata all'inizio del '900 si è resa conto che alcune leggi trovate, per quanto geniali e brillanti, non riuscivano a spiegare e certi fenomeni osservati: OSSERVATI, bada bene, non dedotti o immaginati. Si è scontrata cioè con certi "limiti della conoscenza" e in molti casi è riuscita a quantificarli, come la costante di Planck e la velocità massima dell'energia elettromagnetica (altri limiti sono stati scoperti nella logica con l'antinomia di Russell, poi precisata dal teorema di Goedel). Ma con questi limiti le leggi percedenti non funzionavano più e ha dovuto cercare altri che comprendessero i precedenti come capo particolare. Purtroppo però questi nuovi modelli non si accordano bene con le immagini e le intuizioni a cui siamo abituati nel nostro vivere quotidiano. Del resto, perché dovrebbero ancora funzionare? Noi ci formiamo su dimensioni che si discostano da quelle del nostro corpo di qualche ordine di grandezza, riusciamo a immaginare qualcheordine di grandezza in più ma poi... dobbiamo fare delle ipotesi e affidarci alla matematica e alla verifica sperimentale. Quali alternative vedresti, altrimenti? Se ne hai ben vengano!

[Ianero]

Però la Jacobiana è 2x2

La jacobiana è 3x2, non è quadrata nella descrizione che proponevo sopra.

Quali alternative vedresti, altrimenti? Se ne hai ben vengano!

Non lo so, va bene allargare i modelli per farli funzionare in accordo ai dati sperimentali, ma l'immagine semplice di cosa sia ciò di cui si parla è troppo importante secondo me, si tratta del motivo per cui ci sforziamo di capire come le cose funzionano.
Non la sento come la strada giusta quella di dire "non ti preoccupare, segui le equazioni e stai sereno che non sbagli".

[EcoTan]

La jacobiana è 3x2, non è quadrata nella descrizione che proponevo sopra.

Facevo riferimento a questo:

da Relatività generale di Rovelli, Basi

[IlGuru]

Quello di cui stiamo parlando sono sostanzialmente le forme differenziali?

Vediamo se riesco a portare un contributo senza prendere troppi sfondoni.

Quando parliamo di spazi tangenti, parliamo sostanzialmente di vettori, di vettori che sono tangenti in ogni punto ad una certa curva parametrica.
La superficie che hai disegnato è un insieme ordinato di punti, uno spazio che possiamo chiamare .
Prendiamo una curva qualunque sulla superficie, che sarà un sottoinsieme di punti, un sottospazio di , e la chiamiamo .
Su possiamo definire una funzione X che prende in input un punto della p curva e restituisce in output uno scalare che è il nostro parametro che per come è fatta sarà crescente procedendo per una certa direzione, a punti vicini corrispondono valori vicini di x e l'orientamento è una caratteristica intrinseca che ha ereditato dalla struttura algebrica di .
Ora prendiamo due punti vicini, p e q su .
Facciamo tendere q a p e definiamo un vettore che va da p a q, un vettore posizione.

Qui tocca aprire una piccola parentesi. Per definire un vettore come differenza di punti, abbiamo bisogno di un qualcosa in più in questa struttura algebrica. Abbiamo un insieme di punti e abbiamo uno spazio vettoriale. Ci serve una funzione che associ ad due punti dell'insieme un vettore dello spazio vettoriale e di un punto O qualunque che sarà l'origine del sistema di riferimento, abbiamo bisogno quindi di uno spazio affine, chiusa parentesi.
Possiamo parlare di sistema di riferimento solo avendo la struttura algebrica di spazio affine, negli spazi curvi in più abbiamo bisogno che lo spazio sia differenziabile, altra proprietà che si aggiunge a quelle della struttura algebrica di cui abbiamo bisogno che a questo punto è tutt'altro che banale.
E' una varietà differenziabile, o manyfold come la chiamano gli anglosassoni.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Facendo tendere q a p, tenderà a diventare tangente alla curva nel punto p. Utilizzando la funzione che abbiamo scelto all'inizio X(p) e derivandola per X(p) si può dimostrare che la lunghezza di vale 1, è un vettore unitario.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Seguendo lo stesso ragionamento, possiamo parametrizzare la superficie con un'altra curva ad esempio ed arrivare alla fine ad ottenere un vettore tangente a nel punto p, e se abbiamo scelto bene le due curve ed i due vettori tangenti e saranno ortogonali tra loro, saranno linearmente indipendenti e se ciò avviene, dato che sono vettori unitari, possiamo utilizzarli come base di uno spazio vettoriale. Infatti una combinazione lineare di questi due vettori definisce un generico vettore che "spanna" tutto lo spazio vettoriale, che è lo spazio tangente in p alla superficie

Tutto questo ragionamento vale in 1, 2, 3, 4, n dimensioni e vale per qualunque punto p di quindi ci permette di studiare qualunque varietà differenziabile dall'interno, senza bisogno di avere uno spazio contenitore.

Fino a qui abbiamo parlato solo di vettori, dove entrano in gioco le forme differenziali?
Entrano in gioco quando vogliamo fare delle misure. Le forime dfferenziali sono l'estensione della struttura algebrica delle forme lineari, stimano la densità di qualcosa in qualcos'altro, hanno la stessa struttura algebrica degli spazi vettoriali e lavorano assieme ai vettori.

dove sono le componenti e è la base.

Il prodotto di un vettore per una forma differenziale è uno scalare.

. è la Delta di Kronecker e vale 1 quando i due indici sono uguali e vale 0 quando sono diversi, nel prodotto sopravvivono solo i fattori con gli indici uguali quindi il prodotto di un vettore per una forma corrisponde al prodotto delle loro componenti che sono due scalari, quindi uno scalare .

Così come possiamo definire in ogni punto di uno spazio un vettore in funzione delle coordinate di quel punto, possiamo fare la stessa cosa con le forme differenziali. I vettori li rappresentiamo con delle freccette, le forme lineari differenziali le rappresentiamo come una griglia di rette ortogonali alla direzione della curva parametrica.

Diciamo che in un punto generico p esiste un vettore ed una forma lineare

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Come misuriamo il vettore con la forma ?
Immergiamo il vettore nella forma e vediamo quante delle rette della griglia buca (qui sono molto Gravitation-iano).

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Il vettore misura 4 nel punto p valutato con .

Se come forma lineare differenziale usiamo una la base della forma differenziale , e come vettore un vettore generico che è una combinazione lineare di componenti del vettore e della base dello spazio vettoriale , quello che otteniemo moltiplicandola per il vettore sono le componenti del vettore .

Quindi, se utilizziamo tutti i punti compresi tra due estremi che possiamo chiamare e della curva , per ciascun punto consideriamo il relativo vettore tangente , moltiplichiamo quel vettore per la forma differenziale in quel punto e sommiamo tutto insieme che cosa otteniamo?
Otteniamo la lunghezza della curva tra e .

Per studiare come è fatta la varietà differenziale , possiamo prendere una generico vettore definito come combinazione lineare con coefficienti di una n-pla di vettori base tangenti ( che va da 0 ad n-1 e con n = dimensione della varietà), e vedere come varia trasportandolo parallelamente a sè stesso in un punto q li vicino.
Possiamo farlo perché lo spazio che stiamo studiando è uno spazio affine ed esiste una connessione tra questi due punti, una connessione affine.



Per studiare la variazione di qualcosa rispetto alla variazione di qualcos'altro, si usano le derivate e qui usiamo il tipo di derivata più generico che c'è, la derivata covariante.



La somma salta fuori applicando la regola di Leibniz sulla derivata di un prodotto, il primo addendo è la banale derivata delle componenti del vettore, il secondo invece è quello più interessante perché ci dice che un vettore quando viene traspostato su una curva, non cambia solo perché variano le sue componenti, ma anche perché varia il vettore di base. Ed è proprio lo studio di come varia da punto a punto la base che ci fornisce le informazioni sulle caratteristiche intrinseche della varietà differenziabile.

Infatti possiamo predere la derivata del vettore di base , chiamarla ed appiccicarci i due indici che abbiamo usato per identificare quale vettore stiamo derivando e rispetto a cosa stiamo derivando .
Possiamo considerare a sua volta un vettore, in fondo è la differenza tra due vettori in punti diversi diviso per la variazione della distanza tra quei due punti.
Possiamo proiettare questo vettore come abbiamo fatto prima su una base della forma differenziale, ad esempio ed ottenere le sue componenti .
Sono questi i simboli di Christoffel di cui si è fatto accenno nella discussione, sono i coefficienti della connessione affine.

Per farla breve, seguendo un ragionamento simile, studiando come variano i simboli di Christoffel tra punti diversi, facendo la differenza tra quello che succede seguendo il percorso poi il percorso e seguire il percoso e poi il percorso sulla varietà differenziabile, usando cioè quello che è un operatore che si chiama commutatore, rinominando indici ecc..., possiamo ricavare tutta una serie di coefficienti che sono le componenti del tensore di Riemann , ed è lo studio di questo tensore che ci permette di stabilire se uno spazio è curvo, quanto è curvo e come è curvo in ogni suo punto.

Per permettersi di iniziare ad interessarsi ad un argomento come la Relatività Generale tutto questo non basta ancora perché non ho parlato di multivettori, di n-forme, di dualità tra basi covariante e controvariante, del tensore metrico che è una 2-forma bilineare simmetrica ecc...

Credo di aver messo un po' di carne sul fuoco e di aver detto moltissime cose imprecise, spero non completamente errate.