Ianero ha scritto:Quello di cui stiamo parlando sono sostanzialmente le forme differenziali?
Vediamo se riesco a portare un contributo senza prendere troppi sfondoni.
Quando parliamo di spazi tangenti, parliamo sostanzialmente di vettori, di vettori che sono tangenti in ogni punto ad una certa
curva parametrica.
La superficie che hai disegnato è un insieme ordinato di punti, uno spazio che possiamo chiamare
.
Prendiamo una curva qualunque sulla superficie, che sarà un sottoinsieme di punti, un sottospazio di
, e la chiamiamo
.
Su
possiamo definire una funzione X che prende in input un punto della p curva e restituisce in output uno scalare
che è il nostro parametro che per come è fatta
sarà crescente procedendo per una certa direzione, a punti vicini corrispondono valori vicini di x e l'orientamento è una caratteristica intrinseca che
ha ereditato dalla struttura algebrica di
.
Ora prendiamo due punti vicini, p e q su
.
Facciamo tendere q a p e definiamo un vettore
che va da p a q, un
vettore posizione.
Qui tocca aprire una piccola parentesi. Per definire un vettore come differenza di punti, abbiamo bisogno di un qualcosa in più in questa struttura algebrica. Abbiamo un insieme di punti e abbiamo uno spazio vettoriale. Ci serve una funzione che associ ad due punti dell'insieme un vettore dello spazio vettoriale e di un punto O qualunque che sarà l'origine del
sistema di riferimento, abbiamo bisogno quindi di uno
spazio affine, chiusa parentesi.
Possiamo parlare di sistema di riferimento solo avendo la struttura algebrica di spazio affine, negli spazi curvi in più abbiamo bisogno che lo spazio sia differenziabile, altra proprietà che si aggiunge a quelle della struttura algebrica di cui abbiamo bisogno che a questo punto è tutt'altro che banale.
E' una varietà differenziabile, o manyfold come la chiamano gli anglosassoni.
Facendo tendere q a p,
tenderà a diventare tangente alla curva
nel punto p. Utilizzando la funzione che abbiamo scelto all'inizio X(p) e derivandola per X(p) si può dimostrare che la lunghezza di
vale 1,
è un vettore unitario.
Seguendo lo stesso ragionamento, possiamo parametrizzare la superficie
con un'altra curva ad esempio
ed arrivare alla fine ad ottenere un vettore
tangente a
nel punto p, e se abbiamo scelto bene le due curve
ed
i due vettori tangenti
e
saranno ortogonali tra loro, saranno linearmente indipendenti e se ciò avviene, dato che sono vettori unitari, possiamo utilizzarli come base di uno spazio vettoriale. Infatti una combinazione lineare di questi due vettori definisce un generico vettore che "spanna" tutto lo spazio vettoriale, che è lo spazio tangente in p alla superficie
Tutto questo ragionamento vale in 1, 2, 3, 4, n dimensioni e vale per qualunque punto p di
quindi ci permette di studiare qualunque varietà differenziabile dall'interno, senza bisogno di avere uno spazio contenitore.
Fino a qui abbiamo parlato solo di vettori, dove entrano in gioco le forme differenziali?
Entrano in gioco quando vogliamo fare delle misure.
Le forime dfferenziali sono l'estensione della struttura algebrica delle forme lineari, stimano la densità di qualcosa in qualcos'altro, hanno la stessa struttura algebrica degli spazi vettoriali e lavorano assieme ai vettori.
dove
sono le componenti e
è la base.
Il prodotto di un vettore per una forma differenziale è uno scalare..
è la
Delta di Kronecker e vale 1 quando i due indici sono uguali e vale 0 quando sono diversi, nel prodotto sopravvivono solo i fattori con gli indici uguali quindi il prodotto di un vettore per una forma corrisponde al prodotto delle loro componenti che sono due scalari, quindi uno scalare
.
Così come possiamo definire in ogni punto di uno spazio un vettore in funzione delle coordinate di quel punto, possiamo fare la stessa cosa con le forme differenziali. I vettori li rappresentiamo con delle freccette, le forme lineari differenziali le rappresentiamo come una griglia di rette ortogonali alla direzione della curva parametrica.
Diciamo che in un punto generico p esiste un vettore
ed una forma lineare
Come misuriamo il vettore
con la forma
?
Immergiamo il vettore nella forma e vediamo quante delle rette della griglia buca (qui sono molto Gravitation-iano).
Il vettore
misura 4 nel punto p valutato con
.
Se come forma lineare differenziale usiamo una la base della forma differenziale
, e come vettore un vettore generico che è una combinazione lineare di componenti del vettore e della base dello spazio vettoriale
, quello che otteniemo moltiplicandola per il vettore sono le componenti del vettore
.
Quindi, se utilizziamo tutti i punti compresi tra due estremi che possiamo chiamare
e
della curva
, per ciascun punto consideriamo il relativo vettore tangente
, moltiplichiamo quel vettore per la forma differenziale in quel punto
e sommiamo tutto insieme che cosa otteniamo?
Otteniamo la lunghezza della curva
tra
e
.
Per studiare come è fatta la varietà differenziale
, possiamo prendere una generico vettore
definito come combinazione lineare con coefficienti
di una n-pla di vettori base tangenti
(
che va da 0 ad n-1 e con n = dimensione della varietà), e vedere come varia trasportandolo parallelamente a sè stesso in un punto q li vicino.
Possiamo farlo perché lo spazio che stiamo studiando è uno spazio affine ed esiste una connessione tra questi due punti, una
connessione affine.
Per studiare la variazione di qualcosa rispetto alla variazione di qualcos'altro, si usano le derivate e qui usiamo il tipo di derivata più generico che c'è, la
derivata covariante.
La somma salta fuori applicando la regola di Leibniz sulla derivata di un prodotto, il primo addendo è la banale derivata delle componenti del vettore, il secondo invece è quello più interessante perché ci dice che un vettore quando viene traspostato su una curva, non cambia solo perché variano le sue componenti, ma anche perché varia il vettore di base. Ed è proprio lo studio di come varia da punto a punto la base che ci fornisce le informazioni sulle caratteristiche intrinseche della varietà differenziabile.
Infatti possiamo predere la derivata del vettore di base
, chiamarla
ed appiccicarci i due indici che abbiamo usato per identificare quale vettore stiamo derivando e rispetto a cosa stiamo derivando
.
Possiamo considerare
a sua volta un vettore, in fondo è la differenza tra due vettori in punti diversi diviso per la variazione della distanza tra quei due punti.
Possiamo proiettare questo vettore come abbiamo fatto prima su una base della forma differenziale, ad esempio
ed ottenere le sue componenti
.
Sono questi i simboli di Christoffel di cui si è fatto accenno nella discussione, sono i coefficienti della connessione affine.
Per farla breve, seguendo un ragionamento simile, studiando come variano i simboli di Christoffel tra punti diversi, facendo la differenza tra quello che succede seguendo il percorso
poi il percorso
e seguire il percoso
e poi il percorso
sulla varietà differenziabile, usando cioè quello che è un operatore che si chiama commutatore, rinominando indici ecc..., possiamo ricavare tutta una serie di coefficienti che sono le componenti del tensore di Riemann
, ed è lo studio di questo tensore che ci permette di stabilire se uno spazio è curvo, quanto è curvo e come è curvo in ogni suo punto.
Per permettersi di iniziare ad interessarsi ad un argomento come la
Relatività Generale tutto questo non basta ancora perché non ho parlato di multivettori, di n-forme, di dualità tra basi covariante e controvariante, del tensore metrico che è una 2-forma bilineare simmetrica ecc...
Credo di aver messo un po' di carne sul fuoco e di aver detto moltissime cose imprecise, spero non completamente errate.