Ciao
Ianero, provo a rispondere in attesa dell'intervento di
PietroBaimaIanero ha scritto:Nella relatività ristretta riempivo lo spazio di righelli e orologi e poi, dopo aver sincronizzato questi ultimi con la solita procedura (ad orologi già tutti posizionati nello spazio, mi metto in mezzo tra l'orologio n e l'orologio n+1 e li sincronizzo con un segnale luminoso), il mio strumento di misura era pronto: tutti gli orologi ticchettavano allo stesso modo ovunque e tutti i righelli erano uguali.
Fatto questo, scopri che tutti gli orologi che segnano la stessa ora sono collegati da delle rette di tipo spazio e seguendo un ragionamento simile con i righelli si scopre che quelli che segnano lo stesso valore sono collegati da rette di tipo tempo.
In altri termini, preso un evento O di coordinate
e
, tutti gli eventi che sono sincroni con O ma stanno in posti diversi sono quelli che hanno la prima coordinata uguale a
mentre tutti gli eventi che stanno nello stesso posto ma in tempi diversi sono quelli che hanno la seconda coordinata uguale a
.
Gli eventi che hanno la stessa coordinata
sono collegati da una "curva" di tipo tempo, chiamala T.
Gli eventi che hanno la stessa coordinata
sono collegati da una "curva" di tipo spazio, chimala X.
Queste curve, sono quelle più brevi che possano collegare gli eventi con quelle caratteristiche, in altre parole X e T sono delle geodetiche.
Fatti:
* (T, X) ed O identificano il tuo sistema di riferimento
* T ed X, come tutte le curve, hanno un vettore tangente, t' ed x' che sono i generatori di uno spazio vettoriale, lo spazio tangente.
* Nella relatività ristretta lo spazio è pseudo-euclideo, quindi piatto.
Negli spazi piatti le geodetiche sono delle rette, lo si dimostra calcolando la variazione dei vettori tangenti da punto a punto sulla stessa "curva" rispetto ad un parametro arbitrario, cioè l'accelerazione della "curva". Si scopre che questa accelerazione è identicamente nulla e pertanto preso un qualunque punto ed un qualunque vettore di partenza, in uno spazio piatto questi due identificano una retta, e solo una ( * teorema di unicità della geodetica ).
Accelerazione nulla sulla curva, significa che il vettore tangente si muove, si trasporta, sempre parallelo a se stesso ( * trasporto parallelo ).
In uno spazio piatto è tutto ovvio, il concetto di vettore tangente si confonde con quello di retta perché le loro inclinazioni non si discostano mai e per passare dall' evento O ad un altro evento P di coordinate
basta trascinare tutto lungo la retta che li collega senza inclinare le rette T ed X.
Ma più nel dettaglio cosa succede?
Succede che quella retta che colleca O e P è una geodetica, quindi trasportando O in P stiamo trasportando i vettori t' e x' parallelamente a loro stessi.
perché ho tirato in ballo le geodetiche ed il trasporto parallelo?
perché è l'unico modo per fare gli stessi ragionamenti ed arrivare alle stesse conclusioni anche quando lo spazio può non essere piatto, come nella reletività generale.
Ianero ha scritto:In relatività generale, se ho capito bene, quello che posso fare è usare un sistema di righelli e orologi che non riempie tutto lo spazio, bensì soltanto il dominio di azione di una carta (ho un atlante di carte che copre tutto lo spazio e faccio un sistema di riferimento diverso per ogni carta). E' così?
E' un sistema di riferimento locale.
Ianero ha scritto:Se sì, come li sincronizzo gli orologi, dopo averli piazzati nello spazio...
Scusa se spezzo la domanda in due, la risposta alla prima parte della domanda è tramite il trasporto parallelo dei tuoi vettori dello spazio tangente.
Ianero ha scritto:In sintesi: mi puoi far vedere per favore la procedura che devo fare in relatività generale per costruirmi il mio ipotetico strumento di misura? (sto cercando l'analoga procedura di costruzione che saprei già fare in relatività ristretta)
In geometri differenziale, su cui di poggia la Relatività Generale, si fa così:
1) Hai bisogno di conoscere il tensore metrico che descrive quello spazio.
Mentre negli spazi piatti, in ciascun punto lo spazio tangente è sempre lo stesso ( in realtà ogni punto ha il suo, ma è semrpe uguale ) qui lo spazio tangente è una funzione del punto ( dell' evento ).
Il tensore metrico si costruisce facendo il prodotto scalare tra i vettori dello spazio tangente, che essendo una funzione del punto nello spazio, determina un campo, un campo tensoriale.
2) Si studia come varia da punto a punto lungo direzioni tra loro ortogonali il tensore metrico, e si trovano i cosiddetti coefficienti di connessione affine, i simboli di Christoffel.
3) SI prende una generica curva che collega due eventi ed il suo vettore tangente e si derivano i vettori t' ed x' di prima lungo questa curva. La derivata che si usa qui è la derivata covariante che composta da due addendi, il primo è l'accelerazione dei vettori in questione, il secondo è una funzione lineare dei simboli di Cristoffel quindi tiene conto della geometria dello spazio.
Se la derivata covariante è diversa da zero, significa che stai seguendo una curva che non trasporta parallelamente t' ed x' ( non stai seguendo una geodetica ) altrimenti si.
Quindi si fa una bella cosa, si impone che la derivata covariante sia uguale a 0 e si trova un sistema di equazioni differenziali che uguagliano l'accelerazione di t' ed x' lungo la curva ed i coefficienti della connessione affine a meno del segno.
Risolto il sistema di equazione differenziali, trovata la funzione che descrive la geodetica che collega i due eventi.
La geodetica è quella che ti permette i trasportare il tuo sistema di riferimento da O a P.
In P potresti scoprire che valutando la lunghezza dei vettoti t' ed x', questi non sono lunghi uguali a come lo erano in O ( cosa che invece non avviene negli spazi piatti perché il tensore metrico è uguale in ogni punto).
Il ragionamento è del tutto simile a quello fatto prima per lo spazio piatto, solo che là si potevano prendere scorciatoie che negli spazi curvi non sono evidenti.
Ianero ha scritto:...se all'interno dei punti coperti dalla generica carta ci possono stare comunque delle masse che li fanno de-sincronizzare?
Qui entra in scena Einstein, che ha detto:
Ma se ci fosse correlazione tra la geometria dello spazio-tempo e come sono distribuite e si muovono la materia e l'energia?
Mettiamo tutte le informazioni sulla geometria in una certa funzione G e tutta l'informazione sull'energia e la quantità di moto in una funzione T, e facciamo in modo che una determini quell'altra tramite una costante, quindi G = k T
Ora T è più facile da determinare di G e sarebbe troppo bello se in G comparisse direttamente il tensore metrico di cui sopra.
Studiando la divergenza del tensore T, si scopre che l'unico tensore G che abbia le stesse caratteristiche è una somma di tensori che sono intimamente correlati con la geometria, in cui il protagonista è il tensore di Ricci.
Tensore di Ricci che è la contrazione del tensore di Riemann.
Tensore di Riemann che è funzione dei coefficienti di connessione affine.
Coefficienti di connessione affine sono funzioni del tensore metrico.
Una tonnellata di equazioni differenziali!Per geometrie semplici si possono trovare soluzioni analitiche, ma in generale ce le possiamo sognare e dobbiamo accontentarci di integrare le funzioni con metodi numerici.
Quindi la risposta alla seconda parte dell'ultima domanda è:
Le masse non fanno de sincronizzare niente, come si muovono le masse e l'energia
determina la geometria dello spazio-tempo e la geometria dello spazio tempo
determina come si muovono le masse e l'energia.
Hai tutte le informazioni per valutare in ogni evento il tensore metrico, i coefficienti di connessione affine, scegliere una geodetica generica o quella che collega due eventi ecc..
Puoi trasportare parallelamente a sè stesso il tuo sistema di riferimento da un punto qualunque ad un altro punto qualunque dello spazio-tempo e valutare la lunghezza dei vettori t' e x' in ogni punto tramite il tensore metrico.
Questo in generale, perché in alcuni eventi la funzione che determina il tensore metrico può non essere definita.
Questi punti sono detti singolarità, e qui saltano fuori buchi neri, buchi bianchi, wormhole ecc...
Scusa per la risposta un po' lunghetta ma non sono riuscito a fare di meglio, spero che
PietroBaima intervenga a sistemare le mie inesattezze.