Che cos'è concretamente un sistema di riferimento?

[clavicordo]

ma l'immagine semplice di cosa sia ciò di cui si parla è troppo importante secondo me, si tratta del motivo per cui ci sforziamo di capire come le cose funzionano.

Ti riporto il detto di Einstein che ho assunto come motto: "Ogni cosa va resa il più possibile semplice, ma non ANCORA più semplice" .

Capisco il tuo anelito all'immagine: tutta la nostra vita psichica vive di immagini. Non è vero che nel primo anno di vita il pensiero non c'è perché non c'è ancora il linguaggio verbale articolato, come pensano alcuni. Nel primo anno di vita il pensiero è per immagini, che il bambino esprime con il corpo.
Prima di qualsiasi formulazione scientifica, o anche semplicemente pratica, uno si fa un'immagine, dalla quale costruisce (o inserisce in) una teoria, usando la logica razionale.
Noi ci sforziamo ci capire come le cose funzionano e spesso ci riusciamo, perché "fatti non foste a viver come bruti / ma per seguir virtute e canoscenza". Se non accettiamo i nostri limiti, però, finiamo per uscire dalla scienza e finire nella religione, la quale compensa la nostra ignoranza; ciò che dice non è verificabile, ma per molti (anche scienziati) funziona (nel coprire l'angoscia del vuoto).

[Ianero]

IlGuru ti ringrazio molto della risposta corposa che hai portato. Purtroppo, io mi sono perso già qui:

definiamo un vettore che va da p a q, un vettore posizione.
...
Tutto questo ragionamento vale in 1, 2, 3, 4, n dimensioni e vale per qualunque punto p di quindi ci permette di studiare qualunque varietà differenziabile dall'interno, senza bisogno di avere uno spazio contenitore.

perché non capisco come si conciliano le due frasi. Se penso di definire un vettore che va da p a q, sono già uscito dal lenzuolo. Mi servono 3 numeri per identificarlo insomma, non 2. O no?
Comunque, sia la tua risposta che l'immagine che ha caricato EcoTan mi stanno facendo capire che la risposta a questa:

Mi state dicendo quindi che esiste un modo di trattare matematicamente questa stessa cosa che ho appena descritto, descrivendo il tutto con vettori di due componenti dappertutto?

è sì.
Ben venga allora, devo studiare allora perché non ho mai approcciato la cosa "dall'interno".

Se non accettiamo i nostri limiti, però, finiamo per uscire dalla scienza e finire nella religione, la quale compensa la nostra ignoranza; ciò che dice non è verificabile, ma per molti (anche scienziati) funziona (nel coprire l'angoscia del vuoto).

Direi che non c'è pericolo, almeno nel mio caso non vedo conversione personale all'orizzonte. Molto probabilmente resterò ateo per tutta la vita. :)
Con altrettanta probabilità, non credo che mi arrenderò nella ricerca dell'immagine semplice, pur sempre rimanendo conscio di tutti i miei infiniti limiti.

[IlGuru]

Se penso di definire un vettore che va da p a q, sono già uscito dal lenzuolo. Mi servono 3 numeri per identificarlo insomma, non 2. O no?

Si ma solo perché hai a disposizione 2 dimensioni ed hai il privilegio di vedere quella curva da fuori immersa in uno spazio a più dimensioni.

Chi vive su quella curva, ha a disposizione una sola dimensione, un solo vettore tangente che ha una componente sola che vale 1 una volta stabilita una 1-forma che misuri quel vettore dando come risultato della misura il valore 1 e pensa di vivere su una retta.

Tu che vedi la curva da fuori, puoi parametrizzare la curva con un solo parametro, diciamo s.
Però puoi permetterti di dire che per te ogni punto p sulla curva lo puoi identificare con un vettore posizione di due coordinate .
Ora puoi calcolare il vettore tangente alla curva derivando secondo il parametro s le componenti del vettore posizione: .
Puoi calcolare la norma di quel vettore ed usarla per calcolare la lunghezza di quella curva tra due estremi ed
Ma il parametro rimane sempre e solo uno, s.

[Ianero]

Forse ho capito.
La confusione nasce perché noi solitamente disegniamo i vettori con delle frecce. Basterebbe invece pensare a un vettore (una forza, per esempio) come una 'spinta' che si sperimenta in quel punto e in nessun altro. Se immagino l'intensità di quella forza con un colore sempre più intenso, anziché rappresentarla con la lunghezza di una freccia, il dubbio di 'finire al di fuori del lenzuolo' si scioglie.

Grazie, IlGuru, per quest'ultima risposta, è stata illuminante.

[IlGuru]

Eh si, in geometria differenziale anche i vettori, per quanto simili a delle frecce una più lunga di un'altra, sono sempre degli "infinitesimi" che valgono solo nel punto in cui sono definiti.
Dicono solo quanto la curva a cui sono tangenti "tira per di là" ma la punta della freccia non tocca veramenre un altro punto della superficie.
Solo così si può passare ad altri concetti come il piano tangente, lo spazio tangente ecc... Sono tutti n-vettori la cui "magnitudine" è un'informazione che vale in quel punto li.

[Ianero]

Purtroppo sono tornato ad incastrarmi il cervello...

La curvatura dello spazio-tempo potrebbe sembrare che renda impossibile l'uso di righelli e orologi per misurare le distanze e i tempi, ma, in realtà, la relatività generale fornisce gli strumenti per affrontare anche questo problema.

Mi rendo conto di non aver ancora capito veramente come si fa a costruire uno strumento di misura (il sistema di riferimento) in relatività generale.

Nella relatività ristretta riempivo lo spazio di righelli e orologi e poi, dopo aver sincronizzato questi ultimi con la solita procedura (ad orologi già tutti posizionati nello spazio, mi metto in mezzo tra l'orologio n e l'orologio n+1 e li sincronizzo con un segnale luminoso), il mio strumento di misura era pronto: tutti gli orologi ticchettavano allo stesso modo ovunque e tutti i righelli erano uguali.

In relatività generale, se ho capito bene, quello che posso fare è usare un sistema di righelli e orologi che non riempie tutto lo spazio, bensì soltanto il dominio di azione di una carta (ho un atlante di carte che copre tutto lo spazio e faccio un sistema di riferimento diverso per ogni carta). E' così?
Se sì, come li sincronizzo gli orologi, dopo averli piazzati nello spazio, se all'interno dei punti coperti dalla generica carta ci possono stare comunque delle masse che li fanno de-sincronizzare?

In sintesi: mi puoi far vedere per favore la procedura che devo fare in relatività generale per costruirmi il mio ipotetico strumento di misura? (sto cercando l'analoga procedura di costruzione che saprei già fare in relatività ristretta)

[IlGuru]

Ciao Ianero, provo a rispondere in attesa dell'intervento di PietroBaima

Nella relatività ristretta riempivo lo spazio di righelli e orologi e poi, dopo aver sincronizzato questi ultimi con la solita procedura (ad orologi già tutti posizionati nello spazio, mi metto in mezzo tra l'orologio n e l'orologio n+1 e li sincronizzo con un segnale luminoso), il mio strumento di misura era pronto: tutti gli orologi ticchettavano allo stesso modo ovunque e tutti i righelli erano uguali.

Fatto questo, scopri che tutti gli orologi che segnano la stessa ora sono collegati da delle rette di tipo spazio e seguendo un ragionamento simile con i righelli si scopre che quelli che segnano lo stesso valore sono collegati da rette di tipo tempo.

In altri termini, preso un evento O di coordinate e , tutti gli eventi che sono sincroni con O ma stanno in posti diversi sono quelli che hanno la prima coordinata uguale a mentre tutti gli eventi che stanno nello stesso posto ma in tempi diversi sono quelli che hanno la seconda coordinata uguale a .
Gli eventi che hanno la stessa coordinata sono collegati da una "curva" di tipo tempo, chiamala T.
Gli eventi che hanno la stessa coordinata sono collegati da una "curva" di tipo spazio, chimala X.
Queste curve, sono quelle più brevi che possano collegare gli eventi con quelle caratteristiche, in altre parole X e T sono delle geodetiche.
Fatti:
* (T, X) ed O identificano il tuo sistema di riferimento
* T ed X, come tutte le curve, hanno un vettore tangente, t' ed x' che sono i generatori di uno spazio vettoriale, lo spazio tangente.
* Nella relatività ristretta lo spazio è pseudo-euclideo, quindi piatto.

Negli spazi piatti le geodetiche sono delle rette, lo si dimostra calcolando la variazione dei vettori tangenti da punto a punto sulla stessa "curva" rispetto ad un parametro arbitrario, cioè l'accelerazione della "curva". Si scopre che questa accelerazione è identicamente nulla e pertanto preso un qualunque punto ed un qualunque vettore di partenza, in uno spazio piatto questi due identificano una retta, e solo una ( * teorema di unicità della geodetica ).

Accelerazione nulla sulla curva, significa che il vettore tangente si muove, si trasporta, sempre parallelo a se stesso ( * trasporto parallelo ).

In uno spazio piatto è tutto ovvio, il concetto di vettore tangente si confonde con quello di retta perché le loro inclinazioni non si discostano mai e per passare dall' evento O ad un altro evento P di coordinate basta trascinare tutto lungo la retta che li collega senza inclinare le rette T ed X.
Ma più nel dettaglio cosa succede?
Succede che quella retta che colleca O e P è una geodetica, quindi trasportando O in P stiamo trasportando i vettori t' e x' parallelamente a loro stessi.

perché ho tirato in ballo le geodetiche ed il trasporto parallelo?
perché è l'unico modo per fare gli stessi ragionamenti ed arrivare alle stesse conclusioni anche quando lo spazio può non essere piatto, come nella reletività generale.

In relatività generale, se ho capito bene, quello che posso fare è usare un sistema di righelli e orologi che non riempie tutto lo spazio, bensì soltanto il dominio di azione di una carta (ho un atlante di carte che copre tutto lo spazio e faccio un sistema di riferimento diverso per ogni carta). E' così?

E' un sistema di riferimento locale.

Se sì, come li sincronizzo gli orologi, dopo averli piazzati nello spazio...

Scusa se spezzo la domanda in due, la risposta alla prima parte della domanda è tramite il trasporto parallelo dei tuoi vettori dello spazio tangente.

In sintesi: mi puoi far vedere per favore la procedura che devo fare in relatività generale per costruirmi il mio ipotetico strumento di misura? (sto cercando l'analoga procedura di costruzione che saprei già fare in relatività ristretta)

In geometri differenziale, su cui di poggia la Relatività Generale, si fa così:

1) Hai bisogno di conoscere il tensore metrico che descrive quello spazio.
Mentre negli spazi piatti, in ciascun punto lo spazio tangente è sempre lo stesso ( in realtà ogni punto ha il suo, ma è semrpe uguale ) qui lo spazio tangente è una funzione del punto ( dell' evento ).
Il tensore metrico si costruisce facendo il prodotto scalare tra i vettori dello spazio tangente, che essendo una funzione del punto nello spazio, determina un campo, un campo tensoriale.

2) Si studia come varia da punto a punto lungo direzioni tra loro ortogonali il tensore metrico, e si trovano i cosiddetti coefficienti di connessione affine, i simboli di Christoffel.

3) SI prende una generica curva che collega due eventi ed il suo vettore tangente e si derivano i vettori t' ed x' di prima lungo questa curva. La derivata che si usa qui è la derivata covariante che composta da due addendi, il primo è l'accelerazione dei vettori in questione, il secondo è una funzione lineare dei simboli di Cristoffel quindi tiene conto della geometria dello spazio.

Se la derivata covariante è diversa da zero, significa che stai seguendo una curva che non trasporta parallelamente t' ed x' ( non stai seguendo una geodetica ) altrimenti si.
Quindi si fa una bella cosa, si impone che la derivata covariante sia uguale a 0 e si trova un sistema di equazioni differenziali che uguagliano l'accelerazione di t' ed x' lungo la curva ed i coefficienti della connessione affine a meno del segno.

Risolto il sistema di equazione differenziali, trovata la funzione che descrive la geodetica che collega i due eventi.

La geodetica è quella che ti permette i trasportare il tuo sistema di riferimento da O a P.
In P potresti scoprire che valutando la lunghezza dei vettoti t' ed x', questi non sono lunghi uguali a come lo erano in O ( cosa che invece non avviene negli spazi piatti perché il tensore metrico è uguale in ogni punto).

Il ragionamento è del tutto simile a quello fatto prima per lo spazio piatto, solo che là si potevano prendere scorciatoie che negli spazi curvi non sono evidenti.

...se all'interno dei punti coperti dalla generica carta ci possono stare comunque delle masse che li fanno de-sincronizzare?

Qui entra in scena Einstein, che ha detto:

Ma se ci fosse correlazione tra la geometria dello spazio-tempo e come sono distribuite e si muovono la materia e l'energia?

Mettiamo tutte le informazioni sulla geometria in una certa funzione G e tutta l'informazione sull'energia e la quantità di moto in una funzione T, e facciamo in modo che una determini quell'altra tramite una costante, quindi G = k T

Ora T è più facile da determinare di G e sarebbe troppo bello se in G comparisse direttamente il tensore metrico di cui sopra.

Studiando la divergenza del tensore T, si scopre che l'unico tensore G che abbia le stesse caratteristiche è una somma di tensori che sono intimamente correlati con la geometria, in cui il protagonista è il tensore di Ricci.

Tensore di Ricci che è la contrazione del tensore di Riemann.
Tensore di Riemann che è funzione dei coefficienti di connessione affine.
Coefficienti di connessione affine sono funzioni del tensore metrico.

Una tonnellata di equazioni differenziali!

Per geometrie semplici si possono trovare soluzioni analitiche, ma in generale ce le possiamo sognare e dobbiamo accontentarci di integrare le funzioni con metodi numerici.

Quindi la risposta alla seconda parte dell'ultima domanda è:

Le masse non fanno de sincronizzare niente, come si muovono le masse e l'energia determina la geometria dello spazio-tempo e la geometria dello spazio tempo determina come si muovono le masse e l'energia.

Hai tutte le informazioni per valutare in ogni evento il tensore metrico, i coefficienti di connessione affine, scegliere una geodetica generica o quella che collega due eventi ecc..

Puoi trasportare parallelamente a sè stesso il tuo sistema di riferimento da un punto qualunque ad un altro punto qualunque dello spazio-tempo e valutare la lunghezza dei vettori t' e x' in ogni punto tramite il tensore metrico.

Questo in generale, perché in alcuni eventi la funzione che determina il tensore metrico può non essere definita.
Questi punti sono detti singolarità, e qui saltano fuori buchi neri, buchi bianchi, wormhole ecc...

Scusa per la risposta un po' lunghetta ma non sono riuscito a fare di meglio, spero che PietroBaima intervenga a sistemare le mie inesattezze.

[Ianero]

Purtroppo non ti seguo, risposta troppo difficile.
Ti ringrazio per aver speso tempo a comporla, si vede che c'è lavoro dietro, ma purtroppo non la capisco.

Riuscirei ad afferrare soltanto una cosa più intuitiva di quella, forse.

[EcoTan]

Scegli 3 assi ortogonali X,Y,Z. Questi determinano 3 piani XY, YZ, ZX. Prendi un punto P qualsiasi dello spazio e da questo raggiungi i detti 3 piani seguendo le 3 traiettorie più brevi. Sposta un metro campione lungo queste 3 traiettorie e vedi quante volte vi è contenuto. Così avrai 3 coordinate del punto P. Ti dice qualcosa il fatto che queste 3 traiettorie, uscendo dal punto P, non formano 3 angoli eguali?
Voglio dire che il sistema di riferimento si può rendere concreto, col procedimento indicato o genericamente con qualsiasi altro procedimento, ma poi bisogna sempre fare i conti con la curvatura dello spazio (ha poi senso parlare di angoli "eguali"? E attenzione ai termini "asse" e "piano"). Dopotutto il tensore metrico rappresenta una bella semplificazione, che punta all'essenziale cioè alla distanza fra due punti.

[PietroBaima]

La sincronizzazione degli orologi (e delle lunghezze dei righelli, che è lo stesso problema) è stato un vero e proprio cruccio per Einstein.
Oggi è stato capito e formalizzato, ma capisco sia ostico da comprendere.
Non puoi capirlo intuitivamente, perché non sono fenomeni che abbiamo tutti i giorni sotto gli occhi, per cui sono cose che possiamo capire solo sotto l'approccio matematico.
Se vuoi renderti intuitive queste cose devi rafforzare la matematica che possiedi, non la relatività.

Un grande professore che ho avuto diceva che la matematica non è utile, ma è indispensabile, perché è lo strumento di pensiero del fisico.
Ci ho impiegato molto tempo per capire cosa significasse davvero quella frase.