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Salve, avrei da porre alcune questioni teoriche che mi hanno lasciato dubbioso nello studio dei circuiti e che non sono riuscito a risolvere né attraverso lo studio più approfondito del mio libro di testo né attraverso ricerche sul web.

Le elenco qui di seguito:

- le leggi di kirchoff sono una conseguenza della legge della conservazione della carica: perché valgono in condizioni di funzionamento non stazionarie né lentamente variabili? come fa nelle LKT, ad esempio, ad essere nulla la derivata del flusso concatenato con la linea percorsa dalle tensioni se un circuito non è in regime stazionario?

- la relazione p (t) = v(t) i(t)

è verificata esattamente solamente in condizioni stazionarie ed è verificata approssimativamente in condizioni lentamente variabili. perché allora in condizioni stazionarie non si ha $p(t) = \frac{dW}{dt} = 0$ né $i(t) = \frac{dq}{dt} = 0$ ?

- in un bipolo strettamente passivo l'intensità di corrente ha sempre lo stesso segno della tensione e viceversa? il resistore si può definire strettamente passivo?

- in cosa consiste esattamente una caduta di tensione in un generatore reale in cui $E_{0} > 0$ e i>0

e come mai si verifica?

- in un circuito RLC passivo le cui frequenze naturali siano complesse coniugate
( $\lambda_{\pm} = - \sigma \pm j\sqrt{\omega^{2}_{r} - \sigma^{2}} = - \sigma \pm j\omega_{d}$ )
il transitorio può essere sia $e^{\sigma t} (A\cos{\omega_{d} + B\sin{\omega_{d})$ che $e^{-\sigma t} (A\cos{\omega_{d} + B\sin{\omega_{d})$
il segno vicino a $\sigma$ nell'esponenziale è positivo quando il circuito è in evoluzione forzata e negativo quando è in evoluzione libera, giusto? ma come si arriva a quel segno, dal punto di vista matematico e non solo teorico?

inoltre con quale criterio si scelgono i segni di $\sigma$ e $\omega$ , coefficienti rispettivamente di A e B nella seconda condizione iniziale dell'equazione differenziale di 2° grado la cui incognita è la tensione del condensatore?
in particolare, se il segno di $\sigma$ dipende dall'esponenziale che vado a derivare, in quale caso si può avere un termine $- \omega B$ , escluso naturalmente quello in cui si cambiano tutti i segni all'equazione che al primo membro ha $-\sigma A + \omega B$ ?

Mi affido alla vostra bontà.. anche se è domenica :P Grazie in anticipo!

sPaCeMaN ha scritto:- in un circuito RLC passivo le cui frequenze naturali siano complesse coniugate
( $\lambda_{\pm} = - \sigma \pm j\sqrt{\omega^{2}_{r} - \sigma^{2}} = - \sigma \pm j\omega_{d}$ )
il transitorio può essere sia $e^{\sigma t} (A\cos{\omega_{d} + B\sin{\omega_{d})$ che $e^{-\sigma t} (A\cos{\omega_{d} + B\sin{\omega_{d})$
il segno vicino a $\sigma$ nell'esponenziale è positivo quando il circuito è in evoluzione forzata e negativo quando è in evoluzione libera, giusto? ma come si arriva a quel segno, dal punto di vista matematico e non solo teorico?
[/tex] ?

Mi affido alla vostra bontà.. anche se è domenica Grazie in anticipo!

Rispondo solo all'ultima parte.
Il segno di $\sigma$ in un circuito STABILE è sempre negativo, indipendentemente se forzato o ad evoluzione libera.
E poi per quanto riguarda il segno, l'hai scritto anche tu che

$\lambda_{\pm} = - \sigma \pm j\sqrt{\omega^{2}_{r} - \sigma^{2}} = - \sigma \pm j\omega_{d}$

il meno si ottiene applicando la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado, che ovviamente dipende dal segno del coefficiente dell'equazione differenziale caratteristica del circuito.
Per il circuito RLC serie o parallelo $\sigma$ (che è anche detto coefficiente di smorzamento) è pari sempre a $\frac{R}{2L}$ quindi l'esponente sarà sempre negativo.
Ma lo stesso lo ottieni anche da altri circuiti del genere, tranne il caso in cui nel circuito siano presenti elementi elettronici attivi che possono comportare una instabilità del circuito, ma in tutti gli altri casi è sempre negativo.

Per il segno di $\omega_{d}$ scusami è, ma sei tu che scrivi:

$\lambda_{1,2} = - \sigma \pm j\omega_{d}$

basta sostituire nell'equazione

$i(t) = A\,e^{{\lambda_1}t} + B\,e^{{\lambda_2}t}$

i coefficienti $\lambda1$ e $\lambda2$ con $\lambda_{1,2} = - \sigma \pm j\omega_{d}$ ...e facendo quattro passaggi algebrici ti ottieni l'espressione che hai scritto:

$e^{-\sigma t} (A\cos{\omega_{d} + B\sin{\omega_{d})$

inoltre con quale criterio si scelgono i segni di $\sigma$ e $\omega$ , coefficienti rispettivamente di A e B nella seconda condizione iniziale dell'equazione differenziale di 2° grado la cui incognita è la tensione del condensatore?
in particolare, se il segno di $\sigma$ dipende dall'esponenziale che vado a derivare, in quale caso si può avere un termine $- \omega B$ , escluso naturalmente quello in cui si cambiano tutti i segni all'equazione che al primo membro ha $-\sigma A + \omega B$

Puoi essere un po' più chiaro?

- in un bipolo strettamente passivo l'intensità di corrente ha sempre lo stesso segno della tensione e viceversa? il resistore si può definire strettamente passivo?

Per corrente e tensione con lo stesso segno intendi?
Comunque sì, il resistore è un bipolo strettamente passivo...è condensatore ed induttore che non lo sono.

sPaCeMaN ha scritto:- le leggi di Kirchhoff sono una conseguenza della legge della conservazione della carica: perché valgono in condizioni di funzionamento non stazionarie né lentamente variabili?

Premesso che dovresti rileggere il post prima di spedirlo ... perché con domande del genere, bisogna essere precisi, forse volevi dire "valgono in regime stazionario e quasi-stazionario " ...forse hai letto o scritto male, no?
Noto, ancora una volta, come con queste definizioni ... vi facciano fare una confusione terribile ... :roll:

... come fa nelle LKT, ad esempio, ad essere nulla la derivata del flusso concatenato con la linea percorsa dalle tensioni se un circuito non è in regime stazionario?

Provo a interpretare le tue domande:

a) il regime stazionario si riferisce alla condizione di non dipendenza dal tempo di :campo elettrico, magnetico e densità di carica ------ma ammettendo il movimento di carica :!:

...un vero "paradiso" per gli elettrotecnici
in questa condizione, per l'equazione di continuità, ricavabile dalle eq. di Maxwell
$\nabla \cdot J=0\,\,\,\,\,\to \oint\limits_{S}{J\cdot u_{N}\,dS}=0\,\,\,\,\to \sum\limits_{i}{I_{i}}=0$
in parole povere, se la densità di carica è costante, il flusso della densità di corrente attraverso una qualsiasi superficie chiusa, i nostri "insiemi di taglio" (e al limite i nodi), è pari a zero, KCL dimostrato :!:

e, se il campo magnetico è tempo-invariante, sempre da una delle eq. di Maxwell avremo
$\nabla \times E=0\,\,\,\,\,\to \oint\limits_{l}{E\cdot dl}=0\,\,\,\,\to \sum\limits_{i}{V_{i}}=0$
in parole povere, non ci saranno f.e.m. indotte con nessun " percorso chiuso" ovvero con le nostre "maglie", KVL dimostrato :!:

Risottolineo come nel regime stazionario, le cariche non debbano essere necessariamente ferme :!:

... l'assenza di variazioni temporali, comporta poi che i condensatori possano essere ritenuti circuiti-aperti e gli induttori dei corto-circuiti :!:

b) regime non stazionario : un regime nel quale non possiamo trascurare le derivate temporali e quindi non potendo semplificare le equazioni complete

$\left\{ \begin{align} & \nabla \cdot \left( J+\frac{\partial D}{\partial t} \right)=0 \\ & \nabla \times \left( E+\frac{\partial A}{\partial t} \right)=0 \\ \end{align} \right.$

dobbiamo salutare Kirchhoff O_/

, che in questo caso non sarà più applicabile.
Detta in parole povere, siamo nei guai seri ... qui dobbiamo tenere conto della geometria del circuito, considerare i ritardi di propagazione, lasciare perdere i parametri concentrati ( e quindi ciao bipoli ... isole felici nelle quali supporre confinati i campi variabili) e passare a procedimenti analitico-numerici ai quali non voglio nemmeno pensare, una giungla ... o meglio "un inferno" .

c) regime quasi-stazionario;
veniamo a quel luogo che potremo definire il "purgatorio" elettrico, che sta a metà strada fra i primi due; in questo caso supponiamo che siano verificate le seguenti disuguaglianze

$\left| \frac{\partial D}{\partial t} \right|\ll \left| J \right|\,\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,\nabla \cdot J\approx 0$
$\left| \frac{\partial A}{\partial t} \right|\ll \left| E \right|\,\,\,\,\,\,\to \,\,\,\,\,\nabla \times E\approx 0$

ovvero che le derivate temporali di vettore spostamento D e potenziale vettore A siano trascurabili in alcune regioni del circuito; in questo caso, per lo spazio esterno ai bipoli, possiamo ritenere validi i principi di Kirchhoff, e supporre quindi che la dimensione massima della rete, ovvero il diametro della sfera minima che la contiene, sia molto inferiore alla lunghezza d'onda associata alla frequenza massima considerata ("condizione di Abraham").

Potremo in questo caso parlare di "bipoli elettrici in senso generalizzato" che li fanno diventare delle superfici o gabbie :mrgreen:

... che comunicano verso l'esterno solo e dico SOLO attraverso i due morsetti ...(è ovviamente una approssimazione ... ma che ci risparmia un gran sacco di fatiche ... è quello che si è dovuto supporre nel problema del "paradosso dei due condensatori" ... per poter mantenere una rappresentazione a parametri concentrati .... articolo http://www.electroportal.net/renzodf/wiki/articolo19)

le uniche limitazioni che avremo in questo caso sono:
i) la superficie usata per le KCL non potrà passare fra le armature dei condensatori (dove J=0)
ii) la linea usata per le KVL, non potrà passare all'interno degli induttori (dove E=0)
altrimenti le ultime due relazioni perdono di validità :!:

A questo punto c'e' da dire che quelli che indichiamo come "regime sinusoidale" e "regime transitorio" rientrano nei circuiti in regime quasi-stazionario SOLO SE, le frequenze e le costanti di tempo in gioco permettono di considerare verificate le suddette condizioni.

Quindi, concludendo, anche se non in forma rigorosa, e con i suddetti limiti, le equazioni di Kirchhoff saranno ancora applicabili :!:

In parole povere, se chiudiamo i problemi(x y z) in gabbia (i bipoli) e li guardiamo dall'esterno, non ci facciamo tanto male ... se non ci avviciniamo troppo. :-)

- la relazione è verificata esattamente solamente in condizioni stazionarie ed è verificata approssimativamente in condizioni lentamente variabili. perché allora in condizioni stazionarie non si ha $p(t) = \frac{dW}{dt} = 0$ né $i(t) = \frac{dq}{dt} = 0$ ?

non si capisce la domanda, ma suppongo di averti dato sopra la risposta

- in un bipolo strettamente passivo l'intensità di corrente ha sempre lo stesso segno della tensione e viceversa? il resistore si può definire strettamente passivo?

il viceversa non serviva :!:

...io direi che un resistore ideale è strettamente passivo uno reale semplicemente passivo ... in quanto presenterà sempre una componente conservativa che diventerà strettamente solo per condensatori e induttori ideali ... a scrivere queste cose mi si drizzano i capelli. :-)

in cosa consiste esattamente una caduta di tensione in un generatore reale in cui $E_{0} > 0$ e e come mai si verifica?

la caduta di tensione del generatore reale è dovuta alla sua "impedenza interna" dovuta, per esempio, alla resistenza e alla reattanza interna al generatore (ovvero alla resistenza ohmica ed ai flussi di dispersione ...rispettivamente) nell'alternatore

ma anche a cadute nella soluzione e a f.contro.e.m. di polarizzazione sulle batterie ed accumulatori ... ma il discorso sarebbe lungo.

vedo che al resto della domanda ha, per fortuna, già risposto etec83

Se ho scitto qualcosa di errato ... qualcuno mi avverta.

Inizio a ringraziare etec83 per aver confermato ciò che speravo: quel procedimento per risolvere l'equazione differenziale l'ho letto un po' ovunque e ho trovato un paio di errori di segni sul libro (ennesima sorpresa, come quella dell'altro mio topic sul partitore di corrente). ritiro quindi l'ultimo dubbio sul segno di $\omega$ .

Rispondo a Renzo:
Riguardo le leggi di Kirchhoff (quella seconda "h" era un vero inganno per gli occhi!) , mi scuso per la domanda mal posta (erano le 3 e mezza del mattino, a quell'ora si iniziano a perdere colpi :lol:

) , anche se successivamente ho cercato di portare un esempio che chiarisse meglio il concetto e in effetti la tua risposta chiarisce il mio dubbio (aspetto anche le definizioni di regime quasi-stazionario per una migliore comprensione). Ma questa definizione di regime stazionario non dovrebbe portare a concludere che le leggi di Kirchhoff in regime sinusoidale non valgano? :shock:

Il dubbio sulla caduta di tensione l'ho espresso perché non volevo credere che fosse così ovvio, nel senso che credevo fosse qualcosa di più complesso della ovvia relazione $E_{0} - Ri < E_{0}$ nelle ipotesi $E_{0}>0 , i >0$ .. ma dalle tue parole mi sembra di capire che sia proprio quello il concetto

Grazie mille !!!

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Alcune questioni teoriche irrisolte sui circuiti..

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