ElectroYou

Ciao a tutti,
sto riprendendo in mano gli appunti di elettrotecnica, e stavo riguardando le definizioni e proprietà del campo elettrico coulombiano, che risulta essere un campo conservativo -> il lavoro elettrico specifico lungo una linea dipende esclusivamente da punto iniziale e finale -> e data la conservatività è irrotazionale.
Ho sempre avuto qualche difficoltà nella compresione e nell'utilizzo degli operatori gradiente rotore e divrgenza e vorrei chiarire un aspetto sul rotore, che abbiamo definito in questo modo:
Consideriamo una superficie chiusa S con relativo bordo $\partial S$ orientato.
La circuitazione su questo bordo risulta essere: $\int_{\partila S} \bar v* \bar u_t dl$ dove ut è il versore tangente al bordo. Dividiamo in due questa superficie ->
$\int_{\partila S} \bar v* \bar u_t dl=\int_{\partila S1} \bar v* \bar u_t dl+\int_{\partila S2} \bar v* \bar u_t dl$ . Dividendo S in n superfici otteniamo:
$\int_{\partila S} \bar v* \bar u_t dl=\sum_{i=1}^n \int_{\partila S_i} \bar v* \bar u_t dl$
e dividendo e moltiplicando per Si:
$\int_{\partila S} \bar v* \bar u_t dl=\sum_{i=1}^n (\frac{1}{S_i} \int_{\partila S_i} \bar v* \bar u_t dl)S_i$
ora facendo tendere n ad infinito quindi il massimo di Si tende a 0, viene definito rotore:
$lim_{S_i -> 0} \frac{1}{S_i} (\int_{\partila S_i} \bar v* \bar u_t dl)=rot\bar v *\bar n$
Ecco l'ultimo prodotto scalare non mi è ben chiaro, dovrebbe essere la proiezione del rotore sulla superficie scelta, ma non mi è chiarissimo questo concetto.
Per non parlare di cosa il rotore rappresenti: esso dovrebbe mostrare la tendenza di un campo vettoriale a ruotare o meno attorno ad un punto. Ma dalla definizione non riesco a visualizzare come possa quell'integrale rappresentare la tendenza di un campo vettoriale a ruotare.
Grazie a tutti

Ciao wed, piacere di risentirti

Ti dico subito che i tuoi dubbi, sono molte volte anche i miei, dopo essermi convinto di aver capito il significato di rotore, divergenza e "compagnia bella", basta poco per convincermi che mi ero sbagliato e che devo rivedere le mie convinzioni :mrgreen:

Direi che intanto devi stare ben attento a non rischiare di mescolare, integrali di linea e di superficie ... e per questo, forse è più conveniente che tu scriva

$\int\limits_{L}{\overline{v}}\bullet \overline{u}_{t}dl\,\,\,\,\,anche\,\,\,\,\int\limits_{L}{\overline{v}}\bullet \overline{dl}$

togliendo quella S dal pedice dell'integrale, e un bel $\overline{dl}$ come differenziale togliendo quell' $\overline{u}_{t}$ ,

Io ricordo divergenza e rotore rispettivamente come limiti del rapporto incrementale:

fra flusso e relativo volume
fra circuitazione e relativa superficie

il rotore ha infatti modulo pari al rapporto $\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta C}{\Delta S}$
e orientato come la normale alla S relativa al verso di percorrenza (vite destrogira)

Il prodotto scalare al quale ti riferisci, non dà la proiezione del rotore sulla superficie, ma è bensì un modo per orientare il rotore, visto che il prodotto per il versore $\overline{n}$ , non cambia il modulo ma assegna una direzione .

Per quanto riguarda la vorticosità del campo, direi che basta considerare la rappresentazione in coordinate cartesiane del rotore, che come ben sai è la seguente
$rot\overline{\,v}=\left( \frac{\partial v_{z}}{\partial y}-\frac{\partial v_{y}}{\partial z} \right)\overline{u}_{x}+\left( \frac{\partial v_{x}}{\partial z}-\frac{\partial v_{z}}{\partial x} \right)\overline{u}_{y}+\left( \frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y} \right)\overline{u}_{z}$

e notare come, se ho un campo C(x,y,z) con componenti orientare nel solo piano xy, in un modo vorticoso, come la famosa
$C(x,y,z)=y\overline{u}_{x}-x\overline{u}_{y}$

Tracciamolo con Scilab, tanto per fare esercizio :wink:

x=[-1:0.1:1];y=x;u=ones(x);
fx=y.*.u';fy=u.*.x'*(-1);
champ(x,y,fx,fy)

: cp1.png (4.51 KiB) Osservato 12670 volte

il rotore, non avrà componenti in x e y ma solo in z, che sarà tanto più intensa, quanto più l'integrale di linea sarà grande, e cioè tanto più quanto "gira il tifone", se immagini il piano xy con x a destra e y verso l'alto (come al solito insomma) e "giriamo la minestra" in verso orario (come al solito :mrgreen:

) il rotore sarà orientato verso -z, cioè verso "il fondo della pentola" ...
In definitiva, il rotore quindi misura le tendenza di un campo vettoriale a ruotare, il vettore rotore punta lungo l'asse di rotazione del campo con verso dato dalla regola vite destrogira e il suo modulo misura sua intensità della rotazione .

se infatti facciamo il calcolo della componenti del rotore suddetto troveremo
$rot\overline{\,v}=0\overline{u}_{x}+0\overline{u}_{y}-2\overline{u}_{z}=-2\overline{u}_{z}$

Ovviamente se abbiamo un campo
$C(x,y,z)=x\overline{u}_{x}+y\overline{u}_{y}$
rappresentabile con

: cp2.png (3.91 KiB) Osservato 12668 volte

avremo un rotore nullo, e si dirà che il campo è irrotazionale.

E per finire, una situazione intermedia,
$C(x,y,z)=1\overline{u}_{x}+xy\overline{u}_{y}$

: cp3.png (5.47 KiB) Osservato 12658 volte

dove il rotore, non è più costante, ma dipende dalla coordinata y
$rot\overline{\,C}=y\overline{u}_{z}$

Per qualcosa di più interessante ...
http://ancona.ismar.cnr.it/IPO/IPO-12/capitolo12.htm

BTW Grazie1000 per il commento all'articolo, TROPPO Buono :!:

Si si certo ho dimenticato il \partial in Latex davanti all'S. Ora rivedo bene quello che mi hai scritto sulla vorticosità e il link che mi hai postato, intanto grazie mille

E'vero il versore ha modulo unitario quindi è solo per direzionarlo
Penso che di iscritti al club ce ne sarebbero parecchi :lol:

Come al solito tutto molto chiaro nella tua spiegazione Renzo, grazie mille

Ho visto adesso le immagini che hai inserito, che aiutano molto in queste circostanze, grazie mille ancora

Prego wed,

per qualcosa di tridimensionale dai un occhio a questo link

http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/divcurl/

Molto interessante anche il link che mi hai postato, ma i tuoi esempi, sono tre esempi di situazioni diverse che chiariscono molto bene l'idea di rotore

Scusate la domanda che probabilemente sarà banale, ma non riesco bene a capire una cosa: prendendo in considerazione il campo elettrico coulombiano, esso è un campo conservativo in quanto il lavoro specifico svolto lungo un percorso dal campo stesso dipende solo dagli estremi del percorso. Se un campo è conservativo è sempre irrotazionale. Ma prendiamo in considerazione due cariche puntiformi opposte: le linee di campo partono dalla carica positiva e si chiudono sulla carica negativa. E spostandoci dalla retta che unisce le due cariche le linee di campo sono sempre più curve. La domanda è: perché è irrotazionale?? perché queste linee sono si curve, ma non in modo vorticoso???
Grazie

Basterebbe ricordare la definizione di rotore che abbiamo visto nei precedenti post; se la circuitazione vale zero, questo implica che anche il rotore valga zero.
Il trucco caro wed, è che quelle linee di forza, non continuano "a girare", ma vanno a cominciare/finire ... dalle/sulle due cariche , e "non tornano indietro" :!:

Trovando la rappresentazione del campo o in coordinate cartesiane sarebbe facile provarlo.

Consapevole che una dimostrazione "a parole", non ha un gran valore, per tutti e due :mrgreen:

passiamo a quella algebrica, ricavando le componenti del campo prodotto dal dipolo elettrico; le due cariche positiva e negativa, di uguale valore assoluto $Q=4\pi \varepsilon _{0}\,C$ , si suppongono situate rispettivamente sui punti (p,0) e (-p,0).

$\begin{align} & \overline{E}=\left( \frac{x-p}{\left( y^{2}+\left( x-p \right)^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{x+p}{\left( y^{2}+\left( x+p \right)^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \right)\overline{u}_{x} \\ & +\left( \frac{y}{\left( y^{2}+\left( x-p \right)^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{y}{\left( y^{2}+\left( x+p \right)^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \right)\overline{u}_{x} \\ \end{align}$

in Scilab, per avere una rappresentazione "utile" dobbiamo passare dal vettore campo elettrico al versore relativo
(in quanto l'intensità del campo, in prossimità delle cariche porterebbe a rendere illeggibile la rappresentazione),
la rappresentazione sarà quindi relativa solo alla sua direzione e verso.

Lo tracciamo con uno script del tipo:

Codice: Seleziona tutto: // --- Campo elettrico bipolo------ x=[-10.5:1:10.5];y=x;n=22;p=5; fx=zeros(n,n);fy=zeros(n,n); for i = 1:n xx=-10.5+ (i-1); for j = 1:n yy=-10.5+(j-1); cx = ((xx-p)/(sqrt((xx-p)^2+yy^2))^3 -(xx+p)/(sqrt((xx+p)^2+yy^2))^3) ; cy = ((yy)/(sqrt((xx-p)^2+yy^2))^3 -(yy)/(sqrt((xx+p)^2+yy^2))^3 ) ; mod= sqrt(cx^2+cy^2); fx(i,j)= cx/mod ; fy(i,j)= cy/mod ; end end champ(x,y,fx,fy,1) //----------------------------------------------%

ottenendo

: bip.png (7.86 KiB) Osservato 8357 volte

Ricaviamo ora il rotore, limitandoci ovviamente alla sola componente lungo l'asse z

$rot(\overline{E})=\left( \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y} \right)\overline{u}_{z}$

e, facciamoci aiutare da wxMaxima per la derivazione parziale :wink:

: bip_rot.png (11.77 KiB) Osservato 8357 volte

========================================= E D I T ==============================================
Il rotore può essere calcolato anche direttamente da wxMaxima

se vogliamo considerare il campo elettrico F nelle 3 dimensioni potremo, ponendo le due cariche sull'asse z con p=1, scrivere le tre componenti come indicato il figura

: vect2.png (106.51 KiB) Osservato 8220 volte

e usare direttamente la funzione curl(F) dopo aver caricato il "pakage" per il calcolo vettoriale ("vect").

Possiamo anche rappresentare il Campo Elettrico in 3D attraverso Sage-(versione-online);
http://www.sagenb.org/home/pub/714/
(X le opzioni di visualizzazione click con destro_mouse sulla rappresentazione 3D ...
BTW copiando la definizione def plot_vector_field3d in un nuovo Worksheet di Sage e modificando le componenti, può essere rappresentato un qualsiasi campo vettoriale ... ovviamente prima bisogna registrarsi) :wink:

Come vedi wed, siamo proprio in presenza di un campo non vorticoso, puoi vederlo come se, l'acqua uscente "dal rubinetto" (la carica positiva), entrasse nello scarico (la carica negativa) senza "vorticare" ... sulla terra per avere un simile effetto, bisogna però avere "il bagno" all'equatore :!:

ElectroYou

Chiarimenti sul rotore

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