ElectroYou

Ciao a tutti,
vorrei esporre in modo migliore le solite considerazioni sulle equazioni di Poisson e Laplace, e mi piacerebbe avere il parere di qualcuno.
Incominciamo dall'equazione di Poisson: $\nabla ^2 V=\frac{1}{\gamma} \frac{\partial \rho_c}{\partial t}$ . Per ipotesi supponiamo il termine noto trascurabile, ovvero ci interesseremo del caso: $\nabla ^2 V=0$ , detta equazione di Laplace, la cui soluzione è detta funzione armonica, particolari funzioni che assumono i loro massimi e minimi sulla frontiera del dominio.
Per la ricerca della soluzione di quest'equazione, si utilizzano le cosiddette condizioni al contorno. A seconda di come queste condizioni vengono poste, ne nascono tre problemi:
- Problema di Dirichlet, si basa, fissato il contorno $\partial \tau$ , sul porre il valore della funzione in ogni punto del contorno stesso; ovvero si impone V(p) per ogni p appartenente alla frontiera $\partial \tau$ , la soluzione risulta essere unica;
- Problema di Neumann, si basa sul porre la derivata rispetto alla normale della funzione, ovvero:
$\frac{\partial V}{\partial \bar n}$ per ogni p appartenente a $\partial \tau$ ; la soluzione è determinata a meno di una costante;
- Problema misto, si basa sul suddividere la frontiera in più parti, e per ciascuna parte si ricorre o al problema di Dirichlet, oppure al problema di Neumann; anche in questo caso la soluzione è unica.
Consideriamo i primi due problemi. Le condizioni possono essere poste nei seguenti modi:
- pongo V(p);
- pongo la derivata di V(p) rispetto al versore normale alla frontiera, ovvero: $\frac{\partial V}{\partial \bar n}=- \bar E_c* \bar n=- \rho \bar J * \bar n=-\rho J_n$ , ovvero viene imposta la densità di corrente in direzione normale alla forntiera.
Consideriamo ora un conduttore "massiccio" che curva. Supponiamo di conoscere l'entità del resto del circuito. Il volume d'aria che circonda il filo è isolante, quindi la componente di J normale alla superficie del conduttore è nulla (problema di Neumann).
Il fatto di essere in regime stazionario (inzialmente il termine noto è stato posto nullo), potrebbe portare a pensare che in tutto il dominio debba essere considerata l'equazione di Laplace. In realtà un campo come quello di corrente non può essere Laplaciano ovunque, lo sarebbe solo se fosse ovunque nullo (bisogna ricordare che si sta considerando solamente una parte di spazio che non contiene generatori, che sono coloro i "responsabili" di un campo di corrente).
Consideriamo una seconda equazione di Poisson: $\nabla ^2 V=-\frac{\rho_c}{\epsilon}$ .
Ora l'assunzione di regime stazionario non porta al quasi annullamento del termine noto. Quindi, essendo un'equazione differenziale lineare di secondo grado, la soluzione sarà composta da una soluzione omogenea (ci riconduciamo all'equazione di Laplace), e una particolare (che deriva dal particolare dominio che si prende in considerazione). Il metodo risolutivo generalemente consiste nel ricavare la soluzione particolare (che solitamente non soddisfa le condizioni al contorno), e poi il risultato va corretto tramite la soluzione omogenea.
Consideriamo il solito problema: una regione di spazio $\tau$ , nella quale sia nota la distribuzione di carica, sia il materiale uniforme, e sia possibile al suo interno misurare il potenziale per ogni punto V(p). Si supponga inoltre esternamente a questa regione di avere una distribuzione di carica, che non è nota per chi è in $\tau$ .
Come detto partiamo dalla soluzione particolare, che sarà proprio il valore di V(p) che si trova senza considerare la disribuzione esterna (in quanto non riusciamo a vederla), quindi:
$V_i=\int_{\tau} \frac{\rho_c(p_i)}{4 \pi \epsilon r} d\tau$ .
Prendiamo uno strumento con il quale sia possibile all'interno del nostro spazio fare le misurazioni del potenziale. La misura fornita dallo strumento sarà sicuramente diversa rispetto al nostro calcolo, proprio per il contributo della distribuzione esterna.
Andiamo ora ad aggiustare la soluzione tramite la soluzione omogenea.
Cosideriamo il dominio esterno al nostro $\tau$ , chiamiamolo $\tau_e$ , che contiene la distribuzione "misteriosa". Questa distribuzione genererà un suo campo elettrico coulombiano $\bar E_c_e$ e il potenziale sarà:
$V_{(p)_e}=\int_{\tau_e}\frac{\rho_c}{4 \pi \epsilon r}d\tau$ . Dall'esterno, notiamo che la divergenza del vettore induzione $\bar D_e$ è nulla, in quanto sto considerando la distribuzione esterna, allora posso scrivere:
$div \bar D_e=0$ ed utilizzando l'equazione costitutiva del campo elettrico coulombiano $div(\epsilon \bar E_c_e)=0$ in $\tau$ e quindi V_e

soddisfa l'equazione di Laplace, ovvero è laplaciano in $\tau$ , in quanto $\nabla ^2 V_e=0$ .
Queste componenti laplaciano nel nostro spazio, esistono in quanto:
- $\tau$ è una zona di spazio limitato, quindi ci potranno sicuramente essere dei contributi esterni, ovvero le sorgenti sono esterne, siccome $\rho_{c_e}=0$ nel dominio.
In conclusione, poniamo le condizioni al contorno: questo viene fatto imponendo sul contorno la differenza del potenziale misurato V(p) e quello calcolato all'interno $V_{(P)_i}$ , in modo da aggiungere il contributo della distribuzione esterna. Stiamo quindi utilizzando il problema di Dirichlet: $V_{\partial \tau}=V_{(p)}-V_{(p)_i}=V_{(p)_e}$ .
E' più chiaro dell'altra volta?
Grazie

Wed_17 ha scritto:E' più chiaro dell'altra volta?

E' l'unica domanda che ho capito (ammesso che ce ne sia qualche altra). Ma non so rispondere nemmeno a questa perché non so quale sia l'altra volta.Certo che se tu ritieni che questa nuova versione sia più chiara, non oso proprio affrontare l'altra.
Mi auguro che tu abbia capito quanto hai voluto dire. Non ho elementi per metterlo in dubbio: anzi. Ma Wed, questo è' un forum di Elettrotecnica di una piccola Italia, non è il MIT e nemmeno una sua costola...
C'è Renzo comunque...Staremo a vedere :roll:

Ciao admin,
avevo già fatto un post simile sull'argomento perché risultava essermi un argomento poco chiaro, e ho riordinato un pochino le idee, visto appunti di altre persone, e qualche dubbio me lo sono chiarito, volevo chiedere se tutto ciò che ho scritto sopra abbia senso :lol:

Vediamo cosa dice Renzo :mrgreen:

Dall'esterno, notiamo che la divergenza del vettore induzione \bar D_e è nulla, in quanto sto considerando la distribuzione esterna

Intendeva dire dall'interno. All'interno della mia regione tau il vettore spostamento elettrico dovuto alle cariche esterne è solenoidale, proprio perche generato da sorgenti che non risiedono in tau. E' un vettore laplaciano in tau, perche le sorgenti stanno fuori tau.

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Equazioni di Poisson e Laplace

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