ElectroYou

Ciao a tutti!
Sto studiando elettrotecnica e ancora ho un bel po' di problemi..

In particolare sto impazzendo per risolvere questo esercizio:
Immagine

Ho provato a risolverlo con il "metodo sistematico" come consiglia il mio libro, che consiste nelle seguenti fasi:
-determinare la corrente prima della chiusura dell'interruttore: $iL(+\infty)=1A$
-determinare la corrente dopo $iL(+\infty)=7.5A$
-resistenza "vista" dall'induttanza Req=18/13
-costante di tempo $\tau=L/R=13/9$
-sostituire gli questi elementi alla formula: $iL(t)=[iL(0-)-iL(+\infty)]e^{-t/\tau}+iL(\infty)$
(nel mio caso quindi: $iL(t)=-6.5e^{-9t/13}+7.5$ )

Adesso per trovare la corrente i(t) richiesta, considerando che quando l'interruttore si chiude la resistenza da 9 Ohm viene cortocircuitata, calcolo la tensione ai capi dell'induttanza (come derivata della iL(t) moltiplicata per L/R)
ottenendo $vL(t)=-6.5e^{-9t/13}$ e infine, essendo quest'ultima direttamente applicata ai capi della resistenza da
4.5 Ohm calcolo i(t) come $vL(t)/4.5=1.44e^{-9t/13}+7.5$ .

Ma evidentemente non va bene.. cosa sbaglio??

La fai complicata

Il sistema piu` semplice credo sia di considerare che in una rete con una sola costante di tempo, in seguito a una variazione di quel tipo, tutte le tensioni e correnti si muovono come esponenziali. Puoi quindi scrivere direttamente l'espressione della corrente i1(t) facendo pero` attenzione al fatto che la corrente i1 non e` una variabile di stato e quindi, a differenza della corrente nell'induttore, puo` avere delle discontinuita` (salti).

Devi quindi cercare la corrente i1(0+) la corrente i1(inf) e scrivi direttamente l'esponenziale. Quando passi da i1(0-) a i1(0+) la corrente nell'induttore ha sempre lo stesso valore, 1A. Il circuito equivalente per calcolare i1(0+) e` sotto a sinistra, mentre quello per calcolare i1(inf) e` a destra. Si vede immediatamente che i1(inf)=0A mentre i1(0+) viene 2A.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dato che chiedevi dove fosse l'errore, rispondo anche a quello.

supergiox ha scritto:ottenendo $vL(t)=-6.5e^{-9t/13}$ e infine, essendo quest'ultima direttamente applicata ai capi della resistenza da 4.5 Ohm calcolo i(t) come $vL(t)/4.5=1.44e^{-9t/13}+7.5$ .

Quanto fa la derivata di $i_L(t)=-6.5\,\text{A}\cdot\text{e}^{-\frac{9}{13\,\text{s}}t}+7.5\,\text{A}$ ?

E nel risultato, dopo aver diviso per 4.5 ohm, come fa a saltare di nuovo fuori una costante?

Ciao e grazie mille per la risposta

Finalmente ho capito dove sbagliavo..
La derivata era giusta ma ho scritto un termine noto in più su tex

quello che sbagliavo è che non dovevo moltiplicarla per L/R ma soltanto per L!

Invece se non ho capito male, mi suggerisci di utilizzare il mio metodo non sulla iL ma direttamente sulla corrente interessata?

A me sembrava che la derivata fosse sbagliata perche' non moltiplicavi per la derivata dell'esponente, ma non avendo visto tutti i passaggi puo` darsi che fosse giusta. Forse hai moltiplicato per la costante di tempo, al posto di moltiplicare solo per L e dividere per 4.5 ohm.

Io l'avrei fatto come ho indicato. Tutte le correnti e tensioni nel circuito si muovono come esponenziali che vanno a zero, partendo da un valore iniziale e tenendo al valore finale. Bisogna solo trovare i due valori, tenendo conto che bisogna considerare il valore all'istante 0+, perche' non essendo variabili di stato possono avere delle discontinuita`.

In questo caso particolare, alla chiusura dell'interruttore il ramo di destra continua ad assorbire la stessa corrente che assorbiva prima della chiusura e quindi i(0+) = i(0-), mentre i(t) scende a zero per un tempo infinito (a causa del cortocircuito dell'induttore).

Come sottolineava Isidoro la costante di tempo è unica per tutti gli andamenti transitori, e quindi, trovata
$\tau =\frac{13}{9}\,\text{s}$
si poteva immediatamente scrivere anche la corrente i(t) come

$i(t)=[i(0+)-i(\infty )]\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}-i(\infty )=[2-0]\cdot e^{-\frac{9t}{13}}-0=2e^{-\frac{9t}{13}}$

Grazie ancora a entrambi per la disponibilità!
Si, sbagliavo perché moltiplicavo per la costante di tempo...

Seguendo i vostri suggerimenti sono riuscito ad andare più velocemente con gli esercizi.. e vorrei chiedere un'altra cosa:
come mi comporto nel caso di 2 interruttori che si aprono in istanti diversi?

Ripensandoci forse è meglio che vi faccio vedere il caso particolare:
Immagine

Sul libro non ho visto niente di simile e ho fatto alcuni ragionamenti.. Secondo me bisogna confrontare il tempo al quale si apre il secondo interruttore con la costante di tempo, per capire se il condensatore risulta carico o meno.
Ma la costante di tempo come la trovo? considerando chiuso solo il primo interruttore? in questo modo verrebbe 18ms che è lo stesso tempo che passa prima che si apra il secondo interruttore.

Sono fuori strada?

In pratica devi risolvere due esercizi: il primo con la prima chiusura e il secondo con la seconda chiusura.
E' chiaro che la seconda evoluzione la calcolerai in base ai valori raggiunti dalla prima dopo 18ms.

ovvero
1) prima chiusura

$\begin{align} & v(0+)=v(0-)=9\,V \\ & \tau _{1}=R_{eq1}C=18\,\,ms \\ \end{align}$

$v_{C}(t)=v(0+)e^{-\frac{t}{\tau _{1}}}=9e^{-\frac{500t}{9}}$

(valida per 0<t< 18 ms)
--------------------------------------------------------------------------------------------
2) seconda chiusura dopo

$t_{0}=18\,ms$

calcolo la tensione ai capi del condensatore che rappresentera' il nuovo valore iniziale

$v(t_{0})=9e^{-\frac{500}{9}\times \frac{18}{1000}}=9e^{-1}$

e la uso come al solito per scrivere la seconda evoluzione

$\tau _{2}=R_{eq2}C=10\,ms$

$v(t)=v(t_{0})e^{-\frac{(t-t_{0})}{\tau _{2}}}=9e^{-1-100(t-\frac{18}{1000})}=9e^{0.8-100t}$

(valida per t > 18 ms)

Perfetto! Ho provato a svolgerlo seguendo solo il suggerimento e mi sono fermato all'ultima fase perché non so capisco la teoria che sta dietro a $e^{-(t-t0)/\tau2}$
Ma è solo una mia curiosità, perché di fatto il risultato è giustissimo!

ElectroYou

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