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Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Circuiti, campi elettromagnetici e teoria delle linee di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica

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[11] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto Utentescleruccio » 24 giu 2011, 7:30

grazie per l'aiuto e giuro che cercherò di perfezionare l'inserimento di immagini.
Allora io ho seguito questo procedimento:
a) calcolo le condizioni iniziali su condensatori e induttori, disattivando prima il generatore di tensione e poi quello di corrente;
b) calcolo la corrente che circola nel ramo nell'interruttore;
c)dopo l'apertura dell'interruttore, sostituisco a quel ramo un generatore di corrente, con verso della stessa opposto a quello trovato prima dell'apertura;
d) ora trovo le condizioni a regime permanente con tutti i generatori indipendenti e di condizioni iniziali disattivati, tranne quello di corrente appena inserito;
e) trovate le condizioni permanenti, trovo le condizioni transitorie e poi ridisegno il circuito con solo i generatori di condizioni transitorie.
la mia domanda è: il generatore di corrente sostituito al ramo con il tasto devo disattivarlo??? mi servirebbe solo capire come disegnare il circuito.
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[12] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 24 giu 2011, 9:00

scleruccio ha scritto:grazie per l'aiuto e giuro che cercherò di perfezionare l'inserimento di immagini.

come hai visto sarebbero da perfezionare anche le formule ;-)

scleruccio ha scritto:a) calcolo le condizioni iniziali su condensatori e induttori, disattivando prima il generatore di tensione e poi quello di corrente;

Ok ma si puo' fare tutto insieme senza disattivare nulla, ricorda che c'e' un generatore di corrente in serie alla sottorete di destra (R||XC)
scleruccio ha scritto:b) calcolo la corrente che circola nel ramo nell'interruttore;
c)dopo l'apertura dell'interruttore, sostituisco a quel ramo un generatore di corrente, con verso della stessa opposto a quello trovato prima dell'apertura;

scusa ma questa non l'ho capita, perche' poi dobbiamo andare ad aggiungere un generatore? ... non ne abbiamo gia' abbastanza? :-)

scleruccio ha scritto:e) trovate le condizioni permanenti, trovo le condizioni transitorie e poi ridisegno il circuito con solo i generatori di condizioni transitorie.

... devi usare Laplace per forza o e' una tua scelta?

Io farei in questo modo.
Dopo il calcolo delle condizioni iniziali in L e C del ramo di sinistra, che e' un calcolo immediato grazie alla semplificazione introdotta dall'interruttore chiuso e dalla risonanza serie, io aprirei l'interruttore e mi ritroverei un bel circuito semplice semplice con tre rami due nodi e due maglie, delle quali solo quella di sinistra "effettiva" per la presenza del generatore di corrente a destra.
Una semplice KCL e una KVL mi permetterebbero infine di ottenere l'equazione differenziale risolutiva; vedrei conveniente scriverla relativamente alla corrente i(t) nel ramo (L+C).

Che ne pensi?
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[13] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto Utentescleruccio » 24 giu 2011, 16:36

purtroppo dovrei usare Laplace per determinare l'eventuale risposta transitoria, oltre a quella di regime. utilizzare Laplace completo porta a numerosi calcoli e a perdita di tempo "inutile".

vorrei tanto avere sapere chi è quel genio che ha ridotto il corso di elettrotecnica a solo un semestre =P
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[14] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 24 giu 2011, 17:19

scleruccio ha scritto:purtroppo dovrei usare Laplace per determinare l'eventuale risposta transitoria, oltre a quella di regime. utilizzare Laplace completo porta a numerosi calcoli e a perdita di tempo "inutile".


Laplace va ugualmente bene, il discorso non cambia ... ma ti confesso che mi aspettavo una risposta piu' "articolata" sul metodo risolutivo che ti ho proposto :?
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[15] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto Utentescleruccio » 25 giu 2011, 9:09

la tua risposta va bene, anzi benissimo!! quel procedimento l'avrei usato anche io solo che dovrei risolvere questi benedetti esercizi con Laplace e con uno dei metodi che ci sono stati spiegati a lezione, ma siccome la spiegazione di tutto è durata 10 giorni non afferrato qualche concetto e mi chiedevo se qualche anima pia potesse aiutarmi. Ah! mi chiedevo alla fine vorresti risolvere l'equazione differenziale direttamente nel dominio del tempo, giusto???
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[16] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 giu 2011, 9:35

scleruccio ha scritto:Ah! mi chiedevo alla fine vorresti risolvere l'equazione differenziale direttamente nel dominio del tempo, giusto???

Q.E.D. :?

Dicevo che io avrei risolto cosi', se non fosse imposto Laplace, ma come ti ho gia' scritto Laplace va ugualmente bene ed i (miei) " passi" risolutivi rimangono quelli che ti ho descritto l'unica differenza sara' avere le condizioni iniziali gia' conglobate nella KVL (grazie ai generatori rappresentativi delle condizioni iniziali su L e su C) ... ma ancora una volta, non mi hai detto se concordi con la mia sequenza metodologica oppure vuoi seguire la tua; in ogni caso se posti un primo passo lo controlliamo.

Partiamo dalle condizioni iniziali ?

... aspetto sviluppi ...
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[17] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 giu 2011, 20:39

Visto che con LTspice e' piu' facile, posto per iniziare la soluzione numerica

2011-06-25_202942.gif
2011-06-25_202942.gif (8.43 KiB) Osservato 1141 volte

2011-06-25_203038.gif
2011-06-25_203038.gif (5.49 KiB) Osservato 1141 volte


ora aspettiamo la soluzione analitica di Foto Utentescleruccio :!:
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[18] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazione)

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 26 giu 2011, 17:38

Stavolta sono proprio partito in retromarcia, e visto che ero fuori esercizio ho provato una simulazione con l'incrediBBile VisSim :ok:

Il risultato

2011-06-26_174602.gif
2011-06-26_174602.gif (42.01 KiB) Osservato 1106 volte

conferma quello ottenuto con LTspice ... per fortuna! :D

Con MAXIMA per Laplace e Equazione differenziale classica.

z1.gif
z1.gif (20.15 KiB) Osservato 1001 volte

z2.gif
z2.gif (15.21 KiB) Osservato 1001 volte

z3.gif
z3.gif (14.34 KiB) Osservato 1000 volte

z4.gif
z4.gif (15.63 KiB) Osservato 1000 volte


si noti come il calcolo numerico porti ad un termine "residuo" non atteso; si tratta comunque di un errore sulla funzione, dell'ordine dei decimi di ppm rispetto al valore Vpp :ok:
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[19] Re: Metodi di risoluzione circuiti con Laplace

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 30 giu 2011, 13:02

1^ Puntata

Visto che Foto Utentescleruccio e' forse gia' partito per le Seichelles, completo la soluzione con un bel

"Start From Scratch", come diciamo qui a SB :D, ovvero dal ridisegnare lo schema con FidoCadJ, dove per praticita' indico solo i valori numerici dei parametri


e, vista la richiesta del testo, anche della sua immediata semplificazione "a destra", scegliendo la corrente i del ramo LC come "elemento risolutivo" fondamentale.


a questo punto cominciamo con il calcolo delle condizioni a regime per t<5ms, con interruttore chiuso l'unica parte della rete da studiare e' quella di sinistra,

visto che la risonanza serie di L e C cortocircuita la resistenza inferiore, potremo scrivere la corrente i e la tensione su C come

\begin{align}
  & i(t)=\frac{e(t)}{10}=10\sin (\omega t+\frac{\pi }{60}) \\ 
 & v_{C}(t)=50\sin (\omega t+\frac{\pi }{60}-\frac{\pi }{2}) \\ 
\end{align}

e quindi

\begin{align}
  & i(\tau )=10\sin (\omega \tau +\frac{\pi }{60})=10\sin (5+\frac{\pi }{60})\approx -9.4276\,\text{A} \\ 
 & v_{C}(\tau )=50\sin (\omega t+\frac{\pi }{60}-\frac{\pi }{2})=50\sin (5+\frac{\pi }{60}-\frac{\pi }{2})\approx -\text{16}\text{.673}\,\text{V} \\ 
\end{align}

Per t>5ms con interruttore chiuso avremo invece


e potremo scivere l'equazione differenziale usano la KVL alla maglia di sinistra, ricordando che se vogliamo usare un nuovo riferimento per il tempo, ripartendo da zero alla chiusura avremo una e(t) sfasata di 5ms

v_{C}(t)+v_{L}(t)+R(i(t)+1)=e(t+\tau )\quad

\frac{1}{C}\int{i(t)\,\text{dt}}+L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+R(i(t)+1)=e(t+\tau )

ed infine

L\frac{\text{d}^{2}i(t)}{\text{d}t^{2}}+R\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+\frac{i(t)}{C}=\frac{\text{d}\left[ e(t+\tau ) \right]}{\text{d}t}

che sara' la base di tutti i futuri sviluppi

----------------------------------------------------------------------------------eol
2^ Puntata

L'equazione caratteristica

\lambda ^{2}+\frac{R}{L}\lambda +\frac{1}{LC}=0

risolta, portera' a

\lambda ^{2}+2\times 10^{3}\lambda +10^{6}=0\quad \to \quad \lambda _{1}=\lambda _{2}=1000

e quindi cercheremo una soluzione generale nella forma

i(t)=i_{G}(t)+i_{P}(t)=(k_{1}+k_{2}t)e^{-1000t}+k_{3}\sin (\omega t+k_{4})

la soluzione particolare sara' quella a regime e quindi

i_{P}(t)=10\sin \left( 1000t+5+\frac{\pi }{60} \right)

e quindi

\left\{ \begin{align}
  & k_{3}=10 \\ 
 & k_{4}=5+\frac{\pi }{60} \\ 
\end{align} \right.

Le condizioni iniziali

\left\{ \begin{align}
  & i(0+)=i(0-)=10\sin \left( 5+\frac{\pi }{60} \right)\approx \text{-9}\text{.42764}\ \text{A}\, \\ 
 & \left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|_{t=0+}=\frac{e(\tau )-R(i(0+)+1)-v_{C}(0+)}{L}\approx 1334.6\ \frac{\text{A}}{\text{s}}\, \\ 
\end{align} \right.

permetteranno di determinare le rimanenti due costanti

\left\{ \begin{align}
  & i(0+)=k_{1}+i_{P}(0) \\ 
 & \left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|_{t=0+}=k_{2}+10^{4}\cos \left( 5+\frac{\pi }{60} \right) \\ 
\end{align} \right.\quad \left\{ \begin{align}
  & k_{1}=0 \\ 
 & k_{2}=-2000 \\ 
\end{align} \right.
ed infine

i(t)=-2000te^{-1000t}+10\sin \left( 1000t+5+\frac{\pi }{60} \right)
e infine per la d.d.p. ai capi dell'interruttore

\begin{align}
  & v_{AB}(t)=-RJ+e(t+\tau )-R(i(t)+J) \\ 
 & v_{AB}(t)=-20+100\sin \left( 1000t+5+\frac{\pi }{60} \right)+2\times 10^{4}te^{-1000t}-100\sin \left( 1000t+5+\frac{\pi }{60} \right) \\ 
\end{align}

che miracolosamente si semplifica in

v_{AB}(t)=-20+2\times 10^{4}te^{-1000t}

chissa' perche' ;-)

-----------------------------------------------------------------------------------------eol

3^ puntata

Proviamo ora a risolvere con Laplace, incominciando dallo schema completo dei generatori associati alle condizioni iniziali


e scriviamo la solita KVL "a sinistra"

E(s)-R(I(s)+J(s))-I(s)\left( sL+\frac{1}{sC} \right)-\frac{v_{C}(0-)}{s}+Li(0-)=0
che diventa

\begin{align}
  & E_{M}\frac{s\sin \left( \omega \tau +\frac{\pi }{60} \right)+\omega \cos \left( \omega \tau +\frac{\pi }{60} \right)}{s^{2}+\omega ^{2}}-R(I(s)+J(s))-I(s)\left( sL+\frac{1}{sC} \right) \\ 
 & -\frac{E_{M}\omega C\cos \left( \omega \tau +\frac{\pi }{60}+\frac{\pi }{2} \right)}{s}+L\frac{E_{M}}{R}\sin \left( \omega \tau +\frac{\pi }{60} \right)=0 \\ 
\end{align}

che, anche se con un giro piu' lungo, porta allo stesso risultato (ovviamente) ... ma vi risparmio i calcoli
:mrgreen:


-------------------------------------------------------------------------eol
4^ Puntata

A questo punto ci chiediamo :-k ... ma che siano veramente necessari tutti questi calcoli :-M ... per un circuito a prima vista cosi' "innofensivo" ? ... la risposta e' no :!:

Gia' la soluzione per via differenziale doveva farci "sospettare" qualcosa, ovvero che forse c'era una scorciatoia, e perfino "banale" (io posso usarlo :-) ).

La sovrapposizione degli effetti ci avrebbe portato subito a vedere che la soluzione era in realta' molto piu' semplice, bastava notare che la chiusura dell'interruttore non veniva ad influenzare il regime permanente sinusoidale grazie alla risonansa del ramo LC, e di conseguenza la tensione ai capi dell'interruttore risulta dipendente unicamente dal generatore di corrente ed e' indipendente da quello di tensione.

Si doveva cioe' semplificare gia' inizialmente come


e procedere con

\begin{align}
  & v_{C}(t)+v_{L}(t)+R(i(t)+1)=0\quad \quad  \\ 
 & L\frac{\text{d}^{2}i(t)}{\text{d}t^{2}}+R\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+\frac{i(t)}{C}=0 \\ 
 & i(t)=i_{G}(t)+i_{P}(t)=(k_{1}+k_{2}t)e^{-1000t}+0 \\ 
\end{align}

con condizioni iniziali nulle per la componente continua

\left\{ \begin{align}
  & i(0+)=i(0-)=0 \\ 
 & \left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|_{t=0+}=\frac{R(i(0+)+1)-v_{C}(0+)}{L}=\frac{-10-0}{5\times 10^{-3}}=-2000\ \frac{\text{A}}{\text{s}}\, \\ 
\end{align} \right.

\left\{ \begin{align}
  & i(0+)=k_{1}=0 \\ 
 & \left. \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right|_{t=0+}=k_{2}=-2000 \\ 
\end{align} \right.\quad

ed infine

\begin{align}
  & i(t)=-2000te^{-1000t} \\ 
 & v_{AB}(t)=-RJ-R(i(t)+J) \\ 
 & v_{AB}(t)=-10+2\times 10^{4}te^{-1000t}-10 \\ 
 & v_{AB}(t)=-20+2\times 10^{4}te^{-1000t} \\ 
\end{align}

:ok:
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[20] Re: Metodi di risoluzione circuiti con laplace (compensazion

Messaggioda Foto Utentetipu91 » 30 gen 2013, 19:17

salve,
ed eccomi qua ad affrontare questo problema anche io!! :? Foto UtenteRenzoDF non capisco come hai trovato la condizione iniziale sul condensatore, o meglio, non capisco perché ti torna v_c(t)=50sin(\omega t+\frac{\pi}{60}-\frac{\pi}{2}).. io per il calcolo della tensione sul condensatore ho provato in 2 modi: legge di Ohm fasoriale e la definizione di tensione per il condensatore (v(t)=v(o)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(t)dt)..
nel primo caso torna: \dot{V}_c=\dot{I}\cdot \frac{1}{j\omega C}=(0,52+j9,98)\cdot (-j5)=50-j2,6V
\rightarrow v_c(t)=50sin(\omega t-0,05)\approx 50sin(\omega t- \frac{\pi}{60})V

mentre nel secondo caso il risultato è completamente sbagliato :oops:
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