ElectroYou

Il problema sembra semplice ma alla fine mi ha lasciato qualche perplessità... ricaverò la soluzione rifacendo il teorema del massimo trasferimento di potenza quando avrò più tempo intanto chiedo se qualcuno può aiutarmi:
Sono in questa situazione:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Voglio trovare i valori di B (e quindi di Y) e di Rs Per massimizzare la potenza su Zin ammesso di conoscerla

Essendo nota $\dot Z_{in} = R + j X$ , io procederei in questo modo...

1. lo schema del sistema è:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dove $\dot Z_{eq} = \frac{\frac{1}{R_s}- jB}{\frac{1}{R_s^2}+B^2};$

2. affinché si abbia il massimo trasferimento di potenza, si deve avere:

$\textrm{Re}\left(\dot{Z}_{in}\right)=\textrm{Re}\left(\dot{Z}_{eq}\right);$

$\textrm{Im}\left(\dot{Z}_{in}\right)=-\textrm{Im}\left(\dot{Z}_{eq}\right);$

pertanto, svolgendo i vari calcoli, si dovrebbero ottenere questi risultati:

$B = - \frac{1}{X\left( 1+ \frac{X^2}{R^2} \right)};$
$R_s = \frac{X^2 \cdot \left( 1+ \frac{X^2}{R^2} \right)}{R}$

O_/

Non e` detto che sia la soluzione migliore. L'adattamento di potenza con il complesso coniugato funziona per massimizzare la potenza quando si lavora sul carico e la sorgente non la si puo` toccare. Invece qui il problema e` diverso, il carico e` assegnato e la sorgente puo` (almeno in parte) essere modificata.

Nel caso di carico resistivo, la soluzione per quest'ultimo problema e` di porre a zero la resistenza e la reattanza di sorgente. Con carico complesso non saprei al volo come fare. Forse si puo` provare a considerare Y parte del carico, e vedere in quali condizioni R dissipa la massima potenza con sorgente ideale di tensione, quindi Rs=0.

Ora ci provo.

Che Rs debba essere posta pari a zero e' abbastanza intuitivo ma, tanto per "farla difficile", possiamo cercare di dimostrarlo matematicamente con un po' di formulazze. :-)

Rinominate per semplicita' di scrittura con x e y rispettivamente la resistenza serie Rs e la reattanza derivata corrispondente a Y, ovvero -1/B e con a+jb l'impedenza Zin (al fine di evidenziare i due termini costanti e i due termini variabili), per minimizzare la potenza trasferita su Zin, possiamo ricavare la corrente I che la attraversa semplificando con Thevenin la parte sinistra della rete

$\begin{align} & E_{Th}=E\frac{jy}{x+jy} \\ & Z_{Th}=\frac{jxy}{x+jy} \\ \end{align}$

scrivere I come

$I=\frac{E_{Th}}{Z_{Th}+Z_{in}}=E\frac{jy}{x+jy}\frac{1}{\frac{jxy}{x+jy}+a+jb}=E\frac{jy}{(ax-by)+j(ay+bx+xy)}$

e cercare di massimizzarne il modulo

$\left| I \right|=\left| E \right|\frac{\left| y \right|}{\sqrt{(ax-by)^{2}+(ay+bx+xy)^{2}}}$

A questo punto supposta y costante cerchiamo un massimo per I ovvero un minimo per il denominatore uguagliando a zero la derivata rispetto a x della f(x,y) sotto radice

$\frac{\partial }{\partial x}[(ax-by)^{2}+(ay+bx+xy)^{2}]=2(a^{2}x+ay^{2}+x(b+y)^{2})$

$x=-\frac{ay^{2}}{a^{2}+(b+y)^{2}}\quad \to \quad x<0$

notiamo quindi che non puo' esserci un minimo relativo per x>0, ovvero per Rs>o e quindi visto che la f(x,y) e' monotona crescente per x>0 l'unico minimo assoluto e' quello per x=Rs=0.

Derivando a questo punto in y, supponendo costante x otterremo il "noto" risultato atteso per y.

Chissa` dove mi ero incartato a calcolare la Rs. In questi giorni sono un po' di corsa non avevo avuto il tempo di riprovarci.

Se si prova anche a fare la derivata rispetto a

, si scopre che e` sempre identicamente nulla: quando x=0

si ha un generatore ideale di tensione, la reattanza

non ha piu` alcun effetto nel circuito e puo` assumere qualunque valore.

Quello che mi lascia dubbioso e` il fatto che un circuito LC puo` essere un trasformatore di impedenza e non saprei escludere a priori se non ci siano altre condizioni di massimo.

Ho riprovato a fare i conti analitici, senza arrivare allo Hessiano, e mi sembra che non ci siano soluzioni con x>0.

Intendevo riferirmi al caso generale, quando x>0, derivando in y si avrebbe

$\frac{\partial }{\partial y}\left[ \left( a\frac{x}{y}-b \right)^{2}+\left( a+b\frac{x}{y}+x \right)^{2} \right]=-\frac{2x^{2}(a^{2}+b(b+y))}{y^{3}}$

e quindi si giungerebbe ad un massimo per I con

$y=-\frac{a^{2}+b^{2}}{b}$

ovvero per una suscettanza

$B=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$

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Massimo trasferimento di potenza

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