ElectroYou

alcolare la tensione vR1(t) per t>0, nell’ipotesi in cui la rete in fig. 1 sia a regime prima dell’istante
t=0s, in cui si ha la chiusura dell’interruttore K.

risultato atteso:
vr1= 2,169e^(-0.8333*t) *cos(0,5t +3,361)+ 3,882V

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per t<0 interruttore aperto la maglia di sopra scompare e trovo che la tensione sul condensatore vc(0) = 6
mentre la il(0)=0

per t<0 se volessi usare il metodo delle equazioni di stato per risolvere quando sostituisco applicando il teorema di sostituzione ottengo:

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l'quazioni che trovo sono queste ( sicuramente sbagliate ) visto che non mi risulta:

VL+v2+R1*I1=0

anzi mi viene una frequenza naturale positiva

con il metodo di laplace invece trovo la soluzione ma io vorrei risolvere con questo metodo
qualcuno che mi da una manina?? XD

Per quel che si riesce a capire da quell'accozzaglia di dati direi che siano incompatibili con quel risultato,

${{v}_{r1}}(0)=-{{v}_{C}}(0)=-6\,\text{V}$

e non 1,765 V come risulta da quella vr1(t).

... è visionabile l'originale ?

theverin90 ha scritto: ...l'quazioni che trovo sono queste ( sicuramente sbagliate ) visto che non mi risulta:

Che siano sbagliate non c'è ombra di dubbio, sarei solo curioso di sapere come le hai ricavate.

... io direi invece

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{L}}=\frac{5}{6}{{v}_{C}}-\frac{3}{2}{{i}_{L}}-4 \\ & {{i}_{C}}=-\frac{1}{6}{{v}_{C}}-\frac{5}{6}{{i}_{L}}+2 \\ \end{align} \right.$

ma le ho ricavate in fretta e non garantisco nulla :-)

per quando riguarda il risultato della vr1 c'è sicuramente un errore nel testo che dovrebbe essere quindi :

$v_{r1}= 2,169\,e^{-0.8333t} \,\cos(0.5t +3,361)- 3.882V$

e quindi adesso combacia vc(0) = -6 V come giustamente dicevi.

invece una cosa che non capisco quale nodo e quale maglia hai seguito per scrivere l 'equazioni di stato?

theverin90 ha scritto:... e quindi adesso combacia vc(0) = -6 V come giustamente dicevi.

... vorrai dire vr1(0)=-6 .... Ora prova a controllare la

${{v}_{r1}}(\infty )$

theverin90 ha scritto:..invece una cosa che non capisco quale nodo e quale maglia hai seguito per scrivere l 'equazioni di stato?

Ho usato Millman ;-)

Tanto per chiarire, sono questi i valori e le convenzioni ?

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noooo

ho capito un errore dove sta ho sbagliato nel disegnare il circuito nel testo mi da infatti la vr1 con il + sopra e il meno sotto al contrario di come abbiamo noi

poi le altre le possiamo scegliere noi adesso devo andare a pranzo pomeriggio rifaccio l'esercizio buona domenica :) e scusami

... non è che potresti postare un'immagine di codesto testo?

... il positivo di vr1 che sia sopra o sotto cambia solo il segno del risultato;

Buona domenica anche a te.

trovataaaaaaa :)

: Immagine.jpg (52.14 KiB) Osservato 4473 volte

QED

... pure il verso del GIC era errato ... ma dico io ... e controllare i dati postati, no eh? ... troppa fatica?

Con queste "varianti",

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le equazioni di stato che ho postato in [2] ovviamente cambiano e possono essere ricavate usando Millman e Kirchhoff come segue

${{v}_{AB}}=\frac{\frac{12}{5}+\frac{{{v}_{C}}}{1}-{{i}_{L}}}{\frac{1}{5}+1}=2+\frac{5}{6}{{v}_{C}}-\frac{5}{6}{{i}_{L}}$

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{L}}={{v}_{CB}}={{v}_{CA}}+{{v}_{AB}}=\frac{2}{3}(9-{{i}_{L}})+2+\frac{5}{6}{{v}_{C}}-\frac{5}{6}{{i}_{L}}=\frac{5}{6}{{v}_{C}}-\frac{3}{2}{{i}_{L}}+8 \\ & {{i}_{C}}=\frac{{{v}_{AB}}-{{v}_{C}}}{1}=2-\frac{1}{6}{{v}_{C}}-\frac{5}{6}{{i}_{L}} \\ \end{align} \right.$

e quindi

$\det [\lambda I-A]=\det \left[ \begin{matrix} \lambda +\frac{3}{2} & -\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6} & \lambda +\frac{1}{6} \\ \end{matrix} \right]=0\quad \lambda =-\frac{5}{6}\pm j\frac{1}{6}$

determinato l'integrale particolare per la iL come soluzione costante a regime per t tendente a infinito

${{i}_{Lp}}(t)={{i}_{L}}(\infty )=\frac{54}{17}\,\text{A}$

cerco la soluzione generale nella forma

${{i}_{L}}(t)={{i}_{Lo}}(t)+{{i}_{Lp}}(t)={{k}_{1}}{{e}^{-\frac{5}{6}t}}\cos \left( \frac{t}{2} \right)+{{k}_{2}}{{e}^{-\frac{5}{6}t}}\sin \left( \frac{t}{2} \right)+\frac{54}{17}$

con k1 e k2 calcolabili dalle condizioni iniziali

$\left\{ \begin{align} & {{i}_{L}}(0+)={{k}_{1}}+\frac{54}{17}=0 \\ & i_{L}^{\prime}(0+)=\frac{{{v}_{L}}(0+)}{L}=-\frac{5}{6}{{k}_{1}}+\frac{1}{2}{{k}_{2}}=3 \\ \end{align} \right.\quad \to \left\{ \begin{align} & {{k}_{1}}=-\frac{54}{17} \\ & {{k}_{2}}=\frac{12}{17} \\ \end{align} \right.$

che portano a ricavare la iL(t) e di conseguenza la vr1(t) con la semplice relazione

${{v}_{r1}}(t)=\frac{2}{3}({{i}_{L}}(t)-9)$

e quindi ad una tensione

${{v}_{r1}}(t)=\frac{8}{17}{{e}^{-\frac{5}{6}t}}\left[ \sin \left( \frac{t}{2} \right)-4\cos \left( \frac{t}{2} \right) \right]-\frac{66}{17}$

uguale a quella riportata nel testo.

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Edit

Usando Maxima

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: 2012-10-14_190148.gif (12.24 KiB) Osservato 4455 volte

Per determinare invece le equazioni di stato con il metodo del potenziale ai nodi ( sfruttando il grafico in [8] ) ho proceduto in questo modo (il nodo C è a massa):

Ho scritto la KCL al nodo B e la KVL alla maglia dell' induttore ottenendo :
$\begin{cases} i_c(t) + i_l(t) - i_2(t) = 0 \\ Vr_1(t) - Vc(t) - Vr_0(t) + Vl(t) =0 \end{cases}$
dopo
$\begin{cases} {d \over dt}Vc(t) + i_l(t) - i_2(t) = 0 \\ Vr_1(t) - Vc(t) - Vr_0(t) + {d \over dt}il(t) =0 \end{cases}$
ancora
$\begin{cases} {d \over dt} Vc(t) = -1/6 Vc(t) - 5/6 il(t) - 2/5 \\ {d \over dt} il(t) = 1/6Vc(t)+ 1/6 il(t) + 4 \end{cases}$

e le condizioni iniziali vengono
Vc(0-)= Vc (0+) = 6 V , il(0-)= il (0+) = 0

Vc(0-)= Vc (0+) = 6 V , il(0-)= il (0+) = 0

Ma la soluzione risulta errata, non riesco a trovare l' errore nel sistema di stato

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Circuito a regime costante metodo delle equazioni di stato.

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