ElectroYou

Ciao, ho un dubbio con il corcuito in allegato.

: transitorio_12.png (49.73 KiB) Osservato 6915 volte

Le condizioni iniziali sono pari a zero.
Per 0<t<T

trovo correttamente la V_c

.

$\left \frac {dv_c}{dt} \right |_{t=0} = \frac{1}{C} \left [ i_L(0)- \frac{v_c(0)}{R} \right ]$

Svolgendo i calcoli:
v_c(0)= -3=k_1+k_2

$\left \frac {dv_c}{dt} \right |_{t=0} = 0=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2 \quad \Rightarrow \quad 0=k_1(-4.45 \cdot10^9) + k_2(-22.55 \cdot 10^9)$
Svolgendo il sistema trovo le K.

Domanda, come fa a otterenere le k per t>T

?
So che devo considerare V_c(t)

appena ottenuta, come condizione iniziale, però non esce

A me il risultato postato sembra corretto a parte una differenza nei coefficienti che mi risultano

309 e -4.57

invece di

320 e -4.6

ma probabilmente è conseguenza del fatto che ho preso per buona la soluzione per t < T del testo, dove i coefficienti sono già stati arrotondati.

Se posti l'equazione differenziale e le condizioni iniziali, controllo i tuoi risultati con i miei.

Io una mezza idea sul perché "non ti escano corretti" ce l'ho ;-)

grazie Renzo, io non conosco proprio la formula.
Quale formule usi per trovarle ?

ho provato a usare le stesse di quelle precendenti, ho cambiato il tempo da 0 a 1ns ma non esce.

Vedo solo ora che con quelle relazioni postate intendevi riferirti alle condizioni iniziali dalle quali partire per calcolare la soluzione per t > T.

Io non ho risolto anche per t < T ma ho dato per buona la soluzione del testo dalla quale per

${{v}_{C}}(T)\approx \text{2}\text{.95632}\,\text{V}$

${{\left. \frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{dx}} \right|}_{t=T}}\approx -4.4\times {{10}^{7}}\,\text{A}$

ma ovviamente, se vogliamo scrivere direttamente la funzione nello "stesso tempo" della prima, queste condizioni iniziali vanno imposte non per t=0 ma per t=T, altrimenti poi dobbiamo effettuare una translazione temporale.

per

:
equazione differenziale:
$\left \frac {d^2v_c}{d^2t} \right + \frac {(RC+ \frac {L}{R})}{LC} \frac {dv_c}{dt} \right + \frac{2v_c}{LC}= \frac {e(t)}{LC}$

Le radici dell'omogenea associata sono:
$\lambda_1=-4,45 \cdot 10^9$
$\lambda_2=-22.55 \cdot 10^9$

le condizioni iniziali sono:
v_c(0)=0

soluzione particolare: $v_{cp}(t)=3$
le costanti sono gia mostrate su, sono:
v_c(0)= -3=k_1+k_2

$\left \frac {dv_c}{dt} \right |_{t=0} = 0=k_1\lambda_1+k_2\lambda_2 \quad \Rightarrow \quad 0=k_1(-4.45 \cdot10^9) + k_2(-22.55 \cdot 10^9)$

svolgendo i calcoli trovo le due costanti.
e la funzione richiesta.
$v_c(t)=-3.74e^{-4.45 \cdot 10^9 t}+0.74-3.74e^{-22.55 \cdot 10^9 t}$
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

per t>T

:
il circuito è in emoluzione libera, non c'è il generatore e diventa:
$\left \frac {d^2v_c}{d^2t} \right + \frac {(RC+ \frac {L}{R})}{LC} \frac {dv_c}{dt} \right + \frac{2v_c}{LC}= 0$

Le radici dell'omogenea associata sono sempre le stesse:
$\lambda_1=-4,45 \cdot 10^9$
$\lambda_2=-22.55 \cdot 10^9$

le condizioni iniziali sono:
$v_c(T^+)=-3.74e^{-4.45 \cdot 10^9 t}+0.74-3.74e^{-22.55 \cdot 10^9 t}$
i_L(T^+)=0

(suppongo sia zero, non so se devo ricarcolarla con il nuovo circuito)

la soluzione particolare è zero

nota: $T=1ns= 1\cdot 10^{-9}$

ora viene il dubbio:
$v_c(T+)= 2.95632=k_1\cdot e^{-4.45\cdot 10^9 \cdot 1\cdot10^{-9}} +k_2\cdot e^{-22.55\cdot 10^9 \cdot 1\cdot 10^{-9}}$
scritta meglio:
$v_c(T+)= 2.95632=k_1\cdot e^{-4.45} +k_2\cdot e^{-22.55}$

ora devo calcolare la condizione iniziale Con la derivata per t=T, come si fa?

La iL(T+) non puoi dire che sia zero.

camaleonte ha scritto:... ora devo calcolare la condizione iniziale Con la derivata per t=T, come si fa?

Devi sempre basarti sulle variabili di stato, ovvero sulla corrente nell'induttore e sulla tensione sul condensatore che sono le uniche che non presentano discontinuità nel passaggio da T- a T+, ovvero, assumendo il verso della iL verso destra, dalla relazione

${{\left. C\frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{dt}} \right|}_{t=T+}}={{i}_{C}}(T+)={{i}_{L}}(T+)-\frac{{{v}_{C}}(T+)}{R}$

in questo caso particolare, visto che la ic dipende dalla differenza fra la corrente nell'induttore e quella nel resistore (proporzionale a vc, nemmeno la ic presenterà discontinuità, e così pure la derivata di vc, che potrai quindi calcolare differenziando la vc(t) per t <T, ma è un caso particolare.

grazie

Sbaglio o c'è un errore di battitura sui coefficienti delle vc(t) ?

-3.74 ... 0.74 ... -3.74

XXX

RDF_001_2012

RenzoDF ha scritto:Sbaglio o c'è un errore di battitura sui coefficienti delle vc(t) ?

-3.74 ... 0.74 ... -3.74

Si è un errore di battitura, anzi di Copia e incolla.

ElectroYou

transitorio secondo ordine con impulso

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