ElectroYou

Buongiorno! Stamane mi sono svegliato con un altro dubbio che vorrei estirpare grazie al supporto di qualche vostro suggerimento.

Quando misuro l'ampiezza della funzione di trasferimento ai capi dell'induttore in un circuito RLC serie, mi trovo di fronte al fenomeno dell'extra-tensione in prossimità della frequenza di risonanza.
Ho letto però, che il massimo dell'ampiezza della funzione di trasferimento non coincide proprio con la frequenza di risonanza, ma trasla verso frequenze maggiori man mano che si dimunisce la tensione del generatore. perché? E se volessi misurare la frequenza di risonanza come dovrei procedere?

Cioè, se fossi di fronte a un filtro passa banda, in prossimità del massimo riesco ad individuare la frequenza di risonanza, e dividendo per la radice di 2, trovo le due frequenze che mi permettono di determinare la larghezza di banda.
Però nel caso in cui il segnale di uscita fosse hai capi dell'induttore non saprei come fare.
Suggerimenti?

Visto che nessuno ti ha risposto, ci provo io.
in effetti l'argomento non è semplice, da spiegare in poche righe
e ti propongo di studiarlo assieme partendo da questo circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ponendo R=1 Ohm, C=1uF, L=1mH
Sai trovare la funzione di trasferimento (Laplace), cioè il rapporto fra Vu e Vi?

In questo caso la funzione di trasferimento dovrebbe essere

$H(j \omega)=\frac{j \omega L}{R+j \omega L +\frac{1}{j \omega C}}=H(j \omega)=\frac{j \omega L}{R+j (\omega L -\frac{1}{ \omega C})}$

o sbaglio?

Per vedere cosa accade alla risonanza, dobbiamo porre uguale a zero la suscettanza, esatto?

Però ancora non ho ben chiara la situazione descritta nel primo messaggio

Sì, è giusta, ma per meglio interpretarla con Bode
è opportuno sctiverla così:
$H=\frac{L\cdot C \cdot(j\omega)^{2}}{1+R \cdot C \cdot j\omega +L \cdot C \cdot (j\omega)^{2}}$

Sai ora tracciare i diagrammi di Bode separati
di H1 (numeratore) ed H2 (denominatore ),
approssimandoli a semirette?
Per facilitare questo, è opportuno ricavare
il denominatore come prodotto di 2 costanti di tempo T1 e T2.

Sai ora tracciare i diagrammi di Bode separati
di H1 (numeratore) ed H2 (denominatore ),
approssimandoli a semirette?

Non purtroppo durante il corso (corso base di circuiti cdl in fisica ) non sono mai stati accennati i diagrammi di Bode, quindi pensavo si potesse ragionare prendendo in considerazione solo la funzione di trasferimento o seguendo un'altra strada. Se non fosse periodo di esami starei ore a leggere e studiare tanti argomenti che purtroppo vengono facilmente tralasciati, ma ho paura di andare troppo fuori strada e perdere di vista gli obbiettivi degli esami

I diagrammi di Bode rendono più evidenti i comportamenti dei blocchi,
ma si può ragionare anche senza.
Riesci a scrivere le espressioni di T1 e T2?

Perdonami ma non so come scrivere il denominatore come due costanti di tempo :oops:

Cioè so che per un RLC la pulsazione di risonanza è $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

inoltre la costante di smorzamento

Per l'RLC serie risulta

$\alpha=\frac{R}{2L}$

mentre per l'RLC parallelo

$\alpha=\frac{1}{2RC}$

Sto consultando il libro "Renzo Perfetti: Circuiti elettrici" ma ancora non sono riuscito a trovare nulla

Per farla breve, intendavo trasformare il denominatore
come prodotto di 2 costanti di tempo:
$(1+T1\cdot j\omega)\cdot(1+T2\cdot j\omega)$
ponendo
$T1=\frac{2\cdot L}{-R+\sqrt{R^2-4\cdot\frac{L}{C}}}$
$T2=\frac{2\cdot L}{-R-\sqrt{R^2-4\cdot\frac{L}{C}}}$
In questo modo è facile riconoscere che quando
$R>2\cdot \sqrt{\frac{L}{C}}$
si hanno soluzioni reali, altrimenti si hanno soluzioni complesse coniugate
(cioè il fenomeno della risonanza)

Nell'espressione al numeratore possiamo infine ricavare
$\omega nat=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}$ e $fnat=\frac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot C}}$
Rispettivamente pulsazione e frequenza "naturali",
che corrispondono all'oscillazione permanente del circuito,
una volta eccitato ed in assenza di dissipazione (cioè nel caso R=0)

Ok più o meno ci sono. Però ancora non mi è ben chiaro perché nel circuito RLC il massimo è spostato un po più a destra rispetto alla frequenza di risonanza se considero la funzione di trasferimento ai capi dell'induttore , mentre è spostato un po più a sinistra se considero l'uscita ai capi del condensatore
Grazie mille della pazienza :mrgreen:

La pulsazione di risonanza coincide con quella "narurale"
se, come detto, R=0.
Altrimenti vale
$\omega ris=\sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^{2}}$

ElectroYou

Freq. di risonanza RLC con segnale di uscita sull'induttore

Freq. di risonanza RLC con segnale di uscita sull'induttore

Re: Freq. di risonanza RLC con segnale di uscita sull'indutt

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