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Lunghezza circuito in ferro 40 cm
sezione ferro: S = 6 cm quadrati
permeabilita relativa $\mu = 1000$
Resistenza bobina R = 80 ohm
numero spire N = 2000.
Si trascurano gli allargamenti del flusso e il ferro si considera lineare

a)Calcolare la tensione affinche nell'elettromagnete si sviluppi una forza di attrazione di 250 N e il corrispondente valore dell'induzione al traferro

b) mantenendo costante il valore della tensione si determini per quale valore del traferro la forza raddoppia.

Il comando dell'elettromagnete è ottenuto chiudendo un interruttore nel circuitodi alimentazione costituito dalla bobina e da un generatore ideale di tensione.

c) facedon riferimento al valore iniziale del traferro determinare la tensione del generatore in modo che la forza di attrazione raggiunga il valore di 250 N in 10 ms dalla chiusura dell'interruttore

Allora ho risolto il punto uno cosi:

$F = {1 \over 4} \mathfrak{R}_{traferro}^{2} \phi^2 \cdot {\mu_0 S \over x^2}$
dove $\phi$ è il flusso e x la lunghezza del traferro.
$\mathfrak{R}_{traferro} = {2 x \over \mu_0 S}$

quindi:

$F = {\phi^2 \over \mu_0 S}$

$\phi = \sqrt{F \mu_0 S} = \sqrt{250 \times 4 \pi \cdot 10^{-7} \times 6 \cdot 10^{-4}} = 434 \cdot 10^{-6} Wb$

Ora usando:

$N I = \mathfrak{R} \phi$

calcolo la corrente:

$I = {\mathfrak{R} \phi \over N} = 1.26 A$

V = I R = 101.4 V

$B = {\phi \over S} = 0.723 T$

Adesso per il punto B non so come procedere. Inizialmente avevo pensato di usare $F = {1 \over 4} \mathfrak{R}_{traferro}^{2} \phi^2 \cdot {\mu_0 S \over x^2}$ esplicitando la x. Pero in realta la x si semplifica con quella per il calolo della riluttanza del traferro. ( Significa che la forza non dipende dalla distanza del traferro??)
Non trovo altre formule utili, qualcuno mi puo' consigliare ?

Premesso che non capisco l'uso di quella "strana" formula per la forza, forse sarebbe stato più semplice con

$F=\frac{1}{2}\frac{{{B}^{2}}}{{{\mu }_{0}}}S$

... Significa che la forza non dipende dalla distanza del traferro??...

ti sembra possibile che, con fmm costante, la forza non dipenda dalla distanza x dell'ancora?

... per aumentare la forza direi che bisognerà aumentare B e l'unico modo per farlo (in questo caso) è diminuire la distanza x. ;-)

No, in effetti ho trovato l'errore.
$F = - {1 \over 4} \mathfrak{R}^{2} \phi^2 \cdot {\mu_0 S \over x^2}$

Per la riluttanza $\mathfrak{R}$ si puo di solito usare il valore del traferro perché spesso è qualche ordine di grandezza maggiore rispetto alla riluttanza del nucleo di ferro. Però in questo caso non si può approssimare e quindi $\mathfrak{R} = \mathfrak{R}_{traferro} + \mathfrak{R}_{nucleo}$

Esplicitando la x in questo modo dovrei trovare il risultato corretto.

Quella formula deriva dalla generalizzazione del calcolo delle forze nei campi magnetici:

$F_x = - {\partial E \over \partial x}$ valutato con il flusso costante oppure con la corrente costante, dove E rappresenta l'energia magnetica immagazzinata nel sistema e x la distanza.

In un elettromagnete l'energia immagazzinata è: $E = {1 \over 2} \mathfrak{R} \phi^2 = {1 \over 2} L I^2$

Quindi, tenendo la corrente costante derivo ( e salto un po di passaggi):

$F_x = - {\partial E \over \partial x} =- {1 \over 2} {\partial \over \partial x} (L I ^2) = - {1 \over 4} N^2 I^2 {\mu_0 S \over x^2} = - {1 \over 4} \mathfrak{R}^2 \phi^2 {\mu_0 S \over x^2}$

daymos ha scritto:( Significa che la forza non dipende dalla distanza del traferro??)

Il tuo problema è il duale di quello della forza tra le armature di un condensatore che avevo discusso in questo articolo.

Il punto è che, in generale, uno può fare diverse scelte sulle variabili da usare per rappresentare lo stato di un attuatore elettrostatico o magnetostatico. Per esempio, nel caso descritto nell'articolo viene usata o la coppia di variabili carica/separazione (in tal caso la forza è indipendente dalla separazione) o la coppia tensione/separazione (in tal caso la forza dipende dalla separazione).

Nel caso dell'attuatore magnetostatico, uno può scegliere tra le coppie di variabili flusso/separazione o corrente/separazione. La scelta corretta dipende dalle condizioni al contorno. Nel tuo caso, siccome la tensione è imposta, la corrente sarà costante, indipendente dalla separazione: la coppia di variabili adatta a descrivere lo stato dell'attuatore è allora quella corrente/separazione (e occhio quindi alla differenza tra energia e coenergia).

daymos ha scritto:... Quella formula deriva dalla generalizzazione del calcolo delle forze nei campi magnetici:

C'era un metodo ben più semplice per determinare dE. ;-)

@ DirtyDeeds. Se ho capito il punto teorico sul perché derivo con corrente costante oppure con flusso costante, dovrei ragionare cosi: in questo caso la corrente è costante è quindi per avere un valore di forza differente dovrà cambiare il valore del flusso e quindi della riluttanza del traferro che è l'unico parametro che può variare. Mi sembrava di avere gia fatto cosi :) io credo che l'errore pratico fosse approssimare la riluttanza totale a quella del traferro, cosa che in questo caso non posso fare

@RenzoDF in effetti la tua formulazione è più semplice però non include la lunghezza del traferro che è il dato richiesto dal problema. Mi sfugge qualcosa? come saresti andato avanti?

daymos ha scritto:... in effetti la tua formulazione è più semplice però non include la lunghezza del traferro che è il dato richiesto dal problema.

Quella formula (vedi [2]), deriva dall'energia specifica associata al campo magnetico, via "lavori virtuali", serve per trovare B a partire da F e quindi la distanza x non compare; una volta trovata B non uso Hopkinson, ma applico Ampere, ovvero scrivo

$NI={{H}_{t}}{{l}_{t}}+{{H}_{f}}{{l}_{f}}=\frac{B}{{{\mu }_{0}}}2x+\frac{B}{{{\mu }_{0}}{{\mu }_{r}}}{{l}_{f}}=\frac{B}{{{\mu }_{0}}}\left( 2x+\frac{{{l}_{f}}}{{{\mu }_{r}}} \right)$

daymos ha scritto: ...Mi sfugge qualcosa? come saresti andato avanti?

Ed è proprio con Ampere che "vado avanti"; ovvero, se la forza deve raddoppiare, dalla relazione postata in [2], l'induzione dovrà aumentare di un fattore $\sqrt{2}$ e quindi

$x=\frac{1}{2}\left( \frac{{{\mu }_{0}}NI}{\sqrt{2}B}-\frac{{{l}_{f}}}{{{\mu }_{r}}} \right)$

ok, non avevo mai calcolato la forza elettromotrice partendo dall'induzione, comunque sembra un metodo piu rapido che derivare.

Invece per il punto C) qualche idea?

daymos ha scritto:... Invece per il punto C) qualche idea?

Questa domanda implica un'analisi in transitorio per un circuito L-R e di conseguenza: una salita esponenziale, una costante di tempo associata ... e il vincolo per un punto di detta salita P=(i(t_0),t_0)

.

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Edit

Essendo la costante di tempo pari a circa 8.8ms, mentre il t0 richiesto è pari a 10ms, la corrente asintotica I_0

richiesta, dovrà essere superiore agli 1.23 ampere (calcolati al punto a) necessari per i 250 N,
di conseguenza avremo una

$i(t)={{I}_{0}}\left( 1-{{e}^{-\frac{t}{\tau }}} \right)$

e quindi

${{I}_{0}}=\frac{i({{t}_{0}})}{1-{{e}^{-\frac{R}{L}{{t}_{0}}}}}\approx \frac{1.23}{1-{{e}^{-\frac{1}{8.8}\times 10}}}\approx 1.81\,\text{A}$

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