ElectroYou

Salve, vorrei sapere se la risoluzione del mio esercizio è corretta e, eventualmente, in caso di errori, avere dei chiarimenti a riguardo.
L'esercizio in questione è questo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

I è 0.9A per t<0 e 0A per t>0
Il generatore si spegne all'istante t=0.
Determinare la tensione ai capi del condensatore C2, in ogni istante di tempo.

Risoluzione:
per t<0

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Req= R1+R2 =140
V= Req*I=140*0.9=126
Vc1=V*[R1/(R1+R3)]=36
Vc2=Vc1=36

per t>0:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

LKT:
V3 + V2 + Vc2 - V1=0;
V1 = Vc1;

LKC:
i3 + i1 + ic1 =0;
i3 = i2 = ic2;

R.C.:
V1= R1 * i1;
V2= R2 * ic2;
V3 = R3 * ic2;
ic1= C1 * dVc1/dt
ic2= C2 * dVc2/dt

Combinando le varie relazioni e sostituendo i valori arrivo alla seguente equazione:
1.28*10^-3 d^2 Vc2/dt + 0.08 d Vc2/dt + Vc2 =0

L'equazione omogenea, allora è:
1.28*10^-3 λ^2 + 0.08 λ + 1 =0
da cui le due radici sono λ1= -45.22 ; λ2 = -17.27
quindi
Vc2(t)= K1 * e^-45.22 + K2 * e^-17.27 + Vc2p(t) ; **Vc2p=soluzione particolare

Vc2p= A
vc2p'= 0
Vc2p"=0

sostituendo ottengo A=0 --- > Vc2p=0
quindi
Vc2(t)= K1*e^-45.22 + K2 * e^-17.27

Vc2'(t)= - 45.22 K1 * e^-45.22 - 17.27 K2 * e^-17.27

Ora so che Vc2(0-)=36 (ho scritto 0- ma non ho ancora capito la differenza tra 0- e 0+, non sono gli stessi valori??) e mi devo calcolare la derivata di Vc2, solo che da quanto ho capito me la devo ricavare per sostituzione...ehmmm..cioè..non so!! Help!
Come dovrei continuare?
Finora è tutto corretto??

Ciao

isaai.

Per avere una maggiore chiarezza, leggibilità e per evitare fraintendimenti; ti consiglio di scrivere le espsressioni matematiche usando LATEX.
Al seguente link, trovi una piccola guida all' uso:

http://www.electroyou.it/mrc/wiki/intro ... o-di-latex

Cominciamo con gli errori evidenti... innanzitutto le formule e i calcoli vanno scritti in LaTeX (come da regole del forum... anche se detto da me... :mrgreen:

), poi p. es. vedo che nel primo calcolo ti risulta una tensione di 36... 36 cosa ? Caramelle, schiaffi, pere o cosa ? Non ti pare che ad un valore vada associata l'unità di misura della grandezza che stai considerando ? O_/

Edit: postato contemporaneamente a

mrc,

mrc ha scritto:Ciao isaai.

Per avere una maggiore chiarezza, leggibilità e per evitare fraintendimenti; ti consiglio di scrivere le espsressioni matematiche usando LATEX.
Al seguente link, trovi una piccola guida all' uso:

http://www.electroyou.it/mrc/wiki/intro ... o-di-latex

Sì, scusami ma non sono pratica..ho visto il link ma mi sembra difficile :S

isaai ha scritto: ... Vc2=Vc1=36

Eccolo qua un primo errore. ;-)

------------- Edit ----------------

... da cui le due radici sono λ1= -45.22 ; λ2 = -17.27

queste sono esatte, ma sarei curioso di sapere con quante righe di calcoli sei arrivata a quella equazione differenziale; io ti suggerisco di usare la strada degli autovalori, via circuito resistivo associato

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dal quale "sovrapponendo"

$\left\{ \begin{align} & {{i}_{{{C}_{1}}}}=-\frac{{{v}_{{{C}_{1}}}}}{{{R}_{1}}||{{R}_{23}}}+\frac{{{v}_{{{C}_{2}}}}}{{{R}_{23}}} \\ & {{i}_{{{C}_{2}}}}=\frac{{{v}_{{{C}_{1}}}}}{{{R}_{23}}}-\frac{{{v}_{{{C}_{2}}}}}{{{R}_{23}}} \\ \end{align} \right.\quad \to \quad \left\{ \begin{align} & \frac{\text{d}{{v}_{{{C}_{1}}}}}{\text{d}t}=-\frac{{{v}_{{{C}_{1}}}}}{{{C}_{1}}({{R}_{1}}||{{R}_{23}})}+\frac{{{v}_{{{C}_{2}}}}}{{{C}_{1}}{{R}_{23}}} \\ & \frac{\text{d}{{v}_{{{C}_{2}}}}}{\text{d}t}=\frac{{{v}_{{{C}_{1}}}}}{{{C}_{2}}{{R}_{23}}}-\frac{{{v}_{{{C}_{2}}}}}{{{C}_{2}}{{R}_{23}}} \\ \end{align} \right.$

: 2013-09-05_195231.png (34.61 KiB) Osservato 5248 volte

Vc2(t)= K1 * e^-45.22 + K2 * e^-17.27 + Vc2p(t) ; **Vc2p=soluzione particolare
Vc2p= A

Per quanto riguarda la soluzione particolare, non serve supporla costante; qui si vede subito che entrambi i condensatori, a causa di R1 che permette la circolazione di una corrente di scarica per entrambi, saranno scarichi e di conseguenza soluzione particolare a regime nulla.

... Ora so che Vc2(0-)=36 ... e mi devo calcolare la derivata di Vc2, solo che da quanto ho capito me la devo ricavare per sostituzione

Premesso che come ti è già stato fatto notare (nel successivo post) vc2(0+)=vc2(0-)=126 volt, qui siamo alle solite, ovvero al problema del calcolo della condizione iniziale per la derivata vc2'(0+) che purtroppo, non essendo vincolata alla continuità, potrà tranquillamente essere diversa da vc2'(0-).

La suddetta condizione iniziale può però essere ricavata dal circuito resistivo associato, sostituendo ai condensatori due GIT di valore pari alla loro condizione iniziale, vc1(0+) e vc2(0+) che, grazie alla continuità saranno pari alle corrispondenti vc1(0-)=36V e vc2(0-)=126V

Dalla suddetta rete con i GIT che sostituiscono C1 e C2, potrai ricavarti ic1 e ic2 che sono proporzionali secondo 1/C1 e 1/C2 alle suddette derivate delle tensioni; seguendo il consiglio di seguire la strada della equazioni di stato, le avresti già disponibili e basterebbe una semplice sostituzione.

$v_{{{C}_{2}}}^{\prime}(0+)={{\left. \frac{\text{d}{{v}_{{{C}_{2}}}}}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\frac{{{v}_{{{C}_{1}}}}(0+)}{{{C}_{2}}{{R}_{23}}}-\frac{{{v}_{{{C}_{2}}}}(0+)}{{{C}_{2}}{{R}_{23}}}=-\frac{5625}{2}\,\,\frac{\text{V}}{\text{s}}$

... non ho ancora capito la differenza tra 0- e 0+, non sono gli stessi valori?

Sono gli stessi per le tensioni sui condensatori e per le correnti negli induttori che, nelle reti non degeneri, non possono presentare discontinuità; possono invece essere diversi per altre grandezze, per esempio per le correnti nei condensatori o per le tensioni sugli induttori, che possono assumere due valori diversi per t=0- e per t=0+.

Diciamo che con t=0- e t=0+ si intendono i valori assunti dai limiti sinistro e destro delle grandezze, nel punto assunto origine dei tempi t=0, istante nel quale può presentarsi una discontinuità negli ingressi o nella topologia della rete, causata per esempio dalla forma d'onda dei generatori, ovvero da gradini o "accensioni" o "spegnimenti" degli stessi o ancora da aperture o chiusure di interruttori.

Allora, provo a darti una mano...

La corrente su R_2

non ci scorre, essendo il ramo aperto, per cui la tensione $V_{C2}$ è uguale a quella ai capi del generatore indipendente di corrente.

$V_{C_1}=V_{R_1}=R_1I=40 \times 0.9=36 V$

$V_{R_3}=R_3I=100 \times 0.9=90 V$

Quindi, per la KVL:

$V_{C_2}=V_{R_3}+V_{R_1}=V_{R_3}+V_{C_1}=90+36=126 V$

isaai ha scritto:Sì, scusami ma non sono pratica..ho visto il link ma mi sembra difficile :S

isaai, non è per niente difficile, se segui la guida che ti ho indicato in nemmeno mezz' ora ne impari l' uso; in seguito, con un po' di manualità, riuscirai a scrivere, in maniera decente, tutte le espressioni matematiche che vorrai.

E' comunque una questione di chiarezza.

gotthard ha scritto:Allora, provo a darti una mano...

Ma...ma...il prof non me l'ha dato come errore!! :shock:

Vi spiego..quest'esercizio fa parte di una prova d'esame che ho fatto non molto tempo fa e che non ho superato. Io l'ho fatto fin dove vi ho mostrato ed il prof non mi ha segnalato nessun errore fino a quel punto!

RenzoDF ha scritto:sarei curioso di sapere con quante righe di calcoli sei arrivata a quella equazione differenziale; io ti suggerisco di usare la strada degli autovalori, via circuito resistivo associato

Bè..ci sono arrivata dopo 11 righe di calcoli! :oops:

..so che avrei potuto utilizzare il metodo del circuito resistivo associato, ma non so perché evito sempre! :roll:

RenzoDF ha scritto:Diciamo che con t=0- e t=0+ si intendono i valori assunti dai limiti sinistro e destro delle grandezze, nel punto assunto origine dei tempi t=0, istante nel quale può presentarsi una discontinuità negli ingressi o nella topologia della rete, causata per esempio dalla forma d'onda dei generatori, ovvero da gradini o "accensioni" o "spegnimenti" degli stessi o ancora da aperture o chiusure di interruttori.

Ok, ma quando analizzo il comportamento del circuito per t<0 e trovo che Vc2=126, quel Vc2 è al tempo 0-? E' sempre così?
perché il prof, quando ci fece fare delle esercitazioni in aula, in un esercizio scrisse Vc(0+) e in un altro Vc(0-)...mah!

isaai ha scritto:...Ma...ma...il prof non me l'ha dato come errore!! Vi spiego..quest'esercizio fa parte di una prova d'esame che ho fatto non molto tempo fa e che non ho superato. Io l'ho fatto fin dove vi ho mostrato ed il prof non mi ha segnalato nessun errore fino a quel punto!

Lascia perdere cosa t'ha detto il tuo professore, che non è per forza "vangelo", dimmi solo cosa ne pensi tu, ora che

gotthard ti ha spiegato per filo e per segno il metodo e il risultato corretto.

Porta ad ogni modo i miei "complimenti" al tuo professore; se andiamo avanti così, la prova d'esame potrebbe tranquillamente essere sostituita con l'estrazione del voto dal sacchetto della tombola. :-)

BTW possiamo sapere cosa, dove, e con che professore stai studiando?

ElectroYou

Risoluzione circuito

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