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Salve a tutti ragazzi, c'è un esercizio che continua a non risultare e mi sta proprio facendo impazzire! Il problema è nel calcolo delle condizioni iniziali.
Testo dell'esercizio:

: Schermata 10-2456593 alle 14.20.41.png (72.69 KiB) Osservato 4711 volte

Calcolo le condizioni iniziali.
Studio il circuito:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Si applichi il metodo dei potenziali di nodo, scegliendo come nodo di riferimento 1.
Si scrivano le LKC ai nodi 2, 3 e 4
$nodo2: -i_1+i_L-V_c=0$
$nodo3: i_3-i_2-i_L+V_c=0$
$nodo4: -i_3-i_c+10=0$
Osserviamo che:
$i_1=-e_2, i_2=-e_3, i_3=e_3-e_4, i_L=(e_2-e_3)/2i, i_c=-2ie_4, V_c=-e_4$
Sostituendo nelle equazioni precedenti si ottiene il seguente sistema:
$e_2+(e_2-e_3)/2i+e_4=0, e_3-e_4+e_3+(e_3-e_2)/2i-e_4=0, e_4-e_3+2ie_4+10=0$
che ha per soluzione:
$e_2=25/6-5i/2, e_3=-5/2+25i/6, e_4=-5/6+35i/6$
Da cui segue che:
$V_c=-e_4=5/6-35i/6$
e nel dominio del tempo:
$V_c(0)=0.83V$
e, allo stesso modo:
$i_L=-20/6-20i/6$
e nel dominio del tempo:
$i_L(0)=-3.33A$

Vi tornano i calcoli? Mi sta venendo pure il dubbio di non sapere applicare il metodo dei potenziali di nodo #-o

edomar ha scritto:... Vi tornano i calcoli?

Tutti.

edomar ha scritto: Mi sta venendo pure il dubbio di non sapere applicare il metodo dei potenziali di nodo

Perché te lo chiedi?

Grazie mille Renzo, disponibile come al solito! A questo punto posto il resto dell'esercizio, per capire dove sia l'errore! Le equazioni di stato con calcoli semplici risultano:
$\frac{\mathrm{d} V_c}{\mathrm{d} x}=-i_L/2, \frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} x}=2V_c-3i_L/2$
da cui segue che:
$\frac{\mathrm{d} i_L}{\mathrm{d} x}(0)=6.66$
Eliminando la Vc si trova il seguente problema di Cauchy:
$i''_L+1.5i'_L+i_L=0, i_L(0)=-3.33, i'_L(0)=6.66$
che ha per soluzione:
$i_L(t)=e^{-0.75t}(6.29sin(0.661t)-3.33cos(0.661t))$
Derivando si trova la tensione sull'induttore, essendo l'induttanza unitaria:
$V_L(t)=e^{-0.75t}(-2.52sin(0.661t)+6.66cos(0.661t))$
che però non coincide con il risultato riportato...

RenzoDF ha scritto:Perché te lo chiedi?

In ogni transitorio sbaglio sistematicamente le condizioni iniziali #-o

edomar ha scritto:... In ogni transitorio sbaglio sistematicamente le condizioni iniziali

Hai proprio ragione, da dove arriva quella condizione iniziale per la i'L(0+)?

, ... suppongo tu l'abbia ricavata supponendo che vL(0+) sia uguale alla vL(0-)=20/3, ovvero dal regime per t < 0, come hai fatto (correttamente) per la iL(0+) che hai ritenuto uguale a iL(0-); il problema è che mentre la corrente iL(t) non può presentare discontinuità nel passaggio fta t=0- a t=0+, così non si può dire per la vL(t) che può tranquillamente essere discontinua.

Ne segue che la vL(0+) dovrai ricavartela dalle equazioni di stato, sfruttando la continuità delle grandezze di stato, ovvero la vC e la iL, che non possono presentare discontinuità in una rete non degenere. ;-)