ElectroYou

Nel circuito in figura, il generatore di tensione si accende all’istante t=0.
Determinare la corrente che scorre nell’induttore in ogni istante di tempo.

Dati:
R1 = 400
R2 = 200
R3 = 100
L = 0.2H
Io = 90 mA
Eo(t)= 0V per t<0
____ 10V per t>0
Inizio con il fare delle considerazioni: sostituisco con il filo all'induttore mentre il generatore Eo per t<0 non è presente. Lo schema sarà:

per t<0
risolvo il sistema di equazioni tenendo presente che lungo R1 non circola corrente perciò i2=iL

Calcolo dalla seconda:

quindi:
iL(o-)=i2 ------->il(0-)=0.04 A

Ora per t>0

Siccome la traccia richiede in funzione del tempo non posso effettuare la sovrapposizione degli effetti altrimenti non so se il valore di A coincide.

Risolvo il sistema per sostituzione fino ad ottenere:

Riordino:










Trovo da qui B= 0.005



Infine ricavo A imponendo IL(0-)=IL(0+)


A=0.035

La corrente nell'induttore in ogni istante di tempo sarà pari a:


Ragazzi se qualcosa non va correggete indicandomi il modo corretto per procedere, grazie!

Per la prima parte, t<0, puoi semplicemente usare un partitore di corrente fra R2 e R3. Come hai giustamente detto in R1 non passa corrente.

Per la seconda parte, t>0, perche' non puoi usare la sovrapposizione degli effetti? La rete e` lineare e quindi la si puo` usare.

Quando consideri solo il generatore di corrente hai un set di valori costanti nel tempo, inclusa la corrente in L.

Poi consideri solo il generatore di tensione a gradino, e risolvi con condizioni iniziali nulle in L, dato che quando c'e` solo il gen a gradino, il generatore di corrente e` aperto. A t=0- la corrente in L e` nulla (ovviamente!) e a t=0+ e` ancora nulla, poi comincia a crescere tendendo al valore E/R1.

Sommi questa corrente e quella costante data dal generatore di corrente e questa e` la soluzione. La costante di tempo vale L/Req, dove la Req e` la resistenza equivalente vista da L, R1//(R2+R3). Se non vuoi farla circuitalmente, puoi scrivere le equazioni e viene lo stesso. In realta` hai gia` trovato il valore della costante di tempo.

Questo circuito e` semplice da calcolare perche' la sua topologia non cambia nel tempo, non ci sono interruttori che si aprono o si chiudono cambiando lo "schema". Anche se ci fossero interruttori si potrebbe comunque usare la sovrapposizione, bisognerebbe pero` fare attenzione alle condizioni iniziali quando si ha il cambiamento della topologia.

COMPLIMENTI per l'uso di fidocadj e di latex! Potresti ancora migliorare scrivendo anche i valori dei componenti direttamente dentro lo schema

Osservo che la dizione "si accende" riferita al generatore di tensione
è equivoca:
dai dati sembra che il generatore sia sempre inserito, ma che la sua tensione
sia =0 per t<0.
Se è così, non varrebbe l'assunzione che per t<0 in R1 non circola corrente.
Sarebbe giusto solo se il generatore si inserisce al tempo t=0
con un contatto NA in serie.

luciano87 ha scritto:... se qualcosa non va correggete indicandomi il modo corretto per procedere,

Per "verificare insieme" sevirebbe conoscere sia i versi dei generatori sia quelli assunti per le correnti che hai usato nei tuoi calcoli; senza quelle precisazioni non può essere controllato un bel nulla, ... se non il risultato, che anche un idraulico come me vede che è errato ... ovvero ... come puoi avere una corrente che sale all'infinito in quella rete?

RenzoDFScusate la leggerezza di non mettere i versi, integro qui:


per t<0 ho ipotizzato:

... e per quanto riguarda l'esponente positivo dell'esponenziale, che mi dici?

... e questa relazione

luciano87 ha scritto:...

... da dove arriva?

e ... J chi mi rappresenta?

luciano87 ha scritto:...

e questa relazione ... che sia corretta con quella scelta per il verso della i1?

Calcolata la condizione iniziale per la corrente nell'induttore (per t < 0), per ottenere l'andamento in transitorio della iL(t), puoi semplicemente determinare il suo valore a regime, per t > 0 (iL(inf)), pari alla corrente di cortocircuito ai suoi morsetti della rete al contorno ed applicare quindi la relazione notevole per i circuiti ad una sola costante di tempo

Per quanto riguarda la prima parte ossia per t<0 ho rivisitato i calcoli e mi auto correggo:


da cui ricavo dal sistema
e per differenza
da cui

Rivisitando i suggerimenti di IsidoroKZ
Ho svolto la medesima parte applicando l'uso del partitore:

e suppongo sia corretto il valore.

Per t>0 sto rivedendo i calcoli e provare con la sovrapposizione

Cercherò di migliorare se possibile IsidoroKZ
E' ok ora l'esercizio o sono presenti ulteriori errori?
Scusate se elenco tutti i passaggi ma sono alle prime armi quindi voglio esser sicuro.
Aspetto vostre risposte, grazie!

t<0



ricavo dal sistema
e per differenza
da cui

I calcoli precedenti possono essere velocizzati con l'uso del partitore:



t>0
spengo il generatore di tensione:





riordino i termini e sostituisco i valori:

calcolata la costante

e passo al calcolo di B





Completo calcolando A imponendo
dunque ottengo

Ora accendo il generatore di tensione seguendo questa logica:

IsidoroKZ ha scritto:..Poi consideri solo il generatore di tensione a gradino, e risolvi con condizioni iniziali nulle in L, dato che quando c'e` solo il gen a gradino, il generatore di corrente e` aperto. A t=0- la corrente in L e` nulla (ovviamente!) e a t=0+ e` ancora nulla..

semplifico lo schema facendo la serie:
e procedo con le equazioni:
fino ad ottenere l'espressione

la costante sarà pari a

avremo
Procedo nuovamente con il calcolo di B ed A




Completo calcolando A imponendo
dunque ottengo



SI PUO' ABBREVIARE QUESTA PARTE DI CALCOLO RICAVANDO LA COSTANTE E LA RESISTENZA EQUIVALENTE (visto da L)



e tenendo conto

IsidoroKZ ha scritto:..poi comincia a crescere tendendo al valore E/R1.

IsidoroKZ ha scritto:Sommi questa corrente e quella costante data dal generatore di corrente e questa e` la soluzione. La costante di tempo vale L/Req, dove la Req e` la resistenza equivalente vista da L, R1//(R2+R3). Se non vuoi farla circuitalmente, puoi scrivere le equazioni e viene lo stesso. In realta` hai gia` trovato il valore della costante di tempo.

CONCLUDO sommando il tutto


La corrente che scorre nell’induttore in ogni istante di tempo sarà

luciano87 ha scritto:t<0

I calcoli precedenti possono essere velocizzati con l'uso del partitore:



t>0
spengo il generatore di tensione:

Il circuito, quando spegni il generatore di tensione, e` alimentato da una corrente continua, che e` cominciata prima del big bang e finira` dopo il big crunch. Non serve separare in due parti, e` sempre lo stesso circuito, non cambia ne' la topologia ne' il generatore.

La corrente in L dovuta a Io e` di 30mA, e tale rimane sempre! Puoi dimenticartene per tutti gli altri conti e poi sommarla alla fine.

luciano87 ha scritto:Ora accendo il generatore di tensione seguendo questa logica:

semplifico lo schema facendo la serie:
e procedo con le equazioni:

Oltre a mettere in serie R2 e R3 puoi fare un equivalente Thevenin di tutto quello che c'e` fuori dall'induttanza



La corrente nell'induttanza parte da zero e sale fino a . La costante di tempo vale .

I due contributi di corrente e quella complessiva sono indicati nella figura seguente



L'espressione finale che hai scritto non e` corretta per due ragioni. La prima e` che l'espressione non distingue fra t<0 e t>0, la seconda e` che il coefficiente dell'esponenziale dovrebbe essere 25mA.

Tanto per completare quello che intendevo dire, ricavata la condizione iniziale iL(0)=30 mA via partitore, ricavata la corrente a regime per t > 0 aggiungendo il contributo del GIT



e la costante di tempo,



dalla la relazione notevole



si ottiene