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ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 9 dic 2013, 19:02
da luciano87
Segnalate errori se presenti, indicando il modo giusto per procedere, oppure se ci sono altri metodi per svolgere l'esercizio. Grazie! ;-)

Nel circuito in figura, il generatore si accende all'istante t=0.
Determinare la corrente nell'induttore L in ogni istante di tempo.



per t<0

Il generatore di corrente è pari a zero, pertanto \[i_{L}=0\]

per t>0



La corrente che circola in L è la stessa lungo R1, si può semplificare

\[R_{12}=R_{1}//R_{2}=24\Omega\]

\[i= I_{0}\frac{R_{3}}{R_{12}+R_ {3}}=0.9\frac{100}{100+24}=0.72A\]

con la regola del partitore trovo i1
\[i_{1}= i\frac{R_{2}}{R_{1}+R_ {2}}=0.432A\]

\[{R_{eq}}=R_{1}+R_{2}=40+60=100\]
\[\tau =\frac{L}{R_{eq}}=\frac{0.4}{100}\]

dove: \[i_{L(\infty )}=i_{L}(0)+i= 0+0.432\]

la corrente nell'induttore in ogni istante di tempo sarà:
\[i_{L}(t)=[i_{L(0)}-i_{L(\infty )}]e^{-\frac{t}{\tau }}+i_{L(\infty )}\]

\[i_{L}(t)= (0-0.432)e^{-250t}+0.432\]

\[i_{L}(t)= +0.432-0.432e^{-250t}\]

Oppure tramite il sistema di equazioni:
\[\begin{cases} & \ i=i_{L}+i_{2} \\ & \ V_{2}=V_{L}+V_{1} \end{cases} \; tenendo\; conto\; che\; \; i_{L}=i_{1}\]
risolvo ed ordino:
\[V_{L}+i_{L}[R_{1}+R_{2}]=R_{2}i\]

\[\lambda +\frac{R_{1}+R_{2}}{L}=0\; \; \Rightarrow \lambda=-250\]

\[y_{oi_{L}}=Ae^{-250t}\]

\[y_{pi_{L}}: \frac{(R_{1}+R_{2})}{L}B=\frac{R_{2}i}{L}\; \; \Rightarrow B=0.432\]

\[y_{pi_{L}}=Ae^{-250t}+0.432\]

trovo A imponendo:
\[i_{L}(0^{-})=i_{L}(0^{+})\]

\[0= A+0.432\; \; \Rightarrow A=-0.432\]

\[i_{L}(t)=-0.432e^{-250t}+0.432\]

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 9 dic 2013, 22:33
da mavesla
luciano87 ha scritto:\[{R_{eq}}=R_{1}+R_{2}=40+60=100\]

Forse ti sei perso la R_{3} nel calcolo della R_{eq} vista dall'induttanza?
Per altre osservazioni meglio aspettare rinforzi!! :D

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 10 dic 2013, 14:59
da IsidoroKZ
La seconda soluzione e` lunga e quindi e` sbagliata! Nei circuiti a una sola costante di tempo tutte le grandezze sono o costanti o si muovono come esponenziali da un valore iniziale a un valore finale. Per tutte queste forme d'onda basta conoscere i due valori e la costante di tempo, come hai fatto nella prima soluzione.

In questo caso poi il circuito non cambia, non ci sono interruttori che modificano la topologia e quindi basta trovare i_L(0), i_L(\infty) e la costante di tempo \tau=\frac{L}{R_{eq}}.

Accidentalmente perche' non mettete i valori dei componenti dove devono essere, come qui



La corrente il(oo) viene calcolata con un partitore di corrente: i_L(\infty)=I_o\frac{G_1}{G_1+G_2+G_3}=435\text{mA} dove le G sono le conduttanze dei tre elementi resistivi.

Se proprio vuoi fare un partitore di corrente a due elementi, metti in parallelo R2 ed R3, cosi` fai un solo parallelo e hai subito la corrente che ti interessa.

Vedi le ultime righe di questo messaggio, che secondo me sono fondamentali viewtopic.php?f=10&t=48916&p=459874&#p459874

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 10 dic 2013, 18:17
da luciano87
Perfetto Foto UtenteIsidoroKZ, avevo dimenticato questa casistica! #-o
Quindi nel circuito ad una sola costante avrò:

t<0
Il generatore di corrente è pari a zero, pertanto \[i_{L}=0\]

t>0

Il calcolo di R_{eq} visto da L è corretto?
luciano87 ha scritto:\[{R_{eq}}=R_{1}+R_{2}=40+60=100\]
\[\tau =\frac{L}{R_{eq}}=\frac{0.4}{100}\]

i_L(\infty)=I_o\frac{G_1}{G_1+G_2+G_3}=0.435\text{A}

la corrente nell'induttore in ogni istante di tempo sarà:
\[i_{L}(t)=[i_{L(0)}-i_{L(\infty )}]e^{-\frac{t}{\tau }}+i_{L(\infty )}\]

\[i_{L}(t)= (0-0.435)e^{-250t}+0.435\]

\[i_{L}(t)= +0.435-0.435e^{-250t}\]

Al massimo se voglio seguire la strada del partitore avrò gli stessi calcoli per R_{eq} e \tau, continuo con il calcolare:

\[R_{23}=R_{2}//R_{3}=37.5\Omega\]

\[i_{L}= I_{0}\frac{R_{23}}{R_{23}+R_ {1}}=0.9\frac{37.5}{37.5+40}=0.435A\]

dove:\[i_{L(\infty )}=i_{L}(0)+i= 0+0.435\]

la corrente nell'induttore in ogni istante di tempo sarà:
\[i_{L}(t)=[i_{L(0)}-i_{L(\infty )}]e^{-\frac{t}{\tau }}+i_{L(\infty )}\]

\[i_{L}(t)= (0-0.435)e^{-250t}+0.435\]

\[i_{L}(t)= +0.435-0.435e^{-250t}\]

Il sistema di equazioni siccome troppo lungo, non è valido come soluzione ma lo posso utilizzare solo come verifica dei risultati ottenuti?

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 10 dic 2013, 18:52
da IsidoroKZ
Dimentichi R3 nel calcolo della resistenza equivalente! Se vuoi verificare ogni tanto con le eq diff e` ok, ma talvolta richiedono troppo tempo.

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 10 dic 2013, 22:04
da luciano87
IsidoroKZ ha scritto:Dimentichi R3 nel calcolo della resistenza equivalente!

Foto UtenteIsidoroKZ correggo con:
\[{R_{eq}}=(R_{1}+R_{2}) //R_{3}
dovrebbe andare ora..
^_^

Mi cimento in un nuovo esercizio..!

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 10 dic 2013, 22:49
da IsidoroKZ
No, fermo li`!

Nel circuito che stai studiando, con Io=0A (cioe` un circuito aperto), guardando la resistenza vista dalla L rispondi a queste domande. La risposta alla prima parte puo` essere serie, parallelo, ne' serie ne' parallelo.

Come sono collegate R1 ed R2? Perche'?
Come sono collegate R1 ed R3? Perche'?
Come sono collegate R3 ed R2? Perche'?

Nota che sono 6 domande. Mi sa che ti manca la capacita` di vedere quando due Z sono in serie o in parallelo.

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 11 dic 2013, 13:00
da luciano87
Ho seguito questa logica per il calcolo di Req visto da L


mi sono lasciato prendere dal fatto che non combaciasse il risultato ottenuto con le equazioni, pertanto ho ricontrollato i passaggi ed ho riscontrato un'imprecisione di calcolo lì!

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 11 dic 2013, 13:49
da IsidoroKZ
Ok, ma non hai risposto alle 6 domande che ho fatto.

Re: ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile

MessaggioInviato: 11 dic 2013, 19:36
da luciano87
Nello schema sopra indicato, semplifico il sistema partendo da destra visto che osservo da L, quindi ne risulta un parallelo e una successiva serie.

IsidoroKZ ha scritto:Come sono collegate R1 ed R2? Perche'?
Come sono collegate R1 ed R3? Perche'?
Come sono collegate R3 ed R2? Perche'?

Rifacendomi alle domande: se considero solo R1 ed R2 (escluso la semplificazione precedente in parallelo R2//R3) osservo tra questi un parallelo.
R1 e R3 in serie
R2 e R3 un parallelo

Il perché non saprei spiegartelo se non con una definizione:
le resistenze in parallelo sono poste alla stessa differenza di potenziale cioè ho correnti diverse che si diramano o comunque se riesco a formare più di una maglia; mentre quelle in serie sono attraversate dalla stessa corrente ma con tensioni differenti ed ho un'unica maglia.

spero di aver afferrato il senso...