ESERCIZIO 2 - un solo generatore variabile
Inviato: 9 dic 2013, 19:02Segnalate errori se presenti, indicando il modo giusto per procedere, oppure se ci sono altri metodi per svolgere l'esercizio. Grazie! 
Nel circuito in figura, il generatore si accende all'istante t=0.
Determinare la corrente nell'induttore L in ogni istante di tempo.
per t<0
Il generatore di corrente è pari a zero, pertanto![\[i_{L}=0\]](/forum/latexrender/pictures/x8e4a1f801987071e31362ddad995d8bd.png.pagespeed.ic.axHuoco0wA.png "\[i_{L}=0\]")
per t>0
La corrente che circola in L è la stessa lungo R1, si può semplificare
![\[R_{12}=R_{1}//R_{2}=24\Omega\]](/forum/latexrender/pictures/x932e49e6b1103da3fa72ccc578bf5952.png.pagespeed.ic.R077SjZZUQ.png "\[R_{12}=R_{1}//R_{2}=24\Omega\]")
![\[i= I_{0}\frac{R_{3}}{R_{12}+R_ {3}}=0.9\frac{100}{100+24}=0.72A\]](/forum/latexrender/pictures/xce9cf4e24518f470f73e729b5b528559.png.pagespeed.ic.Nc_xIFsxHJ.png "\[i= I_{0}\frac{R_{3}}{R_{12}+R_ {3}}=0.9\frac{100}{100+24}=0.72A\]")
con la regola del partitore trovo i1
![\[i_{1}= i\frac{R_{2}}{R_{1}+R_ {2}}=0.432A\]](/forum/latexrender/pictures/x71093eeda0fa228abab719e3bccc7eb4.png.pagespeed.ic.0Eq2dkSC11.png "\[i_{1}= i\frac{R_{2}}{R_{1}+R_ {2}}=0.432A\]")
![\[{R_{eq}}=R_{1}+R_{2}=40+60=100\]](/forum/latexrender/pictures/xaa60f45b8a7ad4a98b7316246d59d843.png.pagespeed.ic.BQ9Q4Iax-6.png "\[{R_{eq}}=R_{1}+R_{2}=40+60=100\]")
![\[\tau =\frac{L}{R_{eq}}=\frac{0.4}{100}\]](/forum/latexrender/pictures/x4e5152a89a465c0f62c4b2a309547e3c.png.pagespeed.ic.qKEHop8kON.png "\[\tau =\frac{L}{R_{eq}}=\frac{0.4}{100}\]")
dove:![\[i_{L(\infty )}=i_{L}(0)+i= 0+0.432\]](/forum/latexrender/pictures/x58e01a92aa5d4b575e248c520a47d346.png.pagespeed.ic.6Hxj8174ry.png "\[i_{L(\infty )}=i_{L}(0)+i= 0+0.432\]")
la corrente nell'induttore in ogni istante di tempo sarà:
![\[i_{L}(t)=[i_{L(0)}-i_{L(\infty )}]e^{-\frac{t}{\tau }}+i_{L(\infty )}\]](/forum/latexrender/pictures/3cc4f02624baa19c4d6ea3ec94f7b95d.png "\[i_{L}(t)=[i_{L(0)}-i_{L(\infty )}]e^{-\frac{t}{\tau }}+i_{L(\infty )}\]")
![\[i_{L}(t)= (0-0.432)e^{-250t}+0.432\]](/forum/latexrender/pictures/69832bbfc2f9c18b45ffccdb9599649a.png "\[i_{L}(t)= (0-0.432)e^{-250t}+0.432\]")
![\[i_{L}(t)= +0.432-0.432e^{-250t}\]](/forum/latexrender/pictures/38a60fa80e768056acd2c407f5d74b3a.png "\[i_{L}(t)= +0.432-0.432e^{-250t}\]")
Oppure tramite il sistema di equazioni:
![\[\begin{cases} & \ i=i_{L}+i_{2} \\ & \ V_{2}=V_{L}+V_{1} \end{cases} \; tenendo\; conto\; che\; \; i_{L}=i_{1}\]](/forum/latexrender/pictures/x0c6c8f70feb1745eb2bc79b08362289b.png.pagespeed.ic.TZYfmj0W9w.png "\[\begin{cases} & \ i=i_{L}+i_{2} \\ & \ V_{2}=V_{L}+V_{1} \end{cases} \; tenendo\; conto\; che\; \; i_{L}=i_{1}\]")
risolvo ed ordino:
![\[V_{L}+i_{L}[R_{1}+R_{2}]=R_{2}i\]](/forum/latexrender/pictures/x09713ca857986dfd0e7372b426cdfe53.png.pagespeed.ic.2I7SO4R-C5.png "\[V_{L}+i_{L}[R_{1}+R_{2}]=R_{2}i\]")
![\[\lambda +\frac{R_{1}+R_{2}}{L}=0\; \; \Rightarrow \lambda=-250\]](/forum/latexrender/pictures/x1ccba9e556a2a3da0da8387db3c205b4.png.pagespeed.ic.ZOViNLJStq.png "\[\lambda +\frac{R_{1}+R_{2}}{L}=0\; \; \Rightarrow \lambda=-250\]")
![\[y_{oi_{L}}=Ae^{-250t}\]](/forum/latexrender/pictures/x05359a9918dbef68069cb2d5349c46fb.png.pagespeed.ic.UXO8ADrATq.png "\[y_{oi_{L}}=Ae^{-250t}\]")
![\[y_{pi_{L}}: \frac{(R_{1}+R_{2})}{L}B=\frac{R_{2}i}{L}\; \; \Rightarrow B=0.432\]](/forum/latexrender/pictures/xc63d5cdea07d36d19d8c89ba04059de1.png.pagespeed.ic.qndjhwiuPj.png "\[y_{pi_{L}}: \frac{(R_{1}+R_{2})}{L}B=\frac{R_{2}i}{L}\; \; \Rightarrow B=0.432\]")
![\[y_{pi_{L}}=Ae^{-250t}+0.432\]](/forum/latexrender/pictures/x147e40321fa3074859d35dac9b6c4731.png.pagespeed.ic.Swt4hvpIG6.png "\[y_{pi_{L}}=Ae^{-250t}+0.432\]")
trovo A imponendo:
![\[i_{L}(0^{-})=i_{L}(0^{+})\]](/forum/latexrender/pictures/x31196e48afa3d907fbd1ef5c684d1a36.png.pagespeed.ic.8h8-yY0vLf.png "\[i_{L}(0^{-})=i_{L}(0^{+})\]")
![\[0= A+0.432\; \; \Rightarrow A=-0.432\]](/forum/latexrender/pictures/x4f630a237174fedc69b108e19e09e342.png.pagespeed.ic.a2_XtyIvwd.png "\[0= A+0.432\; \; \Rightarrow A=-0.432\]")
![\[i_{L}(t)=-0.432e^{-250t}+0.432\]](/forum/latexrender/pictures/f5ab3ea0a37d69432bfdca66deda72bf.png "\[i_{L}(t)=-0.432e^{-250t}+0.432\]")
Nel circuito in figura, il generatore si accende all'istante t=0.
Determinare la corrente nell'induttore L in ogni istante di tempo.
per t<0
Il generatore di corrente è pari a zero, pertanto
per t>0
La corrente che circola in L è la stessa lungo R1, si può semplificare
con la regola del partitore trovo i1
dove:
la corrente nell'induttore in ogni istante di tempo sarà:
Oppure tramite il sistema di equazioni:
risolvo ed ordino:
trovo A imponendo:
nel calcolo della 
vista dall'induttanza?
, 
e la costante di tempo 
.
dove le G sono le conduttanze dei tre elementi resistivi.
![\[i_{L}(t)= (0-0.435)e^{-250t}+0.435\]](/forum/latexrender/pictures/xefa7c8bf8ee0a52fa8db3ef1994cc76f.png.pagespeed.ic.1OAsI7HqgL.png "\[i_{L}(t)= (0-0.435)e^{-250t}+0.435\]")
![\[i_{L}(t)= +0.435-0.435e^{-250t}\]](/forum/latexrender/pictures/x5439e32613707fad28855f73f1be8ba2.png.pagespeed.ic.29TsQm-xVC.png "\[i_{L}(t)= +0.435-0.435e^{-250t}\]")
, continuo con il calcolare:![\[R_{23}=R_{2}//R_{3}=37.5\Omega\]](/forum/latexrender/pictures/x4798b87fabcc2f47237796dd29d8b0b3.png.pagespeed.ic.73mcs1r5V6.png "\[R_{23}=R_{2}//R_{3}=37.5\Omega\]")
![\[i_{L}= I_{0}\frac{R_{23}}{R_{23}+R_ {1}}=0.9\frac{37.5}{37.5+40}=0.435A\]](/forum/latexrender/pictures/x82ae84219ab192550fcc4d54f6631c45.png.pagespeed.ic.cn9CXldluG.png "\[i_{L}= I_{0}\frac{R_{23}}{R_{23}+R_ {1}}=0.9\frac{37.5}{37.5+40}=0.435A\]")
![\[i_{L(\infty )}=i_{L}(0)+i= 0+0.435\]](/forum/latexrender/pictures/x2ee439a6627b722a0f5ff6aee3dfad24.png.pagespeed.ic.EzP7c4BA3M.png "\[i_{L(\infty )}=i_{L}(0)+i= 0+0.435\]")
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