ElectroYou

Va bene? Correggete dove ho sbagliato, grazie.

Determinare la corrente che scorre nell’induttore in ogni istante di tempo. t=0 chiude

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

t<0

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Ricavo con stella triangolo $R_{13}=173.33\Omega$

$R_{eq}=44.57\Omega$

$I=\frac{E}{R_{eq}}= 2.24A$

$i_L=I\frac{R_2}{R_2+R_{13}}=0.576A$

t=0

$\begin{align*} R_1//R_2=24\Omega\\ R_{eq}=R_{12}//R_3=104\Omega \end{align*}$

$\lambda =-520$

t>0

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$i_L=i_3+i$

ma è cortocircuitata sia $R_3$ che $R_2$

quindi $i_L=\frac{E}{R_1}=2.5A$

infine $i_L(t)=-1.924e^{-520t}+2.5$

Il metodo che segui non è sbagliato ma ti consiglio di svolgerlo nel regime della variabile di Laplace (reg. transitorio), dato che si tratta di un circuito 'con memoria' (le grandezze dipendono dal tempo e in + c'è l'interruttore).
Per t<0 ho un circuito 2 maglie:

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Da cui ho il sistema risolvente:

$\begin{bmatrix} 0,2s+120 & -40 \\ -40 & 100 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_1\\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 100\\ -100 \end{bmatrix}$

Con la regola di cramer ottengo subito:

$I_1 (s) = -\frac{300}{s+520} < 0$

E antitrasformando:
$I_L (t) = \mathfrak{L}^{-1} [I_L (s)] = 300exp{-520t}$

Fai ora attenzione alle condizioni iniziali (che non sono nulle per L):

I_L(0)=300 A

Analisi in reg. transitorio per t>0.

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E' presente un generatore di tensione $L \cdot I_L(0)$ (nel regime di Laplace) che rappresenta le tue condiz. iniziali per L.
Con il vincolo I_1 = 0

del corto-circuito ho il sistema risolvente:

$\begin{bmatrix} 0,2s+120 & -80 \\ -80 & 140\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -160 \\ 100 \end{bmatrix}$

Che da'

$I_2 (s) = -\frac{3600}{7s+2600}$

Antitrasformo e in modo analogo a sopra ho:

$I_L (t) =~ 514,3exp{-371,4t}$

Grazie

davideAg per il consiglio, proverò :ok:

davideAg ha scritto:Il metodo che segui non è sbagliato ma ti consiglio di svolgerlo nel regime della variabile di Laplace (reg. transitorio),
$I_L (t) =~ 514,3exp{-371,4t}$

Se porta a quel risultato però, Laplace è davvero un metodo "pericoloso"! :-)

Secondo quello che racconta quella funzione del tempo, al tempo t=0, nell'induttore verrebbero a scorrere
514 ampere e per t tendente a infinito 0 ampere, che sia ammissibile? :roll:

Io direi che sia sufficiente calcolare la corrente a regime prima e dopo la chiusura dell'interruttore, ovvero ${{i}_{L}}(0)$ e ${{i}_{L}}(\infty )$ che, con la costante di tempo relativa alla resistenza equivalente Req "vista" dall'induttore, permetterebbero di applicare la classica relazione notevole

${{i}_{L}}(t)={{i}_{L}}(\infty )-\left[ {{i}_{L}}(\infty )-{{i}_{L}}(0) \right]{{e}^{-\frac{{{R}_{eq}}}{L}t}}$

metodo che, se non erro, sembra aver seguito anche

luciano87. :ok:

Come si suol dire qui a SB, usare un Caterpillar per piantare una margherita può essere very dangerous! ;-)

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Venendo ora alla richiesta di

luciano87 di controllo del metodo seguito, osservo come:

i) l'uso della stravagante trasformazione stella-triangolo potesse essere sostituita per esempio da un più veloce Millman o meglio ancora da una "falsa posizione" che, considerata una rete equivalente scalata di un fattore 10, ipotizza una (conveniente) iLf di 3 ampere e quindi ad una i2 di 4A, una i1=-7A ed una Ef=3x8+7x4=52V, avrebbe portato direttamente, dalla semplice ispezione della rete, senza calcolo ferire, ad una vera corrente

${{i}_{L}}(0)=k\,{{i}_{Lf}}=\frac{E}{{{E}_{f}}}{{i}_{Lf}}=\frac{10}{52}\times 3=\frac{15}{26}\,\text{A}$

che va a confermare il suo risultato.

ii) sia corretto il suo calcolo della corrente finale a regime

${{i}_{L}}(\infty )=\frac{5}{2}\,\text{A}$

iii) sia errata la costante di tempo, per un errore di distrazione; lascio a

luciano87 il compito di scovarlo. ;-)

... così come lascio a

davideAg il compito di correggere i suoi, ben più numerosi; giusto un consiglio, occhio ai generatori! ;-)

Beh si infatti con Laplace è un po' pericoloso...Comunque prima della chiusura dell'interruttore il risultato corrisponde con quello di luciano87, ma dopo è un semplice circuito RL e renzoDF ha perfettamente ragione. A me viene:
$I_L (t)= 300e^{-520t}$
per t<0 e
$\begin{equation} \begin{cases} \frac{dI}{dt}+520I = 500\\ I(t=0) = 300 \end{cases} \end{equation}$
con $R_{eq} = R_1 \parallel R_2 + R_3 = 104$ a t>0. Con la costante di tempo $\tau$ ho:
$1/ \tau = R_{eq} / L = 104 / 0.2 = 520$

E l'integrale generale:
$I(t) = Ae^{-520t} + I_P(t)$

Che sostituito nella (1) mi da:
I_P (t) = 500

e
$I(t=0) = A+I_P(t) = 300 \to A=-200$

davideAg ha scritto: ...Comunque prima della chiusura dell'interruttore il risultato corrisponde con quello di luciano87, ...

Non mi sembra proprio, la corrente iL di

luciano87 è dalle parti del mezzo ampere ;-)

davideAg ha scritto: ... ma dopo è un semplice circuito RL e renzoDF ha perfettamente ragione. A me viene:...

Per quanto riguarda Laplace, vedo con dispiacere che i consigli non vengono nemmeno presi in considerazione. ;-)

Per quanto riguarda l'ultimo tuo post

davideAg ha scritto:... A me viene:
$I_L (t)= 300e^{-520t}$
per t<0 ...

Come ti dicevo questo è da rivedere: come pensi possa circolare nell'induttore una corrente di 300 ampere per t=0? ...e per tempi negativi poi che cosa uscirebbe da quell'esponenziale? ... hai un generatore equivalente che di certo non può superare i 100 volt e una resistenza equivalente che di certo è superiore alle decine di ohm, quindi di certo la corrente non potrà essere superiore a 10 ampere, non credi?

davideAg ha scritto:... e
$\begin{equation} \begin{cases} \frac{dI}{dt}+520I = 500\\ I(t=0) = 300 \end{cases} \end{equation}$
con $R_{eq} = R_1 \parallel R_2 + R_3 = 104$ a t>0. Con la costante di tempo $\tau$ ho:
$1/ \tau = R_{eq} / L = 104 / 0.2 = 520$ ...

Valore iniziale a parte, che come dicevo non è compatibile con quella rete, per t>0 l'interruttore non è forse chiuso? ... e quindi, che generatore e che resistenza equivalente "vede" l'induttore "guardando" la rete?

Aaaaah ok

effettivamente qua Laplace non mi ha dato i risultari erano valori poco credibili. Comunque ricontrollo per cercare bene gli errori. :ok:

davideAg ha scritto:... effettivamente qua Laplace non mi ha dato i risultari ... poco credibili.

Forse dando un occhio a quello che ho "raccontato" alla "nuvola",
per ricevere in cambio le funzioni del tempo, riuscirai ad individuare
più facilmente le tue "dimenticanze" ;-)

davideAg ha scritto:... Comunque ricontrollo per cercare bene gli errori.

Per quanto riguarda la soluzione via equazione differenziale la Rth e la Eth
sono da calcolare senza gli 80 ohm.

Grazie! Ho scoperto anche Sagemath

(non lo conoscevo)

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Esercizio 2 - Interruttore

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