ElectroYou

Salve a tutti, sto studiando il trasformatore trifase a stella complanare e mi sono imbattuto in tale affermazione :" [...] le tre componenti di terza armonica sono omopolari [...]" .
So cosa significa omopolari, ma perché sono omopolari le componenti di terza armonica ed i loro multipli dispari?

Sì, prova a disegnare (o a pensare) tre onde eguali ma sfasate di 120 gradi e poi tre sinusoidi che rappresentano le rispettive terze armoniche, vedrai che si sovrappongono.

Il problema è che ho utilizzato un programna di calcolo dove rappresentavo tre sinusoidi di pulsazione 3 omega sfasate di 120º tra di loro e non si sovrapponevano ma erano un po sfasate...

Dearis ha scritto:tre sinusoidi di pulsazione 3 omega sfasate di 120º tra di loro

No, lo sfasamento si può esprimere in tempo e si può esprimere in angolo. Le armoniche conservano lo stesso sfasamento delle rispettive fondamentali se espresso in tempo, se invece lo esprimiamo in angolo allora uno sfasamento di 120 gradi diventa 360 gradi alla loro frequenza e dunque si sovrappongono.

Non devi creare automaticamente delle sinusoidi che imponi già sfasate, ma parti da una forma d'onda con un certo periodo e calcolati le terze armoniche graficamente. Se per semplicità supponi tre onde quadre sfasate di 120° hai:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Che sono perfettamente in fase tra di loro.
Il perché lo capisci facendo la trasformata di Fourier per un qualunque segnale f(t)

periodico di periodo T_0

che per semplicità assumi $2\pi$ . Se hai tre segnali identici ma sfasati di $\frac{2}{3}\pi$ tra loro puoi fare la trasformata di ognuno di loro, e ne consideri solo la terza armonica (ossia fai la trasformata e valuti la risposta in 3f_o

, con $f_o=\frac{1}{T_0}=\frac{1}{2\pi}$ ):

$F_1(3f_o)=\int_{0}^{2\pi} f(t) e^{-j2\pi 3f_0t}\, dt$

$F_2(3f_o)=\int_{0}^{2\pi} f(t-\frac{2}{3}\pi) e^{-j2\pi 3f_0t}\, dt =$

$F_3(3f_o)=\int_{0}^{2\pi} f(t - \frac{4}{3}\pi) e^{-j2\pi 3f_0t}\, dt$

Sostituendo nella seconda $t-\frac{2}{3}\pi=t'$ e nella terza $t-\frac{4}{3}\pi=t'$ , ottieni

$F_2(3f_o)=\int_{0}^{2\pi} f(t') e^{-j2\pi 3f_0(t'+\frac{2}{3}\pi)} \, dt' =e^{-j2\pi 3f_0\frac{2}{3}\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t') e^{-j2\pi 3f_0t'} \, dt' =$

$F_2(3f_o)=\int_{0}^{2\pi} f(t') e^{-j2\pi 3f_0(t'+\frac{4}{3}\pi)} \, dt' =e^{-j2\pi 3f_0\frac{4}{3}\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t') e^{-j2\pi 3f_0t'} \, dt'$

Gli integrali sono tutti uguali (trasformata di Fourier del solo segnale f(t)

), mentre per quanto riguarda i coefficienti davanti hai rispettivamente:

$F_1 \rightarrow 1$
$F_2 \rightarrow e^{-j2\pi 3f_0\frac{2}{3}\pi}=e^{-j2\pi 3\frac{1}{2\pi}\frac{2}{3}\pi}=e^{-j2\pi}=1$
$F_3 \rightarrow e^{-j2\pi 3f_0\frac{4}{3}\pi}=e^{-j2\pi 3\frac{1}{2\pi}\frac{4}{3}\pi}=e^{-j4\pi}=1$

Questo ti dimostra che per qualunque terna di segnali uguali e sfasati di 120° le componenti di terza armonica sono uguali tra loro. Anche se i tre segnali non sono perfettamente identici ma sono diversi in ampiezza ("schiacciati" o "allungati"), il modulo delle terze armoniche può variare da una all'altra, però le fasi restano sempre uguali: infatti dai risultati in alto vedi che non c'è alcuno sfasamento tra le tre, cioè i coefficienti di F_1

,

e

sono tutti reali. Cioè tutte e tre le componenti di terza armonica sono esattamente in fase tra loro e, tutt'al più, uguali anche in ampiezza se i tre segnali sono perfettamente identici.

Sì va bene ma anche il mio ragionamento è corretto. Se i tre segnali di partenza sono eguali o almeno simili, le loro componenti di terza armonica non hanno nessun motivo per presentarsi con dei ritardi differenti rispetto alle rispettive fondamentali. Un po' intuitivo ma garantito.

Sisi giustissimo, la mia non voleva essere una correzione ma un'aggiunta! :-)

Una componente di "terza armonica" è in genere così rappresentabile...

$y_{3}\left(t\right)=Y_{M_3}\sin\left(3\omega t+\varphi_{3}\right)$

... ovvero si tratta di un segnale periodico il cui periodo T3 corrisponde ad un angolo spazzato pari a...

$\omega T_{3}=\frac{2\pi}{3}$

Risulta da quanto appena detto che tre "terze armoniche" appartenenti a tre segnali identici ma sfasati tra loro di un angolo pari a $\tfrac{2\pi}{3}$ costituiscono una terna omopolare in quanto sfalsati reciprocamente di un intervallo di tempo pari al periodo T3, risultando quindi perfettamente sovrapposti.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro, buon lavoro!

ElectroYou

Componenti di terza armonica

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