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Salve frequentatori di Electro You. Avrei una domanda per voi se potete essere d'aiuto. Riguarda l'energia magnetica e la sua duale: la coenergia magnetica.
L'energia magnetica in un determinato volume è definita nel modo seguente:
$W_m=\int_V \int_0^B \bf{H} \cdot d\bf{B} \,dV$
Se si fa riferimento ad una curva di magnetizzazione standard (ad esempio una curva B-H di magnetizzazione di un materiale ferromagnetico) per un dato valore raggiunto di induzione questa rappresenta l'area compresa tra la curva e l'asse delle ordinate che poi va integrata sul volume.
Dualmente la coenergia magnetica è definita come:
$W'_m=\int_V \int_0^H \bf{B} \cdot d\bf{H} \,dV$
Sempre in riferimento alla medesima curva caratteristica B-H questa è la porzione d'area che è compresa tra la curva e l'asse delle ascisse che poi va integrata sul volume.
Ora il mio dubbio sorge quando viene definita la totale area del rettangolo che è la somma della energia e coenergia. Alcuni chiamano questa quantità energia apparente e la definiscono come:
$W_{AJ}=\int_V \bf{A} \cdot \bf{J} \, dV=W_m+W'_m$
dove A è il potenziale vettore magnetico mentre J è la densità di corrente che genera il campo magnetico.
Quando siamo in situazione lineare energia e co-energia coincidono perché la curva è una retta, ma in condizioni non lineari (saturazione) questo non è più vero e ad esempio la W_m

non è più valida per un calcolo di induttanza e bisogna passare appunto a questa $W_{AJ}$
Ora la mia perplessità sorge nel giustificare quest'ultima formula.
Ho provato a darmi una spiegazione e provo ad esporla. Partendo dalla curva B-H l'asse delle ordinate è proporzionale al flusso per una data superficie. Dall'altra parte l'asse delle ascisse esprime H che è proporzionale alla corrente. Quindi in realtà la mia curva può essere "trasformata" in una curva $\Phi$ -i. Ora la corrente è:
$\int_S \bf{J} \cdot d\bf{S}$
mentre nell'asse delle ordinate dove ora c'è il flusso posso utilizzare la definizione di potenziale vettore e scrivere:
$\int_S \bf{B}\cdot d\bf{S} =\int_S \nabla \times \bf{A} \cdot \, d\bf{S}$ e poi per il teorema di Stokes:
$\oint_l \bf{A} \cdot d\bf{l}$
Ora quello che avevo pensato è che la totale area del rettangolo sarà data dal prodotto dei due lati che ora sono rispettivamente: $\oint_l \bf{A} \cdot d\bf{l}$ e $\int_S \bf{J} \cdot d\bf{S}$ . Questo darebbe un integrale su tre dimensioni (volume) e potrei arrivare alla definizione di energia apparente iniziale. Tuttavia non sono soddisfatto di questa spiegazione che non è per nulla formale. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come si arriva a definire questa energia apparente a partire da energia e coenergia?

Mi rendo conto che il mio ragionamento è molto da ingegnere, quale io sono, ma più di così non sono riuscito a fare..

Ciao, in caso lineare io farei così:
(chiamo w_m

e

le densità di energia e coenergia [J/m^3])

$w_m+w_m'=\bf{H} \cdot \bf{B} = \bf{H} \cdot \nabla \times \bf{A} = \bf{A} \cdot \nabla \times \bf{H} - \nabla \cdot ( \bf{H} \times \bf{A} )$

Si ha che $\nabla \times \bf{H} = \bf{j}$ , sostituendo:

$w_m+w_m'= \bf{A} \cdot \bf{j} - \nabla \cdot ( \bf{H} \times \bf{A} )$

Integrando il secondo addendo si dovrebbe avere:
$\int_V \nabla \cdot ( \bf{H} \times \bf{A} ) dV = \int_{\partial V} \bf{H} \times \bf{A} \cdot \bf{n} \, d\Sigma = \int_{\partial V} (\bf{n} \times \bf{H} \cdot \bf{A} ) \, d\Sigma - \int_{\partial V} (\bf{n} \times \bf{A} \cdot \bf{H}) \, d\Sigma$

L'ultimo addendo dovrebbe essere sempre nullo in caso di contorni standard (Dirichlet o Neumann), nel primo addendo invece è diverso da zero solo se ci sono correnti superficiali sui bordi ( $\bf{n} \times \bf{H} = \bf{j}_s$ ) quindi complessivamente:

$\int_V \bf{A} \cdot \bf{j} - \int_{\partial V} (\bf{n} \times \bf{H} \cdot \bf{A}) \, d\Sigma$

Se poi appunto non abbiamo correnti superficiali

$\int_V \bf{A} \cdot \bf{j} \, dV$

(i conti li ho presi dal mio quaderno di elettrotecnica, spero di aver trascritto correttamente)

Ciao!..Wow grazie! :ok:

afz ha scritto: L'ultimo addendo dovrebbe essere sempre nullo in caso di contorni standard (Dirichlet o Neumann),

Io questo direi che è nullo perché (considerando un mezzo isotropo) il nostro potenziale vettore per definizione sarà ortogonale al campo magnetico e quindi il suo prodotto scalare sarà per forza nullo.

L'unica cosa che non mi è ben chiara è la questione delle correnti superficiali:

afz ha scritto:nel primo addendo invece è diverso da zero solo se ci sono correnti superficiali sui bordi ( $\bf{n} \times \bf{H} = \bf{j}_s$ ) quindi complessivamente:

$\int_V \bf{A} \cdot \bf{j} - \int_{\partial V} (\bf{n} \times \bf{H} \cdot \bf{A}) \, d\Sigma$

Se poi appunto non abbiamo correnti superficiali

$\int_V \bf{A} \cdot \bf{j} \, dV$

Ok non ho correnti superficiali, ma la relazione che lega il campo magnetico alle correnti superficiali?..

Ok non ho correnti superficiali, ma la relazione che lega il campo magnetico alle correnti superficiali?..

In pratica, sperando di non dire sciocchezze, la formula:

$\bf{n} \times \bf{H} = \bf{j}_s$

è una restrizione sul bordo della legge di Maxwell:

$\nabla \times \bf{H} = \bf{j}$

L'espressione $\bf{n} \times \bf{H}$ è un po' come se fosse un "rotore superficiale" ( $\bf{j}_s$ è una densità di corrente lineare, misurata in [A/m]).

Io in pratica avevo capito così: immaginando un problema 2D, come quello del disegno in fondo, se calcolo $\bf{n} \times \bf{H}$ , ottengo:

$(n_xH_y-n_yH_x) \, \hat{\bf{z}}$

Se poi considero il vettore tangente $\bf{t} =\begin{pmatrix} t_x& \\ t_y & \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -n_y&\\ n_x & \end{pmatrix}$ ho:

$(t_xH_x+t_yH_y) \hat{\bf{z}} = (\bf{ H} \cdot \bf{t} ) \, \hat{\bf{z}}$

Considero il rettangolo rosso in figura; il lato maggiore ha lunghezza infinitesima; fuori dal dominio non ho campo H.
Se calcolo la circuitazione (considerando la corrente sul bordo $\bf{j}_s$ uscente e il campo H costante nel tratto infinitesimo considerato), dalla terza legge di Maxwell si ha:

$(\bf{ H} \cdot \bf{t} )$ $\, dl$ $= j_s \,$ $\,dl$

Si ritrova l'espressione iniziale. Nel conto sono stati trascurati i contributi sui due lati minori (un po' come quando si dimostra la continuità della componente tangenziale di H su due diversi materiali)

In questo senso, effettivamente l'espressione $\bf{n} \times \bf{H}$ "sostituisce" il rotore tradizionale della legge di Maxwell.

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Io la storia delle correnti superficiali l'avevo capita in questo senso... Spero di non aver detto troppo scemate!

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