nuovo esercizio su reti nel dominio del tempo
Inviato: 27 ott 2014, 14:05A seguito del post precedente pubblico un altro esercizio da risolvere in via differenziale applicando le leggi di Kirchhoff.
t>0 L'equazione risolvente è (*):
![\[\left\{\begin{matrix} i_{r}=i_{c}+i_{l}\rightarrow i_{r}=i_{l}+LC\frac{\partial i_{l}}{\partial t}\\ \\v=Ri_{r}+L\frac{\partial i_{l}}{\partial t} \\0=V_{c}-L\frac{\partial i_{l}}{\partial t}\end{matrix}\right. \\ \Rightarrow v(t)=RLC\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}+L\frac{\partial i_{l}}{\partial t}+Ri_{l} \ \ (*)\]](/forum/latexrender/pictures/91d82b2d7bc551a894e99042e1b14e3f.png "\[\left\{\begin{matrix} i_{r}=i_{c}+i_{l}\rightarrow i_{r}=i_{l}+LC\frac{\partial i_{l}}{\partial t}\\ \\v=Ri_{r}+L\frac{\partial i_{l}}{\partial t} \\0=V_{c}-L\frac{\partial i_{l}}{\partial t}\end{matrix}\right. \\ \Rightarrow v(t)=RLC\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}+L\frac{\partial i_{l}}{\partial t}+Ri_{l} \ \ (*)\]")
la cui soluzione è:
![\[V_{c}=V_{c}^{0}+V_{c}^{p}\]](/forum/latexrender/pictures/0779dacb6ed2d94ec0ce65ebfec6d487.png "\[V_{c}=V_{c}^{0}+V_{c}^{p}\]")
con:
![\[V_{c}^{0}=K_{1}e^{\alpha _{1}t}+K_{2}e^{\alpha _{2}t} \rightarrow \alpha _{1}=-29,29 \ \ \alpha _{2}=-170,71\]](/forum/latexrender/pictures/f7c50f8bdeca425b5bc12d5f6a2c889c.png "\[V_{c}^{0}=K_{1}e^{\alpha _{1}t}+K_{2}e^{\alpha _{2}t} \rightarrow \alpha _{1}=-29,29 \ \ \alpha _{2}=-170,71\]")
soluzione dell'omogenea associata, e con:
![\[i_{l}^{p}=I_{m}sin(\omega t- \varphi ) \rightarrow \varphi =-0.59rad \ \ \ I_{m}=-1.44A\]](/forum/latexrender/pictures/ddbd4061a0e0266e2a9dadd23eaa10dc.png "\[i_{l}^{p}=I_{m}sin(\omega t- \varphi ) \rightarrow \varphi =-0.59rad \ \ \ I_{m}=-1.44A\]")
soluzione particolare.
In definitiva, per t>0 si ha:
![\[i_{l}(t)=K_{1}e^{-29.29t}+K_{2}e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59))\]](/forum/latexrender/pictures/470633d30c902485d9ef39e0456556c9.png "\[i_{l}(t)=K_{1}e^{-29.29t}+K_{2}e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59))\]")
t<0 a regime:
la cui soluzione è l'integrale particolare:
Per il calcolo delle costanti K1 e K2:
1) il(t)|t=0+ = i(t)|t=0- cioè:
![\[2.58sen(-1.49)=K_{1}+K_{2}-1.44sin(0.59)) \rightarrow K_{1}+K_{2}=-1.77\]](/forum/latexrender/pictures/9d8aa122ec179a17d5d0cf184724a9ab.png "\[2.58sen(-1.49)=K_{1}+K_{2}-1.44sin(0.59)) \rightarrow K_{1}+K_{2}=-1.77\]")
(1)
2)Per t=0+ il condensatore è inizialmente scarico: ic(0+)=0.
Dalla III eq del sistema si era ottenuto:
![\[0=V_{c}-L\frac{\partial i_{c}}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \frac{\partial V_{c}}{\partial t}=L\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2} \rightarrow i_{c}=LC \frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}\]](/forum/latexrender/pictures/6ce315f568ab166174b529913a81b7c8.png "\[0=V_{c}-L\frac{\partial i_{c}}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \frac{\partial V_{c}}{\partial t}=L\frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2} \rightarrow i_{c}=LC \frac{\partial^2 i_{l}}{\partial t^2}\]")
perciò, dopo aver opportunamente derivato due volte la il trovata per t>0, possiamo scrivere:
![\[i_{c}(0+)=0=LC(K_{1}\alpha _{1}^2+K_{2}\alpha _{2}^2+1.44\omega ^2sen0.59) \rightarrow 894.01K_{1}+29141.9K_{2}=-78991.2\]](/forum/latexrender/pictures/80435516f51684af854be527c6099eba.png "\[i_{c}(0+)=0=LC(K_{1}\alpha _{1}^2+K_{2}\alpha _{2}^2+1.44\omega ^2sen0.59) \rightarrow 894.01K_{1}+29141.9K_{2}=-78991.2\]")
(2)
Dal sistema di (1)+(2) si ottengono:
K1=0.97; K2=-2.74 da cui:
![\[i_{l}(t)=0.97e^{-29.29t}-2.74e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59)\]](/forum/latexrender/pictures/eae7c49052e89d694db707435235046e.png "\[i_{l}(t)=0.97e^{-29.29t}-2.74e^{-170.71t}-1.44sin(314t+0.59)\]")
Può andare?
t>0 L'equazione risolvente è (*):
la cui soluzione è:
con: soluzione dell'omogenea associata, e con: soluzione particolare.In definitiva, per t>0 si ha:
t<0 a regime:
la cui soluzione è l'integrale particolare:
Per il calcolo delle costanti K1 e K2:
1) il(t)|t=0+ = i(t)|t=0- cioè:
(1)2)Per t=0+ il condensatore è inizialmente scarico: ic(0+)=0.
Dalla III eq del sistema si era ottenuto:
perciò, dopo aver opportunamente derivato due volte la il trovata per t>0, possiamo scrivere:
(2)Dal sistema di (1)+(2) si ottengono:
K1=0.97; K2=-2.74 da cui:
Può andare?
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